Тема 10 · Геометрия · Глава VIII «Подобные треугольники» · подтема 3 из 5

Углы 30°, 45° и 60°

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. 110 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Чем круче горка, тем выше она поднимается на каждый метр пути. «Крутизна» — это отношение сторон, и оно зависит только от угла, а не от размера горки. Синус, косинус и тангенс — три таких отношения.

Если у двух прямоугольных треугольников равны острые углы, они подобны, поэтому отношения их сторон одинаковы. Значит, по углу можно найти отношение сторон, а по отношению — угол.

Определения

∠ C = 9 0^{\circ}

; для угла

A

катет

a = BC

противолежащий,

b = A C

прилежащий

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего катета к прилежащему.

sin A = \frac{a}{c} = \frac{BC}{A B}, cos A = \frac{b}{c} = \frac{A C}{A B}, tg A = \frac{a}{b} = \frac{BC}{A C}

a

— катет против угла

A

b

— катет при угле

A

c

— гипотенуза

Полезные следствия:

$tg A = \frac{sin A}{cos A}$ ;
$0 < sin A < 1$ и $0 < cos A < 1$ — катет короче гипотенузы;
для двух острых углов одного треугольника: $sin A = cos B$ , $cos A = sin B$ , $tg A \cdot tg B = 1$ (катет, противолежащий углу $A$ , прилежит к углу $B$ ).

Катеты прямоугольного треугольника 3 и 4, угол $β$ лежит против катета 3. Найдём $tg β$ и $sin β$ .

$tg β = \frac{противолежащий}{прилежащий} = \frac{3}{4}$ .
Гипотенуза: $3^{2} + 4^{2} www.reknow.ru = 5$ , поэтому $sin β = \frac{3}{5}$ .

Косинус — катет, который коснулся угла (прилежащий). Синус — катет «напротив». Тангенс — катет на катет, гипотенузы в нём нет.

Основное тригонометрическое тождество

sin^{2} A + cos^{2} A = 1

следует из теоремы Пифагора:

\frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}} = 1

Для острого угла отсюда: $cos A = 1 - sin^{2} A www.reknow.ru$ , $sin A = 1 - cos^{2} A www.reknow.ru$ . Разделив тождество на $cos^{2} A$ , получим $1 + tg^{2} A = \frac{1}{cos ^{2} A}$ .

В треугольнике $D EF$ угол $F$ прямой, $sin D = \frac{12}{13}$ , $D F = 30$ . Найти $EF$ .

$cos D = 1 - \frac{144}{169} www.reknow.ru = \frac{5}{13}$ .
$D F$ прилежит к углу $D$ : $cos D = \frac{D F}{D E}$ , $D E = \frac{30 \cdot 13}{5} = 78$ .
$EF = D E \cdot sin D = 78 \cdot \frac{12}{13} = 72$ .

Острые углы — $D$ и $E$ , $tg D = 0, 25$ . Тогда $tg E = \frac{1}{0 , 25} = 4$ .

Углы 30°, 45° и 60°

Угол	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$
$cos$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3 www.reknow.ru}{3}$	$1$	$3 www.reknow.ru$

Катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы. При угле $4 5^{\circ}$ треугольник равнобедренный — катеты равны.

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $∠ B = 6 0^{\circ}$ , $A B = 70$ . Найти $BC$ .

$BC$ прилежит к углу $B$ : $BC = A B \cdot cos 6 0^{\circ} = 70 \cdot \frac{1}{2} = 35$ .
Иначе: $∠ A = 3 0^{\circ}$ , а $BC$ лежит против него — половина гипотенузы, $35$ .

Синусы $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ : $\frac{1 www.reknow.ru}{2}, \frac{2 www.reknow.ru}{2}, \frac{3 www.reknow.ru}{2}$ — под корнем 1, 2, 3. Косинусы — те же числа в обратном порядке.

Как находить стороны

противолеж . = c \cdot sin α, прилеж . = c \cdot cos α, противолеж . = прилеж . \cdot tg α

c

— гипотенуза,

α

— острый угол

В практической задаче (горка, пандус, лестница, самолёт, тень) сначала находим прямоугольный треугольник: наклонный путь — гипотенуза, высота — катет против угла наклона, расстояние по земле — прилежащий катет.

