Двоичная система счисления — Информатика, 8 класс

Перевод целых чисел в двоичную систему и обратно, разряды и степени двойки. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

В двоичной системе всего две цифры — $0$ и $1$ . Каждый разряд «весит» вдвое больше предыдущего: $1, 2, 4, 8, 16 \dots$ Число — это сумма весов тех разрядов, где стоят единицы.

a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0}_{2} = a_{n - 1} \cdot 2^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot 2^{1} + a_{0} \cdot 2^{0}

a_{k}

— цифра (

0

или

1

) в разряде номер

k

; разряды нумеруются справа налево с нуля

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$2^{k}$	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Из двоичной в десятичную

Складываем веса разрядов, где стоят единицы

$1011011 0_{2} = 128 + 32 + 16 + 4 + 2 = 182$ ; $101010 0_{2} = 64 + 16 + 4 = 84$ .

Из десятичной в двоичную

Деление на 2Делим на 2 с остатком, пока не получится 0; остатки читаем снизу вверх.

13 : 2 = 6

(1),

6 : 2 = 3

(0),

3 : 2 = 1

(1),

1 : 2 = 0

(1)

\Rightarrow 110 1_{2}

Степени двойкиВычитаем наибольшую степень двойки, не превышающую число, потом следующую…

566 = 512 + 32 + 16 + 4 + 2

$566 = ?_{2}$

$566 = 512 + 54$ ; $54 = 32 + 22$ ; $22 = 16 + 6$ ; $6 = 4 + 2$ .
Единицы в разрядах $9, 5, 4, 2, 1$ , остальные — нули.
Ответ: $100011011 0_{2}$ (10 цифр).

Сколько разрядов в двоичной записи 568? $2^{9} = 512 \leq 568 < 1024 = 2^{10}$ , старший разряд — девятый, значит цифр $9 + 1 = 10$ .

Число из $n$ двоичных разрядов лежит в промежутке от $2^{n - 1}$ до $2^{n} - 1$ . Например, 10 разрядов — от 512 до 1023.

Полезно помнить

Чётность: число чётное, если его двоичная запись кончается нулём.
Умножение на 2 — приписать ноль справа: $10 1_{2} = 5$ , $101 0_{2} = 10$ .
Деление нацело на 2 — отбросить последний разряд.
$2^{n}$ в двоичной системе — единица и $n$ нулей; $2^{n} - 1$ — $n$ единиц ( $255 = 1111111 1_{2}$ ).
Остаток от деления на 4 — две последние цифры: $\dots 0 1_{2}$ даёт остаток 1, $\dots 1 1_{2}$ — 3. На 8 — три последние цифры.
Сумма цифр двоичной записи равна числу единиц, а нулей = (число разрядов) − (число единиц): $323 = 10100001 1_{2}$ — 9 разрядов, 4 единицы, 5 нулей.
Сколько чисел имеют ровно $n$ разрядов: все от $2^{n - 1}$ до $2^{n} - 1$ . Среди чисел до 396 девятиразрядные — от 256 до 396, их $396 - 256 + 1 = 141$ .

Остатки при делении читаются снизу вверх; прочитав сверху вниз, получите число «задом наперёд». Проверяйте обратным переводом. И не складывайте просто цифры двоичного числа: каждая единица даёт свою степень двойки, а не 1.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Переведите число 566 в двоичную систему счисления.

1000110111
10001101100
1000110101
1000110110

Показать ответ

Ответ: 1000110110
Решение. Делим на 2 с остатком и читаем остатки снизу вверх: 1000110110.

Чему равно двоичное число 10110110₂ в десятичной системе?

Показать ответ

Ответ: 182
Решение. 10110110₂ = 182.

Сколько единиц в двоичной записи числа 331?

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. 331 = 101001011₂, единиц 5.

Найдите сумму двоичных чисел 110101110₂ и 1₂ в десятичной системе.

Показать ответ

Ответ: 431
Решение. 430 + 1 = 431.

Сколько нулей в двоичной записи числа 323?

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. 323 = 101000011₂, нулей 5.

Двоичное число 111110100₂ разделили на 2 (сдвинули вправо на разряд). Чему равен результат в десятичной системе?

Показать ответ

Ответ: 250
Решение. Сдвиг вправо — это деление нацело на 2: 500 div 2 = 250.

Чему равна последняя цифра двоичной записи числа 194?

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Последняя цифра — остаток от деления на 2: 194 mod 2 = 0.

Двоичное число 111010010₂ умножили на 2. Чему равен результат в десятичной системе?

Показать ответ

Ответ: 932
Решение. Приписали ноль справа: 466 · 2 = 932.