Тема 03 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Равнобедренный треугольник и его свойства

Треугольники: равенство и построения. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Равнобедренный треугольник и его свойства»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Два треугольника равны, если один можно наложить на другой так, что они совпадут. Чтобы это доказать, не нужно сверять всё — хватает трёх подходящих элементов. А потом равенство «переносит» известные стороны и углы с одного треугольника на другой.

1-й: по двум сторонам и углу между ними.
2-й: по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3-й: по трём сторонам.

В составном чертеже ищите готовые равные элементы: общую сторону двух треугольников и вертикальные углы.

$C$ и $D$ по разные стороны от $A B$ , $A C = A D$ , $BC = B D$ , $∠ C A B = 3 6^{\circ}$ , $∠ A CB = 8 5^{\circ}$ . Найти $∠ A B D$ .

$△ A CB = △ A D B$ по трём сторонам ( $A B$ — общая).
Значит, $∠ A B D = ∠ A BC = 18 0^{\circ} - 3 6^{\circ} - 8 5^{\circ} = 5 9^{\circ}$ .
Периметр $A CB D = 2 A C + 2 BC$ : при $A C = 15$ , $BC = 7$ он равен $44$ .

Равнобедренный треугольник

$A B = A C$ — боковые стороны, $BC$ — основание, $A$ — вершина. Углы при основании равны: $∠ B = ∠ C$ .

∠ A + 2∠ B = 18 0^{\circ}

∠ A

— угол при вершине,

∠ B

— угол при основании

$∠ A : ∠ B = 7 : 4$ . Найти $∠ A$ .

$∠ A = 7 x$ , $∠ B = ∠ C = 4 x$ : $7 x + 4 x + 4 x = 18 0^{\circ}$ .
$15 x = 18 0^{\circ}$ , $x = 1 2^{\circ}$ , $∠ A = 8 4^{\circ}$ .

Внешний угол при $C$ равен $13 9^{\circ}$ (продолжили основание). Угол при основании: $18 0^{\circ} - 13 9^{\circ} = 4 1^{\circ}$ .

Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают: делят $∠ A$ пополам, основание пополам и перпендикулярны ему. Поэтому $∠ B A M = \frac{∠ A}{2}$ , $∠ A MB = 9 0^{\circ}$ .

$∠ A = 8 8^{\circ}$ , $A M$ — медиана к основанию: $∠ B A M = 8 8^{\circ} : 2 = 4 4^{\circ}$ .

В любом треугольнике угол между биссектрисой и высотой из одной вершины равен полуразности двух других углов: $\frac{∣∠ B - ∠ C ∣}{2}$ .

Периметр и стороны

P = 2 b + a

b

— боковая сторона,

a

— основание равнобедренного треугольника

$P = 105$ , основание на $15$ больше боковой. Найти боковую.

Боковая $x$ , основание $x + 15$ : $x + x + (x + 15) = 105$ .
$3 x = 90$ , $x = 30$ .

$P = 79$ , основание $35$ : $2 b = 79 - 35 = 44$ , $b = 22$ .

Если стороны даны отношением $m : k : t$ , решаем $m x + k x + t x = P$ .

Проверяйте неравенство треугольника: для равнобедренного основание $< 2 \cdot$ боковая. Стороны $3, 3, 7$ треугольника не образуют.

Вспомогательные построения

Удвоение медианы. Медиану $A M$ продолжают за $M$ на её длину до точки $D$ .

△ A MB = △ D MC

BM = MC

A M = M D

, углы при

M

вертикальные

$∠ B = 5 9^{\circ}$ , $∠ C = 4 7^{\circ}$ . Найти $∠ A C D$ .

$△ A MB = △ D MC$ (1-й признак), значит $∠ MC D = ∠ B = 5 9^{\circ}$ .
$∠ A C D = ∠ A CB + ∠ BC D = 4 7^{\circ} + 5 9^{\circ} = 10 6^{\circ}$ .

Продолжить сторонуПоявляется внешний угол: он равен сумме двух не смежных с ним внутренних.

Провести биссектрису

∠ A L B = 18 0^{\circ} - ∠ B - \frac{∠ A}{2}

(

A L

— биссектриса).

Видите медиану и надо «связать» две стороны — удвойте медиану: получится пара равных треугольников.

Ещё задачи на углы треугольника

Внешние углы при $A$ и $B$ равны $10 5^{\circ}$ и $11 2^{\circ}$ : внутренние $7 5^{\circ}$ и $6 8^{\circ}$ , $∠ C = 18 0^{\circ} - 7 5^{\circ} - 6 8^{\circ} = 3 7^{\circ}$ . Внешний угол $A C D$ при $∠ A = 4 6^{\circ}$ , $∠ B = 8 4^{\circ}$ : $4 6^{\circ} + 8 4^{\circ} = 13 0^{\circ}$ .
Биссектриса $A L$ , найти $∠ A L C$ : $∠ A = 18 0^{\circ} - 5 4^{\circ} - 7 6^{\circ} = 5 0^{\circ}$ , $∠ C A L = 2 5^{\circ}$ , $∠ A L C = 18 0^{\circ} - 7 6^{\circ} - 2 5^{\circ} = 7 9^{\circ}$ .
Равнобедренный $A B = A C$ : высота $A H$ к основанию — $∠ B A H = 9 0^{\circ} - ∠ B = 4 6^{\circ}$ при $∠ B = 4 4^{\circ}$ ; высота $B H$ к боковой стороне — $∠ A B H = 9 0^{\circ} - ∠ A = 4 2^{\circ}$ при $∠ A = 4 8^{\circ}$ ; биссектриса $B D$ угла при основании: при $∠ A = 7 2^{\circ}$ $∠ B = 5 4^{\circ}$ , $∠ A B D = 2 7^{\circ}$ , $∠ B D A = 18 0^{\circ} - 7 2^{\circ} - 2 7^{\circ} = 8 1^{\circ}$ .
Сумма вершинного и базового угла $12 9^{\circ}$ : из $∠ A + 2∠ B = 18 0^{\circ}$ вычтем $∠ A + ∠ B = 12 9^{\circ}$ — $∠ B = 5 1^{\circ}$ . Вершинный на $3 3^{\circ}$ больше: $(x + 33) + 2 x = 180$ , $x = 49$ , $∠ A = 8 2^{\circ}$ .
Стороны через отношение: боковая и основание $5 : 6$ , $P = 112$ : $5 x + 5 x + 6 x = 16 x = 112$ , $x = 7$ , основание $42$ . Основание на 4 меньше боковой, $P = 35$ : $3 x - 4 = 35$ , $x = 13$ , основание $9$ .

Серия: 0