Вынесение множителя

Простыми словами

Площадь квадратной комнаты 25 м². Какова длина стены? Нужно число, квадрат которого равен 25, — это 5. Действие «найти сторону по площади» и есть извлечение квадратного корня: $\sqrt{25}=5$.

$\sqrt{25}=5$, потому что $5\ge 0$ и $5^2=25$. Число $-5$ тоже даёт в квадрате 25, но арифметический корень — только неотрицательный. $\sqrt{-4}$ не существует: квадрат числа не бывает отрицательным.

Вычисление и оценка корня

По таблице: $\sqrt{144}=12$, $\sqrt{625}=25$. Если числа нет в таблице квадратов, корень оценивают — находят два соседних квадрата.

Свойства корня

Вынесение множителя и подобные корни

Раскладываем подкоренное число так, чтобы один множитель был точным квадратом, и выносим его корень: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$ ($a\ge 0$).

Подобные корни (с одинаковым подкоренным выражением) складывают как подобные слагаемые: $8\sqrt{3}-6\sqrt{3}=2\sqrt{3}$, $5\sqrt{2}+3\sqrt{2}=8\sqrt{2}$. Так же $9\sqrt{9}-6\sqrt{9}=3\sqrt{9}$ (а это $3\cdot 3=9$).

Освобождение от иррациональности

Корень в знаменателе неудобен. Домножим числитель и знаменатель на этот корень — в знаменателе получится $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=a$.