Тема 04 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Шар и конус

Шар и сфера, комбинации тел. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Мяч в коробке, апельсин в стакане-конусе — это комбинации тел. Решать их в пространстве трудно, поэтому делают разрез через центр шара и ось тела: шар превращается в круг, конус — в треугольник, цилиндр — в прямоугольник. Дальше — планиметрия.

Вписанный шар касается всех граней (поверхностей) тела, его центр равноудалён от них. Описанный шар проходит через все вершины (окружности оснований), его центр равноудалён от них.

Сечения шара плоскостями

r^{2} = R^{2} - d^{2}

R

— радиус шара,

d

— расстояние от центра до плоскости,

r

— радиус сечения

Центр сечения — основание перпендикуляра из центра шара. Для двух параллельных сечений: по одну сторону от центра расстояние между ними $d_{1} - d_{2}$ , по разные — $d_{1} + d_{2}$ .

$S_{сферы} = 676 π \Rightarrow 4 R^{2} = 676$ , $R^{2} = 169$ . При $d = 5$ : $r^{2} = 169 - 25 = 144$ , площадь сечения $144 π$ .
$R = 65$ , сечения $r_{1} = 52$ , $r_{2} = 25$ по разные стороны: $d_{1} = 4225 - 2704 www.reknow.ru = 39$ , $d_{2} = 4225 - 625 www.reknow.ru = 60$ , расстояние $39 + 60 = 99$ .

Шар и конус

В осевом сечении: круг, вписанный в треугольник, и круг, описанный около него

Обозначения: $r$ — радиус основания конуса, $h$ — высота, $l = r^{2} + h^{2} www.reknow.ru$ — образующая.

Вписанный шар

ρ = \frac{S}{p} = \frac{r h}{r + l}

(площадь осевого сечения на полупериметр)

Описанный шар

R = \frac{l ^{2}}{2 h}

, или

r^{2} = h (2 R - h)

Касательные из вершиныдо точки касания вписанного шара:

t = l - r

$r = 42$ , $h = 40$ : $l = 58$ , $ρ = \frac{42 \cdot 40}{42 + 58} = 16, 8$ ; $S_{шара} = 4 π \cdot 16, 8^{2} = 1128, 96 π$ .
$r = 12$ , $l = 20$ : $h = 16$ , $R = \frac{400}{32} = 12, 5$ .

Шар, цилиндр, призма, пирамида

Комбинация	Связь
Шар около прямой призмы / цилиндра ( $ρ$ — радиус описанной окружности основания)	$R^{2} = ρ^{2} + (\frac{h}{2})^{2}$
Шар около прямоугольного параллелепипеда	$(2 R)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Шар в цилиндре	$h = 2 r$ , $V_{ц} : V_{ш} = 3 : 2$
Шар около правильной пирамиды ( $b$ — боковое ребро)	$R = \frac{b ^{2}}{2 h}$
Шар в правильной четырёхугольной пирамиде ( $x$ — половина стороны, $m$ — апофема)	$ρ = \frac{x h}{x + m}$
Правильный тетраэдр высоты $h$	$R = \frac{3}{4} h$ , $ρ = \frac{1}{4} h$

Цилиндр в шаре $R = 37$ , $h = 70$ : $r^{2} = 3 7^{2} - 3 5^{2} = 144$ , $V = 144 \cdot 70 π = 10080 π$ .
Параллелепипед $3, 4, 1$ : $4 R^{2} = 26$ , $S_{сферы} = 4 π R^{2} = 26 π$ .
Пирамида: сторона 60, $h = 16$ : $x = 30$ , $m = 900 + 256 www.reknow.ru = 34$ , $ρ = \frac{30 \cdot 16}{64} = 7, 5$ .
Пирамида: сторона 16, $h = 8$ : половина диагонали $8 2 www.reknow.ru$ , $b^{2} = 64 + 128 = 192$ , $R = \frac{192}{16} = 12$ .

Формула $R = \frac{b ^{2}}{2 h}$ — то же, что $R = \frac{l ^{2}}{2 h}$ для конуса: в обоих случаях сечение через вершину и ось.

Уравнение сферы

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}

центр

Q (a; b; c)

, радиус

R

Раскрытое уравнение приводят к этому виду выделением полных квадратов.

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + 12 x + 4 y + 6 z + 45 = 0$ .

$(x + 6)^{2} - 36 + (y + 2)^{2} - 4 + (z + 3)^{2} - 9 + 45 = 0$ , то есть $(x + 6)^{2} + (y + 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 4$ , $R = 2$ .

Сфера $(x + 1)^{2} + (y - 4)^{2} + (z + 1)^{2} = 36$ , плоскость $- 8 x - 4 y + z + 18 = 0$ . Площадь сечения?

Центр $(- 1; 4; - 1)$ , $d = \frac{∣8 - 16 - 1 + 18∣}{64 + 16 + 1 www.reknow.ru} = \frac{9}{9} = 1$ .
$r^{2} = 36 - 1 = 35$ , площадь $35 π$ .

Плоскость касается сферы

d = R

Внешнее касание сфер

Q_{1} Q_{2} = R_{1} + R_{2}

Внутреннее касание

Q_{1} Q_{2} = ∣ R_{1} - R_{2} ∣

Пересечение

∣ R_{1} - R_{2} ∣ < Q_{1} Q_{2} < R_{1} + R_{2}

Одна вне другой, общих точек нет

Q_{1} Q_{2} > R_{1} + R_{2}

Одна внутри другой, общих точек нет

Q_{1} Q_{2} < ∣ R_{1} - R_{2} ∣

Центр $(x + 1)^{2}$ — это $a = - 1$ , а не $+ 1$ : знак меняется.

Ещё два приёма

Сфера, касающаяся всех рёбер куба с ребром $a$ , имеет радиус $\frac{a 2 www.reknow.ru}{2}$ (половина диагонали грани); вписанная — $\frac{a}{2}$ , описанная — $\frac{a 3 www.reknow.ru}{2}$ .
Если в треугольной пирамиде три ребра из одной вершины попарно перпендикулярны (длины $a, b, c$ ), её достраивают до прямоугольного параллелепипеда: у них общий описанный шар, $(2 R)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ .

Серия: 0

Шар и конус

Простыми словами

Сечения шара плоскостями

Шар и конус

Шар, цилиндр, призма, пирамида

Уравнение сферы

Ещё два приёма

Примеры заданий