Арифметика в двоичной системе — Информатика, 8 класс

Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел столбиком. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Двоичные числа складывают столбиком так же, как десятичные. Отличие одно: «десяток» здесь наступает уже на двух. $1 + 1$ — это не $2$ , а $1 0_{2}$ : пишем $0$ , переносим $1$ в следующий разряд.

Сложение

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 10

1 + 1 + 1 = 11

Вычитание

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

10 - 1 = 1

(заём)

Умножение

0 \cdot 0 = 0

0 \cdot 1 = 0

1 \cdot 1 = 1

Сложение столбиком

Маленькие единицы сверху — переносы в следующий разряд

$100000 0_{2} + 101101 0_{2}$

Записываем друг под другом, выравнивая по правому краю.
Справа налево: в шести младших разрядах у первого числа нули — просто переписываем $011010$ .
Старший разряд: $1 + 1 = 10$ — пишем $0$ , переносим $1$ .
Ответ: $1001101 0_{2}$ . Проверка: $64 + 90 = 154 = 128 + 16 + 8 + 2$ ✓

Если нужен ответ в десятичной системе, проще перевести оба числа и сложить: $10111 0_{2} + 110110 1_{2} = 46 + 109 = 155$ .

Вычитание с заёмом

Если в разряде из $0$ надо вычесть $1$ , занимаем единицу у ближайшего старшего разряда, где стоит $1$ . Занятая единица превращается в $1 0_{2} = 2$ , а все нули по пути становятся единицами.

$1000100 1_{2} - 10 0_{2}$

Разряды 0 и 1: $1 - 0 = 1$ , $0 - 0 = 0$ .
Разряд 2: $0 - 1$ — нужен заём. Ближайшая единица — в разряде 3: она становится $0$ , а разряд 2 получает $1 0_{2}$ ; $1 0_{2} - 1 = 1$ .
Остальные разряды переписываем: $1000010 1_{2}$ .
Проверка: $137 - 4 = 133 = 128 + 4 + 1$ ✓

Главная ошибка — забыть, что после заёма старший разряд уменьшился на 1. Всегда проверяйте ответ переводом в десятичную: $1100 1_{2} - 10 0_{2} = 25 - 4 = 21$ .

Умножение и сдвиги

Умножение столбиком: умножать приходится только на $0$ (строка из нулей) и на $1$ (переписать число со сдвигом), потом сложить.

$10 1_{2} \cdot 1 1_{2}$ : $101 + 1010 = 111 1_{2}$ . Проверка: $5 \cdot 3 = 15$ ✓

Действие	Как сделать	Пример
$\cdot 1 0_{2}$ (на 2)	приписать ноль справа	$101 \to 1010$
$\cdot 10 0_{2}$ (на 4)	приписать два нуля	$101 \to 10100$
деление нацело на $1 0_{2}$	отбросить младший разряд	$1011 \to 101$
остаток от деления на $1 0_{2}$	последний разряд	$1011 \to 1$

Вопросы о результате

Где впервые возникает перенос. Идём справа налево (первый разряд — самый правый) и ищем разряд, где сумма двух цифр и прежнего переноса не меньше $2$ . В $100110 0_{2} + 101000 1_{2}$ разряды 1–6 дают суммы $1, 0, 1, 1, 0, 1$ , а в седьмом $1 + 1 = 10$ — перенос в разряде 7.
Сколько разрядов или единиц. Сначала найдите результат (удобно через десятичную систему), потом посчитайте: $11000 1_{2} + 10 1_{2} = 11011 0_{2}$ — 6 разрядов, 4 единицы.
Сложение без переносов теряет единицы, которые должны уйти в старший разряд, — результат получается меньше верного.
Сравнение и перевод результата. Переведите выражение в десятичную систему, сравните или переведите ответ в нужную систему: $10110 0_{2} + 100011 1_{2} = 44 + 71 = 115 = 16 3_{8}$ .

Сложить число с самим собой — то же, что умножить на 2: $11 1_{2} + 11 1_{2} = 111 0_{2} = 14$ . Вычесть 1 из чётного числа: последние нули становятся единицами, а младшая единица — нулём: $100011 0_{2} - 1 = 100010 1_{2}$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Системы счисления

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Выполните вычитание 11001₂ − 100₂ и запишите результат в десятичной системе.

Показать ответ

Ответ: 21
Решение. 25 − 4 = 21.

Сколько разрядов в двоичной записи суммы 100001₂ + 1101110₂?

Показать ответ

Ответ: 8
Решение. Сумма равна 10001111₂ — 8 разрядов.

Выполните умножение 111110₂ · 1101₂ и запишите результат в десятичной системе.

Показать ответ

Ответ: 806
Решение. 62 · 13 = 806.

Чему равна последняя цифра суммы 1101101₂ + 1101101₂?

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Младшие разряды: 1 + 1 даёт 0 с переносом.

Сколько разрядов в двоичной записи произведения 11110₂ · 1100₂?

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. Произведение 101101000₂ содержит 9 разрядов.

Сколько единиц в двоичной записи суммы 110001₂ + 101₂?

Показать ответ

Ответ: 4
Решение. Сумма 110110₂ содержит 4 единицы.

Чему равно 1₂ · 1₂ в двоичной системе?

11₂
0₂
1₂
10₂

Показать ответ

Ответ: 1₂
Решение. Умножение единиц даёт единицу — как в десятичной системе.

Чему равно 1₂ + 1₂ в двоичной системе?

10₂
1₂
11₂
2₂

Показать ответ

Ответ: 10₂
Решение. Один плюс один даёт два, а двойка в двоичной записи — это 10.