Высказывания и логические операции

Истинность высказываний, операции И, ИЛИ, НЕ и приоритет операций. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Про фразу «В году 400 дней» можно сказать: «неправда». Про фразу «Который час?» так сказать нельзя — это вопрос. Логика работает только с утверждениями, которые бывают истинными или ложными.

Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Истину обозначают $1$ , ложь — $0$ .

Высказывания«Москва — столица России» (истина, 1)
«В году 400 дней» (ложь, 0 — но это высказывание!)
«

7 > 3

» (истина)

Не высказывания«Который час?» — вопрос
«Закрой окно!» — побуждение
«

x > 3

» — истинность зависит от

x

Ложное утверждение — тоже высказывание. Вопрос «является ли высказыванием» не о том, верно ли оно, а о том, можно ли вообще оценить его истинность.

Три операции

Из простых высказываний связками «не», «и», «или» строят составные. Их истинность зависит только от истинности частей.

Операция	Запись	Когда истинна
Отрицание (НЕ, инверсия)	$\neg A$	когда $A$ ложно
Конъюнкция (И, логическое умножение)	$A \land B$	только когда истинны оба
Дизъюнкция (ИЛИ, логическое сложение)	$A \lor B$	когда истинно хотя бы одно (ложна только при двух ложах)

И — общая часть, ИЛИ — объединение

$A$ = «Москва — столица России» (1), $B$ = «В году 400 дней» (0).

$A \land B = 1 \land 0 = 0$ — «Москва — столица и в году 400 дней» ложно.
$A \lor B = 1 \lor 0 = 1$ — достаточно одной истины.
$\neg B = 1$ — «В году не 400 дней» истинно.

Приоритет операций

скобки → НЕ → И → ИЛИ

Поэтому $\neg A \land B$ означает $(\neg A) \land B$ , а не $\neg (A \land B)$ . Если нужен другой порядок — ставят скобки.

$A \lor B \land \neg C$ при $A = 0$ , $B = 1$ , $C = 0$ .

НЕ: $\neg C = 1$ .
И: $B \land 1 = 1 \land 1 = 1$ .
ИЛИ: $0 \lor 1 = 1$ .

И похоже на умножение ( $1 \cdot 0 = 0$ ), ИЛИ — на сложение. Как в арифметике, «умножение» выполняется раньше «сложения».

Каждая логическая переменная принимает 2 значения, поэтому у двух переменных $2 \cdot 2 = 4$ набора значений ( $00, 01, 10, 11$ ), у трёх — $2^{3} = 8$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

События и множества: круги Эйлера

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Является ли высказыванием предложение «в году 400 дней»? Введите 1, если является, и 0, если нет.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Высказывание — повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Истинно ли высказывание «Москва — столица России»? Введите 1, если истинно, и 0, если ложно.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Высказывание истинно.

Является ли высказыванием предложение «Который час?»

нет: это вопрос, у него нет истинностного значения
да, это высказывание
да, оно всегда истинно
да, если известен ответ

Показать ответ

Ответ: нет: это вопрос, у него нет истинностного значения
Решение. Вопросительные и побудительные предложения высказываниями не являются.

Составное высказывание «число 9 простое И сумма углов треугольника равна 180°» — истинно ли оно? Введите 1 или 0.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Первое ложно, второе истинно; конъюнкция даёт 0.

Составное высказывание «Москва — столица России ИЛИ в байте 10 битов» — истинно ли оно? Введите 1 или 0.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно: 1.

Высказывание «килобайт больше байта» отрицают. Каким станет его значение? Введите 1 или 0.

Показать ответ

Ответ: 0
Решение. Было 1, стало 0.

Какая логическая операция выполняется первой в выражении НЕ A И B?

И
ИЛИ
порядок не важен
НЕ

Показать ответ

Ответ: НЕ
Решение. Приоритет: сначала отрицание, потом конъюнкция, потом дизъюнкция.

Какая операция выполняется последней в выражении A И B ИЛИ C?

И
ИЛИ
порядок не важен
НЕ

Показать ответ

Ответ: ИЛИ
Решение. Дизъюнкция имеет самый низкий приоритет.