Тема 05 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Неравенства с модулем

Неравенства и системы. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

В лифт можно взять не больше 400 кг. Ответ здесь — не одно число, а целый промежуток допустимых значений. Неравенства решают почти как уравнения, но с одним важным отличием: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства переворачивается.

1) К обеим частям можно прибавить одно и то же число — знак сохраняется.
2) Обе части можно умножить (разделить) на положительное число — знак сохраняется.
3) При умножении (делении) на отрицательное число знак меняется на противоположный: $- 2 x < 6 \Rightarrow x > - 3$ .

Дробные коэффициенты

Первым действием умножаем обе части на НОК знаменателей — число положительное, знак не меняется.

Сколько натуральных решений у неравенства $5 - \frac{3 x - 6}{12} > \frac{3 x + 3}{4}$ ?

Умножаем на 12: $60 - (3 x - 6) > 3 (3 x + 3)$ .
Раскрываем скобки: $66 - 3 x > 9 x + 9$ , то есть $57 > 12 x$ , $x < 4, 75$ .
Натуральные решения: $1, 2, 3, 4$ — их $4$ .

Наименьшее целое решение $\frac{2 x + 3}{8} - \frac{2 x + 2}{4} \leq 3$ .

$\cdot 8$ : $2 x + 3 - 2 (2 x + 2) \leq 24$ , $- 2 x - 1 \leq 24$ .
$- 2 x \leq 25$ ; делим на $- 2$ и меняем знак: $x \geq - 12, 5$ .
Наименьшее целое: $- 12$ .

Минус перед дробью относится ко всему числителю: $- \frac{3 x - 6}{12}$ после умножения даёт $- (3 x - 6) = - 3 x + 6$ .

Двойные неравенства и системы

В двойном неравенстве $a < f (x) < b$ преобразуем сразу все три части.

Наибольшее целое решение $- 24 < 2 x + 5 \leq 11$ .

$- 5$ ко всем частям: $- 29 < 2 x \leq 6$ .
$: 2$ : $- 14, 5 < x \leq 3$ .
Ответ: $3$ .

Решение системы — пересечение (общая часть) решений всех неравенств. Удобно отметить оба ответа на одной прямой.

Сколько целых решений у системы ${2 x + 2 > - 11 5 x - 8 < 21$ ?

$2 x > - 13$ , $x > - 6, 5$ ; $5 x < 29$ , $x < 5, 8$ .
Общая часть: $- 6, 5 < x < 5, 8$ .
Целые: от $- 6$ до $5$ — их $5 - (- 6) + 1 = 12$ .

Промежуток с целыми $a < b$	Число целых решений
$a \leq x \leq b$	$b - a + 1$
$a < x < b$	$b - a - 1$
$a < x \leq b$ или $a \leq x < b$	$b - a$

Система $x > 7$ и $x < 2$ решений не имеет: общей части нет. Не путайте пересечение («и») с объединением («или»).

Неравенства с модулем

$∣ A ∣$ — расстояние от $A$ до нуля, а $∣ x - a ∣$ — расстояние от $x$ до $a$ на прямой. При $c > 0$ :

$∣ A ∣ < c$

- c < A < c

— один промежуток.

∣ x - a ∣ < c

: промежуток длины

2 c

с центром

a

$∣ A ∣ > c$

A < - c

или

A > c

— два луча.

2 < ∣ x - 5∣ < 5

: целые решения

1, 2, 8, 9

— их четыре

Число целых решений $5 < ∣ x - 7∣ < 12$ .

Расстояние от $x$ до 7 — от 6 до 11 включительно (для целых).
С каждой стороны от 7 по $6$ чисел: $11 - 6 + 1 = 6$ .
Всего $2 \cdot 6 = 12$ .

$∣ A ∣ < c$ при $c \leq 0$ решений не имеет; $∣ A ∣ > c$ при $c < 0$ верно всегда.

Неравенства с параметром

Решаем, считая параметр числом. Особый случай — когда коэффициент при $x$ равен нулю: неравенство превращается в числовое.

$k x > m$ при $k = 0$ принимает вид $0 > m$ : решений нет, если $m \geq 0$ ; любое $x$ , если $m < 0$ . При $k \neq = 0$ решения всегда есть (луч).

При каком $a$ неравенство $(a + 3) x > 5$ не имеет решений?

При $a + 3 \neq = 0$ решение — луч, решения есть.
При $a = - 3$ : $0 \cdot x > 5$ , то есть $0 > 5$ — неверно при любом $x$ .
Ответ: $a = - 3$ .

Так же $(a - 6) x \geq 8$ не имеет решений при $a = 6$ : $0 \geq 8$ — ложно.

Если коэффициент с параметром может быть отрицательным, при делении на него знак меняется — рассмотрите случаи $k > 0$ , $k < 0$ , $k = 0$ отдельно.

Целые решения с параметром

Число целых решений считаем по таблице из раздела о системах, а потом решаем уравнение относительно параметра.

При каком целом $a$ неравенство $- 7 \leq x \leq a$ имеет ровно 10 целых решений? $a - (- 7) + 1 = 10$ , $a = 2$ (числа от $- 7$ до $2$ ).

Система $x > a$ , $x < 1$ имеет ровно 8 целых решений. Это числа $0, - 1, \dots, - 7$ , значит, $a = - 8$ (сам $a$ не входит).

При каком наибольшем целом $a$ система $x \geq 3$ , $x \leq a$ не имеет решений? Общей части нет, когда $a < 3$ ; наибольшее целое $a = 2$ . (При $a = 3$ решение одно: $x = 3$ .)

$∣ x + 4∣ \leq 7$ : $- 11 \leq x \leq 3$ , целых $15$ . Сумма идущих подряд целых $= \frac{( первое + последнее ) \cdot количество}{2} = \frac{( - 11 + 3 ) \cdot 15}{2} = - 60$ .

Серия: 0

Неравенства с модулем

Простыми словами

Дробные коэффициенты

Двойные неравенства и системы

Неравенства с модулем

Неравенства с параметром

Целые решения с параметром

Примеры заданий