Вложенные и составные радикалы

Упростите $4\sqrt{650}-3\sqrt{2106}$.

1. $650=25\cdot 26$, $\sqrt{650}=5\sqrt{26}$; $4\cdot 5\sqrt{26}=20\sqrt{26}$.
2. $2106=81\cdot 26$, $\sqrt{2106}=9\sqrt{26}$; $3\cdot 9\sqrt{26}=27\sqrt{26}$.
3. Корни подобные: $20\sqrt{26}-27\sqrt{26}=-7\sqrt{26}$.

$\sqrt{490}\cdot \sqrt{810}=\sqrt{49\cdot 10\cdot 81\cdot 10}=7\cdot 9\cdot 10=630$.

$\frac{3}{\sqrt{58}-\sqrt{55}}$

1. Умножаем на $\sqrt{58}+\sqrt{55}$: знаменатель $58-55=3$.
2. $\frac{3(\sqrt{58}+\sqrt{55})}{3}=\sqrt{58}+\sqrt{55}$.

Сравните $4\sqrt{5}$ и $6\sqrt{6}$.

1. $4\sqrt{5}=\sqrt{16\cdot 5}=\sqrt{80}$; $6\sqrt{6}=\sqrt{36\cdot 6}=\sqrt{216}$.
2. $80<216$, значит, больше второе число.

Найдите целую часть $8\sqrt{3}$.

1. $8\sqrt{3}=\sqrt{192}$.
2. $13^2=169\le 192<196=14^2$, значит, $13\le \sqrt{192}<14$. Целая часть — $13$.

$\sqrt{x^2-34x+289}$ при $x>17$.

1. $x^2-34x+289=(x-17{)}^2$.
2. $\sqrt{(x-17{)}^2}=|x-17|=x-17$, так как $x-17>0$.

$\sqrt{(\sqrt{3}-10{)}^2}+\sqrt{3}=|\sqrt{3}-10|+\sqrt{3}=10-\sqrt{3}+\sqrt{3}=10$ (ведь $\sqrt{3}<10$).

$\sqrt{133+44\sqrt{3}}$

1. $2pq=44$, $pq=22$: пробуем $p=11$, $q=2$.
2. Проверка: $11^2+2^2\cdot 3=121+12=133$ ✓.
3. Ответ: $11+2\sqrt{3}$. Ещё пример: $\sqrt{7+4\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}$.

$\frac{1}{\sqrt{49}+\sqrt{48}}+\frac{1}{\sqrt{49}-\sqrt{48}}$: так как $49-48=1$, первая дробь равна $7-\sqrt{48}$, вторая — $7+\sqrt{48}$. Сумма $14$.

Вычислите $\frac{1}{\sqrt{17}+\sqrt{16}}+\frac{1}{\sqrt{18}+\sqrt{17}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{49}+\sqrt{48}}$.

1. Сумма равна $(\sqrt{17}-\sqrt{16})+(\sqrt{18}-\sqrt{17})+\dots +(\sqrt{49}-\sqrt{48})$.
2. Остаются только крайние: $\sqrt{49}-\sqrt{16}=7-4=3$.

$\frac{1}{\sqrt{38}-6}-\frac{1}{\sqrt{38}+6}=\frac{(\sqrt{38}+6)-(\sqrt{38}-6)}{38-36}=\frac{12}{2}=6$.

Сколько целых чисел лежит между $\sqrt{23}$ и $\sqrt{41}$?

1. Оценим: $4^2=16<23<25=5^2$, значит $4<\sqrt{23}<5$; $6^2=36<41<49=7^2$, значит $6<\sqrt{41}<7$.
2. Между ними целые $5$ и $6$ — их $2$. (Иначе: ищем целые $k$ с $23<k^2<41$, это $k^2=25$ и $36$.)