Уравнение состояния газа. Изопроцессы

pV = νRT, законы Бойля — Мариотта, Гей-Люссака и Шарля, графики в осях p–V, p–T, V–T. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Сожмём шприц, закрыв пальцем отверстие, — воздуху тесно, давление растёт. Нагреем закрытую банку — давление тоже растёт. Давление, объём и температура газа связаны одним уравнением.

Идеальный газ — модель газа, в которой пренебрегают размерами молекул и их взаимодействием (кроме упругих ударов).

p V = ν RT = \frac{m}{M} RT

уравнение Менделеева — Клапейрона:

p

— давление, Па;

V

— объём, м³;

ν

— количество вещества, моль;

m

— масса, кг;

M

— молярная масса, кг/моль;

T

— абсолютная температура, К;

R = 8, 31 Дж /(моль \cdot К)

Температуру всегда берут в кельвинах: $T = t + 273$ . Объём — в м³: $1 л = 1 0^{- 3} м^{3}$ ; давление — в Па: $1 кПа = 1 0^{3} Па$ .

Расчёт по уравнению состояния

$ν = 4 моль$ , $V = 0, 02 м^{3}$ , $T = 600 К$ .

$p = \frac{ν RT}{V} = \frac{4 \cdot 8 , 31 \cdot 600}{0 , 02} = \frac{19 944}{0 , 02} = 997200 Па = 997, 2 кПа$ .

$p = 41, 55 кПа$ , $V = 0, 04 м^{3}$ , $T = 100 К$ , $M = 27 г / моль$ .

$ν = \frac{p V}{RT} = \frac{41 550 \cdot 0 , 04}{8 , 31 \cdot 100} = \frac{1662}{831} = 2 моль$ .
$m = ν M = 2 \cdot 27 = 54 г$ .

Если $ν$ и $T$ не меняются, удобен объединённый газовый закон — в нём единицы можно не переводить в СИ, если они одинаковы слева и справа:

\frac{p _{1} V _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2} V _{2}}{T _{2}}

Три изопроцесса

Изопроцесс — процесс с постоянной массой газа, в котором ещё одна величина не меняется.

Процесс	Постоянно	Закон
изотермический	$T$	$p_{1} V_{1} = p_{2} V_{2}$ (Бойля — Мариотта)
изобарный	$p$	$\frac{V _{1}}{T _{1}} = \frac{V _{2}}{T _{2}}$ (Гей-Люссака)
изохорный	$V$	$\frac{p _{1}}{T _{1}} = \frac{p _{2}}{T _{2}}$ (Шарля)

$T = const$ : $p_{1} = 120 кПа$ , $V_{1} = 4 л$ , $p_{2} = 60 кПа$ → $V_{2} = \frac{120 \cdot 4}{60} = 8 л$ .
$p = const$ : $V_{1} = 8 л$ , $T_{1} = 500 К$ , $T_{2} = 400 К$ → $V_{2} = 8 \cdot \frac{400}{500} = 6, 4 л$ .
$V = const$ : $p_{1} = 200 кПа$ , $T_{1} = 200 К$ , $T_{2} = 250 К$ → $p_{2} = 200 \cdot \frac{250}{200} = 250 кПа$ .
Объединённый закон при $T_{1} = T_{2}$ : $p_{2} = \frac{150 \cdot 6}{4} = 225 кПа$ .

ИзоТерма — Температура; изоБара — давление (барос — тяжесть); изоХора — объём (хора — место). При $V = const$ давление растёт прямо пропорционально абсолютной температуре.

Графики изопроцессов

Оси

p

–

V

: изотерма — гипербола, изобара — горизонталь, изохора — вертикаль

Процесс	$p$ – $V$	$p$ – $T$	$V$ – $T$
изотермический	гипербола	прямая $∥$ оси $p$	прямая $∥$ оси $V$
изобарный	прямая $∥$ оси $V$	прямая $∥$ оси $T$	прямая через начало координат
изохорный	прямая $∥$ оси $p$	прямая через начало координат	прямая $∥$ оси $T$

По исходному графику понять, какая величина постоянна. Например, в осях $p$ – $V$ дана гипербола — значит, $T = const$ .
В новых осях взять клетку таблицы: в осях $p$ – $T$ изотерма — прямая, параллельная оси $p$ .

Прямая «через начало координат» бывает только в осях с $T$ (в кельвинах). Гипербола — только у изотермы в осях $p$ – $V$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Адиабата и изотерма Газовые законы

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Как записывается уравнение Менделеева — Клапейрона?

pV = (mM)·R·T
pV = R·T/ν
pV = νRT
pV = m·R·T

Показать ответ

Ответ: pV = (mM)·R·T
Решение. R = 8,31 Джмоль·К — универсальная газовая постоянная.

Что остаётся постоянным при изотермическом процессе?

Давление
Объём
Температура
Внутренняя энергия и объём

Показать ответ

Ответ: Температура
Решение. При T = const выполняется закон Бойля — Мариотта pV = const.

Как формулируется закон Бойля — Мариотта?

При постоянном давлении объём пропорционален температуре
При постоянном объёме давление пропорционально температуре
При постоянной температуре произведение давления на объём постоянно
Давление обратно пропорционально температуре

Показать ответ

Ответ: При постоянной температуре произведение давления на объём постоянно
Решение. p₁V₁ = p₂V₂ для данной массы газа.

Как формулируется закон Гей-Люссака?

Объём обратно пропорционален температуре
При постоянной температуре pV = const
При постоянном давлении объём газа прямо пропорционален абсолютной температуре
При постоянном объёме давление пропорционально температуре

Показать ответ

Ответ: При постоянном давлении объём газа прямо пропорционален абсолютной температуре
Решение. V₁/T₁ = V₂/T₂.

Как формулируется закон Шарля?

При постоянном давлении объём пропорционален температуре
При постоянной температуре pV = const
При постоянном объёме давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре
Давление обратно пропорционально объёму

Показать ответ

Ответ: При постоянном объёме давление газа прямо пропорционально абсолютной температуре
Решение. p₁/T₁ = p₂/T₂.

Какой график получается при изотермическом процессе в осях p–V?

Гипербола
Прямая через начало координат
Горизонтальная прямая
Вертикальная прямая

Показать ответ

Ответ: Гипербола
Решение. Из pV = const следует p = const/V — это гипербола (изотерма).

Как выглядит изохора в осях p–T?

Прямая, проходящая через начало координат
Прямая, параллельная оси T
Гипербола
Вертикальная прямая

Показать ответ

Ответ: Прямая, проходящая через начало координат
Решение. Из pT = const следует p = kT — прямая пропорциональность.