Системы счисления

Перевод между двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной и десятичной системами, арифметика в позиционных системах, свойства двоичной записи. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

В числе 333 три тройки значат разное: 300, 30 и 3. Значение цифры зависит от её места — такая система называется позиционной. Компьютеру удобно считать не десятками, а двойками.

Позиционная система — значение цифры зависит от её места в записи. Основание $p$ — количество различных цифр в системе: в двоичной $0, 1$ ; в восьмеричной $0 \dots 7$ ; в шестнадцатеричной $0 \dots 9$ и $A = 10$ , $B = 11$ , $C = 12$ , $D = 13$ , $E = 14$ , $F = 15$ .

\overline{a_{n} \dots a_{1} a_{0}}_{p} = a_{n} \cdot p^{n} + \dots + a_{1} \cdot p^{1} + a_{0} \cdot p^{0}

a_{k}

— цифра в разряде

k

(разряды нумеруются справа налево с нуля),

p

— основание

10	2	8	16
10	1010	12	A
15	1111	17	F
64	1000000	100	40
255	11111111	377	FF

Перевод в десятичную и из десятичной

Из $p$ в 10: умножить каждую цифру на $p$ в степени номера разряда и сложить.

$532 1_{8} = 5 \cdot 8^{3} + 3 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 1 = 2560 + 192 + 16 + 1 = 276 9_{10}$ .
$BF2_{16} = 11 \cdot 256 + 15 \cdot 16 + 2 = 305 8_{10}$ .

Из 10 в $p$ : делить на $p$ , выписывая остатки, пока частное не станет нулём; читать остатки снизу вверх.

$60$ в двоичную: $60 \to 30 \to 15 \to 7 \to 3 \to 1 \to 0$ , остатки $0, 0, 1, 1, 1, 1$ . Снизу вверх: $6 0_{10} = 11110 0_{2}$ .
$627$ в шестнадцатеричную: $627 = 39 \cdot 16 + 3$ , $39 = 2 \cdot 16 + 7$ , $2 = 0 \cdot 16 + 2$ → $27 3_{16}$ .

Двоичная ↔ восьмеричная и шестнадцатеричная

Так как $8 = 2^{3}$ и $16 = 2^{4}$ , двоичные цифры группируют по три (триады) для восьмеричной и по четыре (тетрады) для шестнадцатеричной. Группы отсчитывают справа, слева дописывают нули.

Делим на тетрады справа налево; неполную левую группу дополняем нулями

$101000111 0_{2}$ по триадам: $1 ∣ 010 ∣ 001 ∣ 110$ → $1216$ , то есть $121 6_{8}$ .

Помните наизусть $2^{0} \dots 2^{10}$ : 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Тетрада $1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 = F$ .

Арифметика в системе с основанием $p$

Складывают столбиком: как только сумма в разряде достигает $p$ , вычитают $p$ и переносят 1 в старший разряд. При вычитании занимают у старшего разряда единицу, равную $p$ .

Двоичное сложение	Результат
$0 + 0$	0
$0 + 1$	1
$1 + 1$	10 (0 и перенос 1)
$1 + 1 + 1$	11 (1 и перенос 1)

$22 7_{16} + 32 1_{16}$ : $7 + 1 = 8$ , $2 + 2 = 4$ , $2 + 3 = 5$ → $54 8_{16}$ (переносов нет).
$1010011 1_{2} + 111011 1_{2} = 10001111 0_{2}$ . Проверка в десятичной: $167 + 119 = 286$ ✓

Проверить себя всегда можно переводом обоих чисел и результата в десятичную систему. Так же сравнивают числа в разных системах: переводят всё в десятичную.

Свойства двоичной записи

$2^{k}$ единица и

k

нулей:

2^{5} = 10000 0_{2}

$2^{k} - 1$

k

единиц подряд:

2^{4} - 1 = 111 1_{2}

Чётностьпоследний разряд 0 — чётное, 1 — нечётное

Число разрядовесли

2^{k - 1} \leq N < 2^{k}

, в записи

N

ровно

k

цифр

$1024 = 2^{10} \leq 1441 < 2048 = 2^{11}$ , значит в двоичной записи 1441 — 11 разрядов.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Системы счисления

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

система счисления называется позиционной, если

значение цифры зависит от её места в записи
в ней нет нуля
значение цифры не зависит от её места
в ней используются только цифры 0 и 1

Показать ответ

Ответ: значение цифры зависит от её места в записи
Решение. В позиционной системе вклад цифры равен цифра · основание^номер разряда; римская система непозиционная.

основание системы счисления — это

количество разрядов числа
вес старшего разряда
количество различных цифр, используемых в записи чисел
наибольшая цифра системы

Показать ответ

Ответ: количество различных цифр, используемых в записи чисел
Решение. В системе с основанием p используются p цифр: от 0 до p−1.

в шестнадцатеричной системе счисления буква A обозначает число

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15.

в шестнадцатеричной системе счисления буква F обозначает число

Показать ответ

Ответ: 15
Решение. F — последняя цифра шестнадцатеричной системы, она равна 15.

наименьшее основание системы счисления, в которой возможна запись 1201, равно

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. В записи есть цифра 2, значит основание больше 2; минимальное подходящее основание — 3.

при переводе двоичного числа в восьмеричное цифры группируют

по три, справа налево
по две, справа налево
по четыре, справа налево
по три, слева направо

Показать ответ

Ответ: по три, справа налево
Решение. 8 = 2³, поэтому одной восьмеричной цифре соответствует триада двоичных цифр.

при переводе двоичного числа в шестнадцатеричное цифры группируют

по восемь, справа налево
по четыре, справа налево
по четыре, слева направо
по три, справа налево

Показать ответ

Ответ: по четыре, справа налево
Решение. 16 = 2⁴, поэтому одной шестнадцатеричной цифре соответствует тетрада двоичных цифр.

для перевода десятичного числа в двоичную систему его

делят на 8
умножают на 2
вычитают из него степени десятки
делят на 2, выписывая остатки

Показать ответ

Ответ: делят на 2, выписывая остатки
Решение. Число делят на основание, пока частное не станет нулём, и читают остатки снизу вверх.

Простыми словами

Перевод в десятичную и из десятичной

Двоичная ↔ восьмеричная и шестнадцатеричная

Арифметика в системе с основанием p

Свойства двоичной записи

Примеры заданий

Арифметика в системе с основанием $p$