Тема 01 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Биссектриса и отношение углов

Углы и их биссектрисы. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Почти любая задача про углы держится на двух числах: прямая «стоит» $18 0^{\circ}$ , полный оборот вокруг точки — $36 0^{\circ}$ . Лучи из одной точки делят эти $18 0^{\circ}$ или $36 0^{\circ}$ на части — из этого и получается уравнение.

СмежныеОбщая сторона, две другие образуют прямую:

∠1 + ∠2 = 18 0^{\circ}

ВертикальныеСтороны одного — продолжения сторон другого:

∠1 = ∠2

Вокруг точкиСумма всех углов между соседними лучами

= 36 0^{\circ}

Если луч $OC$ проходит внутри $∠ A OB$ , то $∠ A OC + ∠ COB = ∠ A OB$ .

Смежные и вертикальные в одной конфигурации

Прямые $A B$ и $C D$ пересекаются в $O$ , $∠ A OC = 10 6^{\circ}$ , луч $O K$ внутри $∠ BOC$ , $∠ BO K = 4 9^{\circ}$ . Найти $∠ K O D$ .

$∠ BO D = ∠ A OC = 10 6^{\circ}$ — вертикальные.
$∠ K O D = ∠ K OB + ∠ BO D = 4 9^{\circ} + 10 6^{\circ} = 15 5^{\circ}$ .

Смежные углы отличаются на $8 6^{\circ}$ . Найти больший.

Меньший $x$ , больший $x + 8 6^{\circ}$ : $2 x + 8 6^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , $x = 4 7^{\circ}$ .
Больший $4 7^{\circ} + 8 6^{\circ} = 13 3^{\circ}$ .

m x + k x = 18 0^{\circ} \Rightarrow x = \frac{18 0 ^{\circ}}{m + k}

смежные углы относятся как

m : k

;

x

— одна часть

Биссектрисы

Биссектриса угла — луч из вершины, который делит угол пополам: если $∠ A OC = α$ , каждая половина $\frac{α}{2}$ .

OM

ON

— биссектрисы смежных углов

COB

A OC

∠ MON = 9 0^{\circ}

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны: $\frac{α}{2} + \frac{18 0 ^{\circ} - α}{2} = 9 0^{\circ}$ при любом $α$ . Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

$O$ на прямой $A B$ , $∠ A OC = 3 4^{\circ}$ , $OM$ — биссектриса $∠ COB$ . Найти $∠ A OM$ .

$∠ COB = 18 0^{\circ} - 3 4^{\circ} = 14 6^{\circ}$ , $∠ MOB = 7 3^{\circ}$ .
$∠ A OM = 18 0^{\circ} - 7 3^{\circ} = 10 7^{\circ}$ (или $3 4^{\circ} + 7 3^{\circ}$ ).

Смежные $∠ A OC : ∠ COB = 4 : 1$ , $OM$ — биссектриса $∠ A OC$ . Найти $∠ MOB$ .

$5 x = 18 0^{\circ}$ , $x = 3 6^{\circ}$ : $∠ A OC = 14 4^{\circ}$ , $∠ COB = 3 6^{\circ}$ .
$∠ MOB = \frac{14 4 ^{\circ}}{2} + 3 6^{\circ} = 10 8^{\circ}$ .

Биссектриса биссектрисы: если $OC$ делит $∠ A OB$ пополам, а $O D$ — пополам $∠ COB$ , то $∠ A O D = \frac{3}{4} ∠ A OB$ . При $∠ A OB = 8 0^{\circ}$ получаем $6 0^{\circ}$ .

Углы вокруг точки и уравнение

Лучи $O A, OB, OC, O D$ идут по кругу, $∠ A OB = 11 8^{\circ}$ , $∠ BOC = 5 0^{\circ}$ , $∠ CO D = 5 5^{\circ}$ . Найти $∠ D O A$ .

$∠ D O A = 36 0^{\circ} - 11 8^{\circ} - 5 0^{\circ} - 5 5^{\circ} = 13 7^{\circ}$ .

$∠ A OB = 12 6^{\circ}$ , $∠ A OC = 2 x + 9^{\circ}$ , $∠ COB = 3 x - 8^{\circ}$ . Найти $∠ COB$ .

Луч внутри угла: $(2 x + 9) + (3 x - 8) = 126$ , $5 x = 125$ , $x = 25$ .
$∠ COB = 3 \cdot 25 - 8 = 6 7^{\circ}$ .

$∠ A OB = 17 2^{\circ}$ , $∠ A OC$ больше $∠ COB$ на $4 4^{\circ}$ : $x + (x + 4 4^{\circ}) = 17 2^{\circ}$ , $∠ COB = x = 6 4^{\circ}$ .

Найдя $x$ , вернитесь к вопросу: часто нужен не $x$ , а $3 x - 8$ или $x + 4 4^{\circ}$ . И проверьте, что каждый угол получился положительным.

Ещё конфигурации с биссектрисами и лучами

Луч делит угол в отношении, $OM$ — биссектриса: $∠ A OB = 7 8^{\circ}$ , $∠ A OC : ∠ COB = 2 : 1$ → $∠ A OC = 5 2^{\circ}$ , $∠ A OM = 3 9^{\circ}$ , $∠ COM = 5 2^{\circ} - 3 9^{\circ} = 1 3^{\circ}$ .
Смежные $1 : 4$ , биссектриса большего: углы $3 6^{\circ}$ и $14 4^{\circ}$ ; биссектриса большего образует с общей стороной $OC$ угол $14 4^{\circ} : 2 = 7 2^{\circ}$ .
Обратная задача: $OM$ — биссектриса $∠ A OC$ , $∠ MOB = 13 1^{\circ}$ → $∠ MO A = 18 0^{\circ} - 13 1^{\circ} = 4 9^{\circ}$ , $∠ A OC = 9 8^{\circ}$ .
Биссектрисы смежных углов: $∠ MOC = 2 3^{\circ}$ → $∠ NOC = 9 0^{\circ} - 2 3^{\circ} = 6 7^{\circ} = ∠ NOB$ .
Лучи по одну сторону от прямой: $∠ A OC = 9 4^{\circ}$ , $∠ CO D = 3 0^{\circ}$ → $∠ D OB = 18 0^{\circ} - 9 4^{\circ} - 3 0^{\circ} = 5 6^{\circ}$ . Два луча внутри угла: $∠ CO D = ∠ A OB - ∠ A OC - ∠ D OB = 14 9^{\circ} - 6 3^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 1^{\circ}$ .
Вокруг точки: три угла в отношении $2 : 2 : 1$ — $5 x = 36 0^{\circ}$ , наименьший $7 2^{\circ}$ ; четыре луча, $∠ A OB = 9 3^{\circ}$ , $∠ BOC = 5 9^{\circ}$ , два остальных равны $x$ : $2 x = 36 0^{\circ} - 15 2^{\circ}$ , $x = 10 4^{\circ}$ .
«В $k$ раз больше»: $∠ A OC = 3∠ COB$ , $∠ A OB = 10 0^{\circ}$ → $4 x = 10 0^{\circ}$ , $∠ A OC = 7 5^{\circ}$ .

Серия: 0