Системы счисления — Информатика, 7 класс

Перевод чисел между десятичной, двоичной и шестнадцатеричной системами счисления. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Мы считаем десятками, потому что у нас 10 пальцев. Компьютер «знает» только два состояния — есть ток или нет, — поэтому считает двойками. Одно и то же число можно записать разными цифрами, как одно слово — на разных языках.

Система счисления — способ записи чисел цифрами. Основание — сколько цифр используется. В позиционной системе значение цифры зависит от её места (разряда): в числе $333$ первая тройка — сотни, последняя — единицы.

Десятичная (10)цифры 0–9

Двоичная (2)цифры 0 и 1

Шестнадцатеричная (16)0–9 и буквы A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

Основание пишут маленьким индексом: $10 1_{2} = 5_{10}$ .

Из двоичной и шестнадцатеричной — в десятичную

Каждая цифра умножается на основание в степени номера разряда; разряды нумеруются справа налево с нуля.

Степени двойки	$2^{7}$	$2^{6}$	$2^{5}$	$2^{4}$	$2^{3}$	$2^{2}$	$2^{1}$	$2^{0}$
значение	128	64	32	16	8	4	2	1
$1101111 0_{2}$	1	1	0	1	1	1	1	0

$1101111 0_{2} = 128 + 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 22 2_{10}$ — складываем веса разрядов, где стоят единицы.

$1 B_{16} = 1 \cdot 16 + 11 \cdot 1 = 2 7_{10}$ ; $2 2_{16} = 2 \cdot 16 + 2 = 3 4_{10}$ .

Из десятичной — в двоичную

Делим число на 2 с остатком, частное снова делим на 2 — пока частное не станет 0. Остатки читаем снизу вверх.

Перевод

11 1_{10}

в двоичную систему

Раскладываем на степени двойки, начиная с наибольшей: $117 = 64 + 32 + 16 + 4 + 1$ . Ставим 1 на места этих степеней: $111010 1_{2}$ .

Из десятичной — в шестнадцатеричную

Так же делим, но на 16; остатки от 10 до 15 записываем буквами.

$25 1_{10} = ?_{16}$

$251 : 16 = 15$ , остаток $11$ → B.
$15 : 16 = 0$ , остаток $15$ → F.
Снизу вверх: $FB_{16}$ . Проверка: $15 \cdot 16 + 11 = 251$ ✓

10-я	5	10	15	16	255
2-я	101	1010	1111	10000	11111111
16-я	5	A	F	10	FF

Остатки записывают в обратном порядке — снизу вверх. Прочитав сверху вниз, для $111$ получим $1111011$ — это неверно. И не забывайте последний остаток, когда частное стало 0.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Переведите число из десятичной системы счисления в двоичную:

111₁₀ = ?₂

Показать ответ

Ответ: 1101111
Решение. 111 в двоичной системе — 1101111₂.

Переведите число из двоичной системы счисления в десятичную:

11011110₂ = ?₁₀

Показать ответ

Ответ: 222
Решение. 11011110₂ = 222₁₀.

Переведите число из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

251₁₀ = ?₁₆

Показать ответ

Ответ: FB
Решение. 251 в шестнадцатеричной системе — FB₁₆.

Переведите число из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную:

1B₁₆ = ?₁₀

Показать ответ

Ответ: 27
Решение. 1B₁₆ = 27₁₀.