Тема 01 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Сечение тетраэдра: отношения отрезков

Сечения многогранников и параллельность. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Сечение тетраэдра: отношения отрезков»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Разрежем кубик сыра ножом: срез — плоский многоугольник. Это и есть сечение. Его стороны — отрезки, по которым плоскость «режет» грани. Плоскость задают три точки, а остальные вершины среза находят продолжением линий до пересечения — это метод следов.

K L

продолжили до точки

X

на прямой

D C

; прямая

X D_{1}

даёт точку

P

на

C C_{1}

Метод следов

След плоскости сечения на грани — прямая их пересечения. Правила: две точки сечения в одной грани соединяем — это сторона; сторону продолжаем до пересечения с прямой ребра — получаем точку следа на соседней грани; параллельные грани плоскость режет по параллельным отрезкам.

Сечение куба может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником (у куба 6 граней — больше сторон не бывает).

Ребро 5, $A K = 3$ , $B L = 1$ .

В основании: $K B = 2$ , $L C = 4$ . Треугольники $L B K$ и $L CX$ подобны: $CX = K B \cdot \frac{L C}{B L} = 8$ , $D X = 13$ .
В грани $D C C_{1} D_{1}$ : $△ XCP \sim △ X D D_{1}$ , $CP = 5 \cdot \frac{8}{13} = \frac{40}{13}$ , $P C_{1} = \frac{25}{13}$ .
$CP : P C_{1} = 40 : 25 = 1, 6$ .

Вид сечения считают по числу граней, которые пересекает плоскость: одна сторона — одна грань.

Теорема Менелая и сечение тетраэдра

Прямая пересекает стороны $A B$ , $BC$ и прямую $C A$ треугольника $A BC$ в точках $P$ , $Q$ , $R$ . Тогда

\frac{A P}{PB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CR}{R A} = 1

обходим треугольник по кругу: вершина → точка → вершина → …

Для сечения $K L MN$ тетраэдра $D A BC$ ( $K \in D A$ , $L \in D B$ , $M \in BC$ , $N \in A C$ ) теорему применяют дважды (в грани $D A B$ и в основании), и получается «пространственный Менелай»:

\frac{DK}{K A} \cdot \frac{A N}{NC} \cdot \frac{CM}{MB} \cdot \frac{B L}{L D} = 1

обход по замкнутой ломаной

D \to A \to C \to B \to D

$DK : K A = 1 : 1$ , $D L : L B = 3 : 2$ , $BM : MC = 4 : 1$ : $1 \cdot \frac{A N}{NC} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} = 1$ , $\frac{A N}{NC} = 6$ . При $A C = 14$ : $A N = 12$ .
$2 : 1$ , $5 : 4$ , $4 : 5$ : $2 \cdot \frac{A N}{NC} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1$ , $A N : NC = 0, 5$ .

Отношения надо брать строго по обходу: $\frac{CM}{MB}$ , а не $\frac{BM}{MC}$ , если идём от $C$ к $B$ .

Если $DK : K A = D L : L B$ , то $K L ∥ A B$ , и Менелай не нужен: плоскость параллельна $A B$ и режет основание по $MN ∥ A B$ . Тогда $MN = A B \cdot \frac{CM}{CB}$ : при $BM : MC = 5 : 3$ и $A B = 32$ получаем $MN = 32 \cdot \frac{3}{8} = 12$ .

Сечения, параллельные рёбрам и основанию

Если плоскость параллельна ребру, то в каждой грани с этим ребром след параллелен ему. Сечение тетраэдра, параллельное $A B$ и $C D$ , — параллелограмм; угол между его сторонами равен углу между $A B$ и $C D$ .

K M = C D \cdot \frac{A K}{A C} K N = A B \cdot \frac{C K}{C A}

стороны параллелограмма-сечения через точку

K \in A C

$A K : K C = 3 : 1$ , $A B = 3$ , $C D = 16$ : стороны $16 \cdot \frac{3}{4} = 12$ и $3 \cdot \frac{1}{4} = 0, 75$ , периметр $25, 5$ .
$5 : 3$ , $A B = 20$ , $C D = 16$ , угол $3 0^{\circ}$ : стороны $10$ и $7, 5$ , $S = 10 \cdot 7, 5 \cdot sin 3 0^{\circ} = 37, 5$ .

Сечение пирамиды, параллельное основанию, подобно основанию:

\frac{S _{1}}{S} = k^{2}, k = \frac{S A _{1}}{S A} = \frac{h _{1}}{h}

h_{1}

— расстояние от вершины до сечения; длины умножаются на

k

, площади на

k^{2}

$S = 16$ , $S_{1} = 1$ , $h = 3$ : $k = \frac{1}{4}$ , $h_{1} = 0, 75$ от вершины, от основания $3 - 0, 75 = 2, 25$ .
Основание $16, 30, 34$ — прямоугольный треугольник ( $1 6^{2} + 3 0^{2} = 3 4^{2}$ ), $S = 240$ ; $k = \frac{1}{2}$ , $S_{1} = 60$ .

$k$ считают от вершины, а в ответе часто спрашивают расстояние от основания.

Сечение, параллельное $A B$ и $C D$ , — ромб, когда стороны равны: $C D \cdot \frac{A K}{A C} = A B \cdot \frac{C K}{A C}$ , то есть $A K : K C = A B : C D$ ( $A B = 11$ , $C D = 5$ : отношение $2, 2$ ). Сечение, параллельное основанию, отсекает подобную пирамиду: её боковая поверхность — $S_{бок} \cdot k^{2}$ , а у оставшейся усечённой части — $S_{бок} (1 - k^{2})$ . При $S_{бок} = 243$ , $S K : K A = 1 : 5$ : $k = \frac{1}{6}$ , $243 \cdot \frac{35}{36} = 236, 25$ .

Площадь сечения параллелепипеда

Через ребро $A D$ и $K \in B B_{1}$ прямоугольник

A D \times A K

Через ребро $A B$ и $M \in D D_{1}$ прямоугольник

A B \times A M

Треугольник $B DK$ , $K \in C C_{1}$ высота

KH ⊥ B D

по теореме о трёх перпендикулярах,

C H = \frac{ab}{a ^{2} + b ^{2} www.reknow.ru}

$A B = 7$ , $A D = 12$ , $D M = 5$ : $A M = 144 + 25 www.reknow.ru = 13$ , $S = 7 \cdot 13 = 91$ .
$A B = 21$ , $A D = 11$ , $B K = 20$ : $A K = 441 + 400 www.reknow.ru = 29$ , $S = 11 \cdot 29 = 319$ .

Серия: 0