Тема 04 · Алгебра · подтема 3 из 6

Виета: произведение корней

Квадратные уравнения. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Участок квадратной формы увеличили на 2 м по одной стороне, и площадь стала 24 м². Какова была сторона? Получается уравнение, где неизвестное стоит в квадрате: $x (x + 2) = 24$ , или $x^{2} + 2 x - 24 = 0$ . Такие уравнения называют квадратными, и для них есть готовая формула.

Квадратное уравнение — уравнение вида $a x^{2} + b x + c = 0$ , где $x$ — переменная, $a, b, c$ — числа и $a \neq = 0$ . $a$ — первый (старший) коэффициент, $b$ — второй, $c$ — свободный член. При $a = 1$ уравнение называют приведённым: $x^{2} + p x + q = 0$ .

Решение через дискриминант

D = b^{2} - 4 a c

дискриминант («различитель») — по нему видно, сколько корней

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D www.reknow.ru}{2 a}

формула корней (при

D \geq 0

)

Решите $x^{2} + 2 x - 24 = 0$ и найдите меньший корень.

$a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 24$ .
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24) = 4 + 96 = 100$ , $D www.reknow.ru = 10$ .
$x_{1} = \frac{- 2 - 10}{2} = - 6$ , $x_{2} = \frac{- 2 + 10}{2} = 4$ .
Меньший корень: $- 6$ .

Корни уравнения — точки пересечения параболы

y = x^{2} + 2 x - 24

с осью

O x

Следите за знаками: при $c = - 24$ произведение $- 4 a c = + 96$ . И $- b$ при $b = - 10$ равно $+ 10$ .

Сколько корней

$D > 0$ Два различных корня

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D www.reknow.ru}{2 a}

$D = 0$ Один корень

x = - \frac{b}{2 a}

$D < 0$ Корней нет:

D www.reknow.ru

не существует.

$x^{2} + 6 x - 27 = 0$ : $D = 36 + 108 = 144 > 0$ — два корня. $x^{2} + 2 x - 48 = 0$ : $D = 4 + 192 = 196 > 0$ — два корня.

Если $a$ и $c$ разных знаков (например, $c < 0$ при $a = 1$ ), то $- 4 a c > 0$ и $D > 0$ — два корня можно назвать сразу.

Теорема Виета

x^{2} + p x + q = 0 : x_{1} + x_{2} = - p, x_{1} \cdot x_{2} = q

сумма корней приведённого уравнения — второй коэффициент с обратным знаком, произведение — свободный член

Для $a x^{2} + b x + c = 0$ : $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

$x^{2} + 2 x - 24 = 0$ : сумма корней $- 2$ (проверка: $- 6 + 4 = - 2$ ✓), произведение $- 24$ ( $- 6 \cdot 4$ ✓).

$x^{2} - 10 x + 16 = 0$ : произведение $16$ (корни $2$ и $8$ ). $x^{2} + 0 x - 9 = 0$ : произведение $- 9$ (корни $\pm 3$ ).

Сумма — со сменой знака: у $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ сумма корней $- 2$ , а не $2$ . Произведение — без смены знака.

Виета помогает подбирать корни устно: для $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ ищем два числа с суммой $- 6$ и произведением $8$ — это $- 2$ и $- 4$ .

Неполные уравнения

Если $b = 0$ или $c = 0$ , дискриминант не нужен.

Вид	Решение
$a x^{2} = m$ ( $b = 0$ )	$x^{2} = \frac{m}{a}$ ; при $\frac{m}{a} > 0$ : $x = \pm \frac{m}{a} www.reknow.ru$ ; при $\frac{m}{a} < 0$ корней нет
$a x^{2} + b x = 0$ ( $c = 0$ )	$x (a x + b) = 0$ $\Rightarrow$ $x = 0$ или $x = - \frac{b}{a}$
$a x^{2} = 0$	$x = 0$

$3 x^{2} = 4107$ , найдите положительный корень.

$x^{2} = 4107 : 3 = 1369$ .
$x = \pm 1369 www.reknow.ru = \pm 37$ . Положительный: $37$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 36 x = 0$ , найдите ненулевой корень.

Выносим $3 x$ : $3 x (x - 36) = 0$ .
$x = 0$ или $x = 36$ . Ненулевой: $36$ .

Нельзя делить $x^{2} = 23 x$ на $x$ — потеряется корень $x = 0$ . И у $x^{2} = 16$ два корня: $4$ и $- 4$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Квадратичная функция

Калькуляторы

Калькулятор уравнений

Серия: 0