Тема 06 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Уравнения с параметром

Линейные уравнения и системы. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Любое линейное уравнение после упрощений превращается в $k x = m$ . Дальше всё решает число $k$ : не нуль — один корень; нуль — либо корней нет, либо подходит любое $x$ . На этом держатся и задачи с параметром.

k x = m

x

— неизвестное,

k

— коэффициент при нём,

m

— свободный член

Условие	Корни	Пример
$k \neq = 0$	один: $x = \frac{m}{k}$	$3 x = 12$ → $x = 4$
$k = 0, m \neq = 0$	нет корней	$0 \cdot x = 8$
$k = 0, m = 0$	бесконечно много	$0 \cdot x = 0$

Скобки и дробные коэффициенты

Умножьте обе части на общий знаменатель — дроби исчезнут, останется обычное линейное уравнение.

$\frac{x - 6}{6} = \frac{x + 1}{9}$

Общий знаменатель $18$ : $3 (x - 6) = 2 (x + 1)$ .
$3 x - 18 = 2 x + 2$ → $x = 20$ .

Так же $\frac{x + 4}{3} = \frac{x + 6}{4}$ → $4 (x + 4) = 3 (x + 6)$ → $4 x + 16 = 3 x + 18$ → $x = 2$ .

Множитель применяют к каждому слагаемому, включая те, что без дроби: $\frac{2 x - 1}{3} + \frac{x + 4}{2} = 5$ → $2 (2 x - 1) + 3 (x + 4) = 30$ , а не $= 5$ . И берите числитель в скобки: минус перед дробью меняет знаки всего числителя.

Уравнения с параметром

Параметр — буква, обозначающая число, которое пока не известно. Уравнение приводят к виду $k x = m$ , где $k$ и $m$ зависят от параметра, и пользуются таблицей выше.

$a x - 6 = 2 x + 2$ → $(a - 2) x = 8$ . Корней нет, если $a - 2 = 0$ (а $8 \neq = 0$ ): $a = 2$ .
$a (x - 2) = - 6 x + 12$ → $a (x - 2) = - 6 (x - 2)$ → $(a + 6) (x - 2) = 0$ , т. е. $(a + 6) x = 2 (a + 6)$ . Бесконечно много корней при $a + 6 = 0$ : $a = - 6$ .

«Бесконечно много корней» — левая и правая части совпадают при любом $x$ : коэффициенты при $x$ и свободные члены одинаковы.

Уравнения с модулем

$∣ x - a ∣$ — расстояние от $x$ до точки $a$ . Поэтому $∣ x + 11∣ = 6$ означает: « $x$ на расстоянии 6 от точки $- 11$ ».

∣ x + 11∣ = 6

: корни

- 17

- 5

, больший

- 5

Уравнение	Что делать
$∣ A ∣ = b, b > 0$	$A = b$ или $A = - b$ — два случая
$∣ A ∣ = 0$	$A = 0$ — один корень
$∣ A ∣ = b, b < 0$	корней нет
$∣ A ∣ = ∣ B ∣$	$A = B$ или $A = - B$

$∣ x + 7∣ = 6$ : $x + 7 = 6$ → $x = - 1$ , или $x + 7 = - 6$ → $x = - 13$ . Больший корень $- 1$ .

Модуль не бывает отрицательным: у $∣ x - 3∣ = - 2$ корней нет — дальше решать не нужно.

Системы: способ сложения

Уравнения системы можно почленно складывать и вычитать, предварительно умножив на числа. Выбирают действие, после которого одна переменная исчезает.

${6 x - 2 y = 12 2 x - 5 y = 17$ — найдите $x y$ .

Умножим второе на $3$ : $6 x - 15 y = 51$ .
Вычтем из первого: $(6 x - 2 y) - (6 x - 15 y) = 12 - 51$ , $13 y = - 39$ , $y = - 3$ .
$6 x - 2 \cdot (- 3) = 12$ → $6 x = 6$ → $x = 1$ . Ответ: $x y = - 3$ .

${- 3 x - 3 y = 27 4 x - 3 y = - 1$

Вычтем первое из второго: $7 x = - 28$ , $x = - 4$ .
Из первого: $x + y = - 9$ → $y = - 5$ . $x y = 20$ .

${5 x + 3 y = 19 3 x + 5 y = 21$ : сложение даёт $8 (x + y) = 40$ , вычитание — $2 (x - y) = - 2$ . Получаем $x + y = 5$ , $x - y = - 1$ — дальше устно: $x = 2, y = 3$ .

Сколько решений у системы

Для системы ${a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}$ :

Одно решение

a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0

(коэффициенты не пропорциональны) — прямые пересекаются

Нет решений

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}}

— прямые параллельны

Бесконечно много

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}}

— пропорционально всё уравнение, прямые совпадают

${8 x + 2 y = 11 a x - 4 y = - 22$ — бесконечно много решений. Второе должно быть первым, умноженным на $- 2$ (ведь $2 \cdot (- 2) = - 4$ , $11 \cdot (- 2) = - 22$ ). Значит, $a = 8 \cdot (- 2) = - 16$ .
Пара $(2; - 5)$ — решение системы ${3 x + 5 y = - 19 a x + 6 y = - 40$ . Подставим во второе: $2 a - 30 = - 40$ , $a = - 5$ (первое: $6 - 25 = - 19$ ✓).

Ещё задачи с параметром и модулем

Корень известен: при каком $a$ корень уравнения $a x + 10 = - 62$ равен $- 8$ ? Подставим: $- 8 a + 10 = - 62$ , $- 8 a = - 72$ , $a = 9$ .
Общий корень уравнений $2 x - 4 = 0$ и $a x + 8 = 12$ : из первого $x = 2$ ; подставим во второе: $2 a + 8 = 12$ , $a = 2$ .
Три уравнения с общим решением: $x + y = - 5$ , $x - y = - 1$ дают $x = - 3$ , $y = - 2$ ; подставим в $a x - 6 y = 24$ : $- 3 a + 12 = 24$ , $a = - 4$ .
Модуль равен модулю: $∣ x + 2∣ = ∣ x - 6∣$ — точка $x$ равноудалена от $- 2$ и $6$ , это середина: $x = 2$ (из $x + 2 = - (x - 6)$ ). $∣6 x + 9∣ = ∣4 x + 11∣$ : $6 x + 9 = 4 x + 11$ → $x = 1$ , или $6 x + 9 = - (4 x + 11)$ → $x = - 2$ ; больший корень $1$ .
Сумма корней: $∣2 x - 13∣ = 19$ → $2 x - 13 = 19$ , $x = 16$ , или $2 x - 13 = - 19$ , $x = - 3$ ; сумма $13$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Система двух уравнений

Серия: 0

Уравнения с параметром

Простыми словами

Скобки и дробные коэффициенты

Уравнения с параметром

Уравнения с модулем

Системы: способ сложения

Сколько решений у системы

Ещё задачи с параметром и модулем

Примеры заданий