Логические выражения и таблицы истинности

Построение таблиц истинности, тождественно истинные и ложные выражения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Таблица истинности — это «полный перебор»: выписываем все возможные сочетания нулей и единиц у переменных и для каждого считаем значение выражения. Так видно поведение выражения целиком.

строк = 2^{n}

n

— число переменных: 2 переменные — 4 строки, 3 — 8, 4 — 16

$A$	$B$	$A$ И $B$	$A$ ИЛИ $B$	НЕ $A$
0	0	0	0	1
0	1	0	1	1
1	0	0	1	0
1	1	1	1	0

$F = A$ И $B$ при $A = 1$ , $B = 1$ — последняя строка: $F = 1$ . $F = A$ ИЛИ $B$ при $A = 0$ , $B = 0$ — первая строка: $F = 0$ .

Как построить таблицу

Сосчитайте переменные $n$ и строки $2^{n}$ .
Выпишите наборы по порядку двоичных чисел: 00, 01, 10, 11 (для трёх — от 000 до 111). Тогда ни один набор не потеряется.
Добавьте промежуточные столбцы в порядке действий: скобки → НЕ → И → ИЛИ.
Последний столбец — значение всего выражения.

$A$	$B$	НЕ $B$	$F$
0	0	1	1
0	1	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1

Выражение ложно только в одном наборе: $A = 0$ , $B = 1$ .

Для трёх переменных столбец $A$ — четыре нуля и четыре единицы, $B$ — по два, $C$ — чередуется через один. Так быстро заполняются 8 строк.

Тождественно истинные и ложные

Тождественно истинноев столбце результата одни единицы. Пример:

A

ИЛИ НЕ

A

— всегда

1

Тождественно ложноев столбце результата одни нули. Пример:

A

И НЕ

A

— всегда

0

Нельзя делать вывод по одной-двум строкам: выражение тождественно истинно, только если единица стоит во всех $2^{n}$ строках.

Сколько единиц в столбце F

Часто спрашивают, в скольких строках выражение равно 1. Удобно помнить готовые ответы для двух переменных (из 4 строк):

Выражение	Единиц	Почему
$A \land B$ , $\neg A \land B$ , $A \land \neg B$ , $\neg A \land \neg B$ , $\neg (A \lor B)$	1	И истинно лишь в одном наборе
$A \lor B$ , $\neg A \lor B$ , $A \lor \neg B$ , $\neg (A \land B)$	3	ИЛИ ложно лишь в одном наборе

$F = A \land B \lor C$ . Если $C = 1$ , то $F = 1$ при любых $A, B$ — это 4 набора. Если $C = 0$ , то $F = A \land B$ — ещё 1 набор ( $A = B = 1$ ). Всего $4 + 1 = 5$ из 8. Так же $(A \lor B) \land C$ : нужно $C = 1$ и хотя бы одна единица среди $A, B$ — 3 набора.

Число переменных — это число разных букв в выражении: в $\neg A \land \neg B$ их 2, значит строк $2^{2} = 4$ . Выражение тождественно истинно, только если единиц $2^{n}$ из $2^{n}$ , и тождественно ложно, только если единиц 0.

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите значение выражения F = A И B при A = 1, B = 1.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Подставляем значения: F = 1.

Найдите значение выражения F = A ИЛИ B при A = 0, B = 0.

Показать ответ