Тема 03 · Математика, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Умножение и деление дробей

Обыкновенные и десятичные дроби. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Дробь — это часть целого. Пиццу разрезали на 8 кусков, съели 3 — съели $\frac{3}{8}$ пиццы. Обыкновенная дробь $\frac{3}{8}$ и десятичная $0, 375$ — одно и то же число, записанное по-разному. Главное умение темы — выбрать удобную запись и не ошибиться в порядке действий.

В дроби $\frac{a}{b}$ знаменатель $b$ показывает, на сколько равных частей разделили целое, числитель $a$ — сколько частей взяли. Смешанное число $2 \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ .

Сложение и вычитание

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d _{1} \pm c \cdot b _{1}}{НОК ( b , d )}

d_{1} = НОК : b

b_{1} = НОК : d

— дополнительные множители

$\frac{2}{5} - \frac{2}{7} - \frac{1}{15}$

$НОК (5, 7, 15) = 105$ ; множители $21$ , $15$ , $7$ .
$\frac{42 - 30 - 7}{105} = \frac{5}{105} = \frac{1}{21}$ .

У смешанных чисел целые и дробные части складывают отдельно. При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше, «занимают» единицу:

5 \frac{1}{4} - 2 \frac{3}{4} = 4 \frac{5}{4} - 2 \frac{3}{4} = 2 \frac{2}{4} = 2 \frac{1}{2}

Умножение и деление

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

делить на дробь — умножать на перевёрнутую (обратную) дробь

Смешанные числа сначала переводят в неправильные дроби: $4 \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{32}{7}$ . Сокращают до умножения — числа остаются маленькими.

$4 \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{5} - 2 \frac{1}{2} : \frac{5}{6}$

Сначала умножение и деление: $\frac{32}{7} \cdot \frac{4}{5} = \frac{128}{35}$ ; $\frac{5}{2} \cdot \frac{6}{5} = 3$ .
Затем вычитание: $\frac{128}{35} - \frac{105}{35} = \frac{23}{35}$ .

Нельзя умножать смешанные числа «по частям»: $2 \frac{1}{2} \cdot 2 \frac{1}{2} \neq = 4 \frac{1}{4}$ . Верно: $\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{25}{4} = 6 \frac{1}{4}$ .

Десятичные дроби и смешанные выражения

Сложение, вычитание — запятая под запятой.
Умножение — умножаем как целые, в ответе отделяем столько знаков, сколько у обоих множителей вместе: $2, 8 \cdot 5, 1 = 14, 28$ .
Деление на дробь — переносим запятые вправо, пока делитель не станет целым: $22, 38 : 2, 4 = 223, 8 : 24 = 9, 325$ .

Дробь	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{20}$
Десятичная	0,5	0,25	0,75	0,2	0,125	0,375	0,05

Если знаменатель содержит только множители 2 и 5 — переводим в десятичные. Если есть 3, 6, 7, 9 — переводим десятичные в обыкновенные: $0, 23 = \frac{23}{100}$ . Пример: $(\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) \cdot 9, 9 = \frac{1}{6} \cdot 9, 9 = 1, 65$ .

Часть и целое

часть = целое \cdot дробь целое = часть : дробь

\frac{2}{3}

от 18 — это

18 \cdot \frac{2}{3} = 12

; если

\frac{2}{3}

числа равны 12, число равно

12 : \frac{2}{3} = 18

Остаток — это

0, 25

маршрута; 3 км — это

0, 6

остатка

После первого дня осталось $1 - 0, 75 = 0, 25$ маршрута.
Во второй день прошли $0, 4$ остатка, осталось $0, 6$ остатка: $0, 6 \cdot 0, 25 = 0, 15$ маршрута.
$0, 15$ маршрута = 3 км, весь маршрут: $3 : 0, 15 = 20$ км.

« $\frac{2}{5}$ остатка» — доля остатка, а не целого. После $\frac{1}{3}$ и затем $\frac{1}{4}$ остатка остаётся $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ целого, а не $1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ .

Серия: 0