Тема 06 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Системы: способ сложения

Линейные уравнения и системы. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Любое линейное уравнение после упрощений превращается в $k x = m$ . Дальше всё решает число $k$ : не нуль — один корень; нуль — либо корней нет, либо подходит любое $x$ . На этом держатся и задачи с параметром.

k x = m

x

— неизвестное,

k

— коэффициент при нём,

m

— свободный член

Условие	Корни	Пример
$k \neq = 0$	один: $x = \frac{m}{k}$	$3 x = 12$ → $x = 4$
$k = 0, m \neq = 0$	нет корней	$0 \cdot x = 8$
$k = 0, m = 0$	бесконечно много	$0 \cdot x = 0$

Скобки и дробные коэффициенты

Умножьте обе части на общий знаменатель — дроби исчезнут, останется обычное линейное уравнение.

$\frac{x - 6}{6} = \frac{x + 1}{9}$

Общий знаменатель $18$ : $3 (x - 6) = 2 (x + 1)$ .
$3 x - 18 = 2 x + 2$ → $x = 20$ .

Так же $\frac{x + 4}{3} = \frac{x + 6}{4}$ → $4 (x + 4) = 3 (x + 6)$ → $4 x + 16 = 3 x + 18$ → $x = 2$ .

Множитель применяют к каждому слагаемому, включая те, что без дроби: $\frac{2 x - 1}{3} + \frac{x + 4}{2} = 5$ → $2 (2 x - 1) + 3 (x + 4) = 30$ , а не $= 5$ . И берите числитель в скобки: минус перед дробью меняет знаки всего числителя.

Уравнения с параметром

Параметр — буква, обозначающая число, которое пока не известно. Уравнение приводят к виду $k x = m$ , где $k$ и $m$ зависят от параметра, и пользуются таблицей выше.

$a x - 6 = 2 x + 2$ → $(a - 2) x = 8$ . Корней нет, если $a - 2 = 0$ (а $8 \neq = 0$ ): $a = 2$ .
$a (x - 2) = - 6 x + 12$ → $a (x - 2) = - 6 (x - 2)$ → $(a + 6) (x - 2) = 0$ , т. е. $(a + 6) x = 2 (a + 6)$ . Бесконечно много корней при $a + 6 = 0$ : $a = - 6$ .

«Бесконечно много корней» — левая и правая части совпадают при любом $x$ : коэффициенты при $x$ и свободные члены одинаковы.

Уравнения с модулем

$∣ x - a ∣$ — расстояние от $x$ до точки $a$ . Поэтому $∣ x + 11∣ = 6$ означает: « $x$ на расстоянии 6 от точки $- 11$ ».

∣ x + 11∣ = 6

: корни

- 17

- 5

, больший

- 5

Уравнение	Что делать
$∣ A ∣ = b, b > 0$	$A = b$ или $A = - b$ — два случая
$∣ A ∣ = 0$	$A = 0$ — один корень
$∣ A ∣ = b, b < 0$	корней нет
$∣ A ∣ = ∣ B ∣$	$A = B$ или $A = - B$

$∣ x + 7∣ = 6$ : $x + 7 = 6$ → $x = - 1$ , или $x + 7 = - 6$ → $x = - 13$ . Больший корень $- 1$ .

Модуль не бывает отрицательным: у $∣ x - 3∣ = - 2$ корней нет — дальше решать не нужно.