Задание 14 ЕГЭ по информатике 2027: позиционные системы счисления

Степени основания, заём при вычитании и подсчёт цифр записи.

Простыми словами

В десятичной системе $1 0^{5} = 100000$ — единица и пять нулей, а $1 0^{5} - 1 = 99999$ — пять девяток. В любой системе с основанием $b$ происходит то же самое. На этом наблюдении строится всё задание 14: огромные числа вроде $8^{15}$ не надо вычислять — достаточно понять, как выглядит их запись.

\overline{a_{k} \dots a_{1} a_{0}}_{b} = a_{k} \cdot b^{k} + \dots + a_{1} \cdot b + a_{0}

число в системе с основанием

b

— сумма цифр, умноженных на степени

b

где $b$ — основание, $a_{i}$ — цифры от $0$ до $b - 1$ . Перевод из десятичной: делить на $b$ , выписывая остатки, и читать их снизу вверх.

Три главных факта

$b^{k}$ в системе с основанием $b$ — это единица и $k$ нулей. Сумма разных степеней — запись из единиц и нулей.

$b^{k} - 1$ — это $k$ цифр $(b - 1)$ . Поэтому $b^{a} - b^{c}$ при $a > c$ — это $(a - c)$ цифр $(b - 1)$ , за которыми $c$ нулей.

2^{10} - 2^{4}

: заём «съедает» хвост и оставляет цепочку

10 - 4 = 6

единиц

$4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ , $16 = 2^{4}$ . Одна восьмеричная цифра — ровно три двоичных разряда, шестнадцатеричная — четыре. Поэтому $8^{15} = 2^{45}$ , $4^{8} = 2^{16} = 1 6^{4}$ .

Разбор заданий

Сколько единиц в двоичной записи $4^{10} + 2^{7} + 3$ ?

$4^{10} = 2^{20}$ — одна единица; $2^{7}$ — одна единица.
$3 = 1 1_{2}$ — две единицы. Разряды не пересекаются (20, 7 и 1–0).
Всего $1 + 1 + 2 = 4$ .

Сколько значащих нулей в шестнадцатеричной записи $8^{15} + 4^{8} - 26$ ?

$8^{15} = 2^{45} = 2 \cdot 2^{44} = 2 \cdot 1 6^{11}$ — цифра 2 и 11 нулей: $2 11 www.reknow.ru www.reknow.ru www.reknow.ru 00 \dots 0$ .
$4^{8} - 26 = 1 6^{4} - 26 = 65510 = FFE6_{16}$ — 4 цифры без нулей.
Сумма: $20000000 FFE6$ — из 11 нулей четыре младших заняты цифрами FFE6, остаётся $11 - 4 = 7$ .

x = 8**15 + 4**8 - 26
print(hex(x)[2:].count('0'))   # 7
# для другой системы — делим в цикле:
n, b, zeros = x, 3, 0
while n > 0:
    zeros += (n % b == 0)
    n //= b
print(zeros)

Python работает с целыми числами любой длины, поэтому ответ можно получить напрямую.

Ловушки

Где теряют балл: считают «значащие нули», включая ведущий (его нет — запись числа начинается с ненулевой цифры); забывают про заём при вычитании и теряют цепочку цифр $(b - 1)$ ; складывают степени, у которых совпадают разряды ( $2^{5} + 2^{5} = 2^{6}$ — разряд переносится).

«Степень — единица с нулями, минус — цепочка максимальных цифр». В двоичной максимальная цифра 1, в восьмеричной 7, в шестнадцатеричной F.

Где эта тема разобрана подробно

Системы счисленияИзучить →

Примеры заданий 14 ЕГЭ по информатике

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения 4^10 + 2^7 + 3?

Показать ответ

Ответ: 4
Решение.

4^10 = 2^20 — это единица и 20 нулей.
2^7 добавляет ещё одну единицу в разряд 7, а число 3 в двоичной записи — 11.
Разряды не пересекаются, значит единицы просто складываются: 100000000000010000011.
Единиц получается 4.

Значение выражения 8^15 + 4^8 − 26 записали в шестнадцатеричной системе счисления. Сколько значащих нулей в этой записи?

Показать ответ

Ответ: 7
Решение.

Переводим слагаемые к основанию 2: 8^15 = 2^45, 4^8 = 2^16.
В шестнадцатеричной записи каждая цифра — это четыре двоичных разряда.
Полная запись: 20000000FFE6.
Нулей в ней 7.

Число 3978 записали в системе счисления с основанием 3. Чему равна сумма цифр полученной записи? Ответ запишите десятичным числом.

Показать ответ

Ответ: 6
Решение.

Делим число на основание, записывая остатки:
делимое частное остаток
3978 1326 0
1326 442 0
442 147 1
147 49 0
49 16 1
16 5 1
5 1 2
1 0 1
Читая остатки снизу вверх, получаем запись 12110100.
Сумма цифр: 6.

делимое	частное	остаток
3978	1326	0
1326	442	0
442	147	1
147	49	0
49	16	1
16	5	1
5	1	2
1	0	1

Число 2372 записано в системе счисления с основанием 9. Запишите это число в десятичной системе счисления.

Показать ответ

Ответ: 1766
Решение.

Каждая цифра умножается на основание в степени, равной номеру разряда (справа налево, начиная с нуля).
2372₉ = 2·9^3 + 3·9^2 + 7·9^1 + 2·9^0.
Считаем: 1766.

Значение арифметического выражения 4^25 + 4^4 − 2 записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

Показать ответ

Ответ: 3
Решение.

4^25 — это единица и 25 нулей, 4^4 — единица и 4 нулей. Их сумма: единица, нули, единица, нули.
Вычитание 2 трогает только хвост записи: младший разряд занимает у соседнего, и справа появляется цепочка цифр 3.
Полная запись: 10000000000000000000003332.
Цифра «3» встречается в ней 3 раз(а).

Позиционные системы счисления

Простыми словами

Три главных факта

Разбор заданий

Ловушки

Где эта тема разобрана подробно

Примеры заданий 14 ЕГЭ по информатике