Системы счисления — Информатика, 9 класс

Перевод чисел между двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами, арифметика в позиционных системах. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Мы считаем десятками, потому что у нас десять пальцев: десять единиц — один десяток, десять десятков — сотня. Компьютер «считает двойками»: у него две цифры, 0 и 1. Правило то же, меняется только основание — сколько единиц разряда образуют следующий разряд.

В позиционной системе с основанием $p$ цифра стоит на месте $k$ (справа, с нуля) и «весит» $p^{k}$ . Используются цифры от $0$ до $p - 1$ ; в шестнадцатеричной после 9 идут A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

101 1_{2} = 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 1 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0} = 1 1_{10}

Перевод в десятичную и обратно

a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0}_{p} = a_{n} p^{n} + \dots + a_{1} p + a_{0}

из системы p в десятичную

Здесь $a_{k}$ — цифры, $p$ — основание. Пример: $174 0_{8} = 1 \cdot 512 + 7 \cdot 64 + 4 \cdot 8 + 0 = 992$ .

Из десятичной в систему p: делим число на $p$ с остатком, частное снова делим — пока частное не станет 0. Остатки читаем снизу вверх.

$331 2_{10} = ?_{16}$

$3312 : 16 = 207$ , остаток $0$ .
$207 : 16 = 12$ , остаток $15 = F$ .
$12 : 16 = 0$ , остаток $12 = C$ .
Снизу вверх: $CF0_{16}$ .

Для перевода в двоичную удобнее раскладывать по степеням двойки: $416 = 256 + 128 + 32$ $\Rightarrow$ $11010000 0_{2}$ . Число единиц в двоичной записи — число слагаемых: $3559 = 2048 + 1024 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 2 + 1$ — 9 единиц.

2 ↔ 8 и 2 ↔ 16 — группами

$8 = 2^{3}$ , $16 = 2^{4}$ , поэтому одна восьмеричная цифра — это 3 двоичных (триада), одна шестнадцатеричная — 4 двоичных (тетрада). Группы отсчитывают справа, слева недостающие разряды дополняют нулями.

11010011 1_{2} = 1 A 7_{16} = 64 7_{8}

16	2	16	2	16	2	16	2
0	0000	4	0100	8	1000	C	1100
1	0001	5	0101	9	1001	D	1101
2	0010	6	0110	A	1010	E	1110
3	0011	7	0111	B	1011	F	1111

Обратно — каждую цифру заменяем её тетрадой (триадой): $45 9_{16} = 010001011001 = 1000101100 1_{2}$ (ведущие нули отбрасываем); $430 5_{8} = 10001100010 1_{2}$ .

Группировать начинают справа! $1101 0_{2}$ по тетрадам — это $1 ∣ 1010 = 1 A_{16}$ , а не $1101 ∣ 0$ .

Арифметика и сравнение

Складывают и вычитают столбиком, как обычно, но перенос в старший разряд происходит, когда сумма достигает $p$ , а «занимают» у старшего разряда $p$ единиц, а не 10.

$43 6_{8} - 30 7_{8}$

Единицы: $6 < 7$ , занимаем 8: $14 - 7 = 7$ (в восьмеричной $6 + 8 = 1 4_{10}$ ).
Восьмёрки: $3 - 1 - 0 = 2$ . Старший: $4 - 3 = 1$ .
Ответ: $12 7_{8}$ . Проверка: $286 - 199 = 87 = 12 7_{8}$ ✓.

$111100 1_{2} + 1010 1_{2}$ : в двоичной $1 + 1 = 10$ (пишем 0, переносим 1), $1 + 1 + 1 = 11$ . Ответ $1000111 0_{2}$ ; проверка $121 + 21 = 142$ ✓.

Сравнить числа в разных системах или сложить их — проще всего перевести все в десятичную (или все в двоичную): $20 6_{8} + 1100010 1_{2} = 134 + 197 = 331$ .

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Переведите число из десятичной системы счисления в систему с основанием 16:

3312₁₀ = ?₁₆

Показать ответ

Ответ: CF0
Решение. 3312 : 16 = 207, остаток 0; 207 : 16 = 12, остаток F; 12 : 16 = 0, остаток C. Читаем остатки снизу вверх: CF0₁₆.

Какое из чисел наибольшее?

162₁₆ · 1010010001₂ · 711₈ · 2F7₁₆

2F7₁₆
162₁₆
711₈
1010010001₂

Показать ответ

Ответ: 2F7₁₆
Решение. 162₁₆ = 354₁₀; 1010010001₂ = 657₁₀; 711₈ = 457₁₀; 2F7₁₆ = 759₁₀. Наибольшее — 2F7₁₆.

Какое из чисел наименьшее?

339₁₆ · 1575₈ · 1100000101₂ · 503₈

1100000101₂
503₈
1575₈
339₁₆

Показать ответ

Ответ: 503₈
Решение. 339₁₆ = 825₁₀; 1575₈ = 893₁₀; 1100000101₂ = 773₁₀; 503₈ = 323₁₀. Наименьшее — 503₈.

Сколько единиц содержится в двоичной записи десятичного числа 3559?

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. 3559₁₀ = 110111100111₂; единиц в записи: 9.

Сколько значащих цифр содержится в двоичной записи десятичного числа 434?

Показать ответ

Ответ: 9
Решение. 434₁₀ = 110110010₂; в записи 9 значащих цифр.

Сколько нулей содержится в двоичной записи десятичного числа 796?

Показать ответ

Ответ: 5
Решение. 796₁₀ = 1100011100₂; нулей в записи: 5.

Вычислите значение выражения. Ответ запишите в десятичной системе счисления:

206₈ + 11000101₂ = ?₁₀

Показать ответ

Ответ: 331
Решение. 206₈ = 134₁₀, 11000101₂ = 197₁₀; 134 + 197 = 331.