Позиционные системы счисления — Информатика, 8 класс

Алфавит и основание, развёрнутая форма записи, перевод в десятичную систему, римские числа. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

В числе $222$ три одинаковые цифры значат разное: 200, 20 и 2 — всё решает место цифры. В римском XXX каждый X всегда равен десяти. Это два разных способа записи чисел.

Позиционнаязначение цифры зависит от её места (разряда): десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.

Непозиционнаязначение знака не зависит от места: римская система.

Алфавит и основание

Алфавит системы — набор её цифр. Основание $q$ — число цифр в алфавите. Цифры идут от $0$ до $q - 1$ .

Основание	Цифры	Наибольшая цифра
2	0, 1	1
3	0, 1, 2	2
5	0–4	4
8	0–7	7
10	0–9	9
16	0–9, A, B, C, D, E, F	F = 15

Цифры, равной основанию, в системе нет: в восьмеричной нет цифры 8, а $1 0_{8} = 8$ . Запись $12 9_{8}$ невозможна.

Развёрнутая форма и перевод в десятичную

a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0}_{q} = a_{n - 1} \cdot q^{n - 1} + \dots + a_{1} \cdot q^{1} + a_{0} \cdot q^{0}

q

— основание,

a_{k}

— цифра в разряде

k

; разряды считают справа налево с нуля;

q^{0} = 1

112 4_{5} = 16 4_{10}

$102 1_{3} = ?_{10}$

Веса разрядов: $3^{3} = 27$ , $3^{2} = 9$ , $3^{1} = 3$ , $3^{0} = 1$ .
$1 \cdot 27 + 0 \cdot 9 + 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = 34$ .

$101 1_{2} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 11$ .

Сначала выпишите степени основания над цифрами справа налево — потом останется только умножить и сложить.

Римская система

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Обычно знаки складываются: XI $= 10 + 1 = 11$ . Если меньший знак стоит перед бо́льшим, он вычитается — но только в шести парах: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900.

MCMXCIX $= 1000 + 900 + 90 + 9 = 1999$ .

Других вычитаемых пар нет: 99 — это XCIX, а не IC; 49 — XLIX, а не IL.

Разряды, веса и сравнение

Число разрядов — число цифр в записи: $10021 1_{3}$ — 6 разрядов. Различных цифр в $110 3_{5}$ — три (0, 1, 3).
Вес разряда $k$ равен $q^{k}$ . Старший разряд числа из $n$ цифр имеет номер $n - 1$ : у $300 1_{5}$ вес старшего разряда $5^{3} = 125$ , у $CE_{16}$ — $1 6^{1} = 16$ .
Разрядное слагаемое — цифра, умноженная на вес: у $24 1_{8}$ старшее слагаемое $2 \cdot 8^{2} = 128$ . Сумма всех разрядных слагаемых и есть значение числа.
Младший разряд — последняя цифра: в $46 1_{8}$ это 1.

Числа в одной системе с одинаковым числом цифр сравнивают поразрядно слева направо, как десятичные: $20 7_{8} > 20 4_{8}$ , $5 A_{16} > 5 7_{16}$ (A = 10 больше 7). Числа в разных системах сначала переводят в десятичную: $100011 0_{2} = 70$ — равны.

Запись $23 4_{8}$ нельзя читать как «двести тридцать четыре» и нельзя просто сложить её цифры: каждая цифра умножается на вес своего разряда, $23 4_{8} = 2 \cdot 64 + 3 \cdot 8 + 4 = 156$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Римские числа Системы счисления

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Сколько цифр в алфавите системы счисления с основанием 2?

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. Алфавит содержит ровно 2 цифры: от 0 до 1.

Какая наибольшая цифра встречается в системе счисления с основанием 8? Для шестнадцатеричной ответ дайте числом.

Показать ответ

Ответ: 7
Решение. Наибольшая цифра на единицу меньше основания: 7.

Найдите десятичное значение числа 1124₅.

Показать ответ

Ответ: 164
Решение. Считаем по разрядам: 164.

Число в системе с основанием 3 записано как 12011. Чему оно равно в десятичной системе?

Показать ответ

Ответ: 139
Решение. 12011₃ = 139.

Переведите 10100111₂ в десятичную систему и найдите остаток от деления результата на 10.

Показать ответ

Ответ: 7
Решение. 10100111₂ = 167; остаток от деления на 10 равен 7.

Чему равен вес старшего разряда числа 3001₅?

Показать ответ

Ответ: 125
Решение. Старший разряд — 3-й, его вес 5³ = 125.

Переведите 115₈ в десятичную систему и укажите, чётное ли получилось число. Введите 1, если чётное, и 0, если нет.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. 115₈ = 77 — число нечётное.

Какое из чисел записано в позиционной системе счисления?

1011₂
XIV
IX
MCM

Показать ответ

Ответ: 1011₂
Решение. Римская запись непозиционная: значение знака не зависит от его места.