Горка длиной 72 м наклонена под углом $3 0^{\circ}$ . Высота — катет против $3 0^{\circ}$ : $72 \cdot \frac{1}{2} = 36$ м.

Самолёт поднимается под углом $α$ , $sin α = 0, 1$ , поднялся на 3 км. Путь — гипотенуза: $\frac{3}{0 , 1} = 30$ км.

В прямоугольнике $A BC D$ : $A D = 60$ , $A C = 75$ . Найти $sin ∠ C A D$ .

Треугольник $A C D$ прямоугольный ( $∠ D = 9 0^{\circ}$ ), $A C$ — гипотенуза.
$C D = 7 5^{2} - 6 0^{2} www.reknow.ru = 45$ , $sin ∠ C A D = \frac{C D}{A C} = \frac{45}{75} = 0, 6$ .

Противолежащий и прилежащий катет зависят от того, о каком угле речь: для $∠ A$ и $∠ B$ они меняются местами. И не делите на синус там, где нужно умножать: катет $= c \cdot sin α$ , а гипотенуза $= \frac{катет}{s i n α}$ .

Частые задания: тождество, выражения, равнобедренный треугольник

Ошибки: $cos α \neq = 1 - sin α$ и $cos α \neq = 1 - sin^{2} α$ — верно $cos α = 1 - sin^{2} α www.reknow.ru$ : при $sin α = \frac{35}{37}$ получаем $cos α = \frac{144}{1369} www.reknow.ru = \frac{12}{37}$ . И $tg α = \frac{s i n α}{c o s α}$ , а не наоборот.
Может ли пара быть синусом и косинусом одного угла: проверьте $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ (например, $\frac{12}{13}$ и $\frac{5}{13}$ — да).
Выражения: $8 - 8 cos^{2} α = 8 sin^{2} α$ ; $(sin^{2} α - 1) \cdot 90 + 90 = 90 sin^{2} α$ ; $2 sin^{2} α + 2 cos^{2} α - 1 = 1$ . Значения $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ подставляют из таблицы: $7 tg^{2} 6 0^{\circ} + 10 sin 3 0^{\circ} cos 6 0^{\circ} = 21 + 2, 5 = 23, 5$ .
По тангенсу найти синус и косинус: $tg α = \frac{5}{12}$ — катеты $5$ и $12$ , гипотенуза $13$ , $cos α = \frac{12}{13}$ , $39 cos α = 36$ .
Периметр по тангенсу или косинусу: $tg A = \frac{15}{8}$ , $A C = 32$ ⇒ $BC = 60$ , $A B = 68$ , $P = 160$ .
Равнобедренный треугольник: высота $B H$ к основанию делит его пополам, $cos A = \frac{A H}{A B} = \frac{A C /2}{A B}$ ; $B H = A H \cdot tg A$ . С углом $12 0^{\circ}$ при вершине углы при основании $3 0^{\circ}$ , высота — половина боковой стороны.
Уравнения с углом $3 0^{\circ}$ : $∠ A = 3 0^{\circ}$ , $A B + BC = 93$ , $BC = \frac{A B}{2}$ ⇒ $1, 5 A B = 93$ , $A B = 62$ . Угол по сторонам: катет вдвое меньше гипотенузы ⇒ противолежащий угол $3 0^{\circ}$ ; равные катеты ⇒ $4 5^{\circ}$ .
Высота к гипотенузе при угле $3 0^{\circ}$ : $BC = 29$ , $A B = 58$ , $B H = BC sin 3 0^{\circ} = 14, 5$ , $A H = 58 - 14, 5 = 43, 5$ .

Крутизна склона сравнивается по тангенсу угла: «подъём 1 м на 3 м по горизонтали» круче, чем «1 м на 4 м». Двускатная крыша: половина ширины дома — прилежащий катет, высота конька $= \frac{ширина}{2} \cdot tg α$ , длина ската $= \frac{ширина /2}{c o s α}$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Калькуляторы

Тригонометрия

Серия: 0

Углы 30°, 45° и 60°

Простыми словами

Определения

Основное тригонометрическое тождество

Углы 30°, 45° и 60°

Как находить стороны

Частые задания: тождество, выражения, равнобедренный треугольник

Примеры заданий