Тема 04 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Правильная призма: диагонали и поверхность

Призма и параллелепипед. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Правильная призма: диагонали и поверхность»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Призма — «вытянутый» многоугольник: основание сдвинули параллельно и соединили вершины рёбрами. Все задачи о прямой призме решаются через теорему Пифагора: боковое ребро перпендикулярно основанию, и любая «косая» диагональ — гипотенуза.

Треугольник

B D B_{1}

прямоугольный:

B_{1} D^{2} = B D^{2} + B B_{1}^{2}

Прямоугольный параллелепипед

d^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}

d

— диагональ параллелепипеда,

a

b

c

— его измерения

Если известны диагонали трёх граней $p$ , $q$ , $r$ (это $a^{2} + b^{2} www.reknow.ru$ , $a^{2} + c^{2} www.reknow.ru$ , $b^{2} + c^{2} www.reknow.ru$ ), то

p^{2} + q^{2} + r^{2} = 2 d^{2}

каждое измерение входит в сумму дважды

Поверхность

S_{полн} = 2 (ab + b c + c a)

S_{бок} = 2 c (a + b)

Рёбрасумма

4 (a + b + c)

;

(a + b + c)^{2} = d^{2} + S_{полн}

$A C = 5 73 www.reknow.ru$ , $A B_{1} = 3 89 www.reknow.ru$ , $B_{1} C = 8 34 www.reknow.ru$ : $1825 + 801 + 2176 = 4802 = 2 d^{2}$ , $d = 49$ .
$A C^{2} = 116$ , $A B_{1}^{2} = 269$ , $B_{1} C^{2} = 185$ : $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 570 : 2 = 285$ . $A D^{2} = 285 - A B_{1}^{2} = 16$ , $A D = 4$ .

$A B : A D : A A_{1} = 14 : 18 : 21$ , $B_{1} D = 93$ . Пусть рёбра $14 k$ , $18 k$ , $21 k$ : $d = k 196 + 324 + 441 www.reknow.ru = 31 k = 93$ , $k = 3$ . $S_{полн} = 2 k^{2} (14 \cdot 18 + 18 \cdot 21 + 14 \cdot 21) = 18 \cdot 924 = 16632$ .

Правильная призма

Основание — правильный многоугольник, призма прямая. Диагональ призмы $D$ , диагональ основания $d_{осн}$ и боковое ребро $h$ образуют прямоугольный треугольник:

D^{2} = d_{осн}^{2} + h^{2} S_{бок} = P_{осн} \cdot h

P_{осн}

— периметр основания

Квадрат $a$ диагональ

a 2 www.reknow.ru

Шестиугольник $a$ большая диагональ

2 a

, меньшая

a 3 www.reknow.ru

$a = 7$ , $B_{1} D = 3 86 www.reknow.ru$ : $774 = 98 + h^{2}$ , $h = 26$ . $S_{полн} = 2 \cdot 49 + 4 \cdot 7 \cdot 26 = 826$ .
$B_{1} D^{2} = 771 = 2 a^{2} + h^{2}$ , $A B_{1}^{2} = 650 = a^{2} + h^{2}$ : вычитаем, $a^{2} = 121$ , $h^{2} = 529$ , $h = 23$ .

Наклонная призма: перпендикулярное сечение

Перпендикулярное сечение — сечение плоскостью, перпендикулярной боковым рёбрам. Его стороны — расстояния между боковыми рёбрами, его углы — линейные углы двугранных углов при боковых рёбрах.

S_{бок} = P_{⊥} \cdot l

P_{⊥}

— периметр перпендикулярного сечения,

l

— боковое ребро

Рёбра под углом $α$ высота

h = l sin α

Площадь сечения

S_{⊥} = S_{осн} sin α

Расстояния 8 и 6, двугранный угол прямой, $l = 10$ : третья сторона сечения $64 + 36 www.reknow.ru = 10$ , $P_{⊥} = 24$ , $S_{бок} = 240$ .
Расстояния 30 и 18, угол $12 0^{\circ}$ , $l = 71$ : третья сторона по теореме косинусов $900 + 324 + 540 www.reknow.ru = 42$ , $P_{⊥} = 90$ , $S_{бок} = 6390$ .

Боковые грани наклонной призмы — параллелограммы, а не прямоугольники: $S_{бок} \neq = P_{осн} \cdot l$ .

Основание наклонного параллелепипеда — прямоугольник $96 \times 72$ , $A_{1}$ проектируется в точку $O$ пересечения диагоналей, $A A_{1} = 68$ . Диагональ $A C = 120$ , $A O = 60$ , высота $A_{1} O = 6 8^{2} - 6 0^{2} www.reknow.ru = 32$ . Сечение $A A_{1} C_{1} C$ — параллелограмм с основанием $A C$ и высотой $A_{1} O$ : $S = 120 \cdot 32 = 3840$ .

Сечения; ромб и трапеция в основании

Диагональное сечениепрямоугольник

d_{осн} \times h

Через $A B$ и $C_{1} D_{1}$ прямоугольник

A B \times A D_{1}

Треугольник $A B C_{1}$

C H ⊥ A B

⇒

C_{1} H ⊥ A B

(теорема о трёх перпендикулярах),

S = \frac{1}{2} A B \cdot C_{1} H

$A B = 52$ , $A D = 39$ , $B_{1} D = 97$ : $B D = 65$ , $h = 9 7^{2} - 6 5^{2} www.reknow.ru = 72$ , $S_{B B_{1} D_{1} D} = 65 \cdot 72 = 4680$ .
$A B = 28$ , $A D = 30$ , $A A_{1} = 72$ : $A D_{1} = 900 + 5184 www.reknow.ru = 78$ , $S = 28 \cdot 78 = 2184$ .

d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2} D_{1}^{2} + D_{2}^{2} = 4 a^{2} + 2 h^{2}

ромб со стороной

a

и диагоналями

d_{1}

d_{2}

; диагонали призмы

D_{1}

D_{2}

над ним

$A C_{1} = 24 2 www.reknow.ru$ , $B D_{1} = 26$ , $h = 24$ : $d_{1}^{2} = 1152 - 576 = 576$ , $d_{2}^{2} = 676 - 576 = 100$ ; $a = 144 + 25 www.reknow.ru = 13$ , $S_{бок} = 4 \cdot 13 \cdot 24 = 1248$ .
Ромб со стороной 10 и углом $6 0^{\circ}$ : диагонали $a$ и $a 3 www.reknow.ru$ , $A C = 10 3 www.reknow.ru$ , $A C_{1} = 300 + 100 www.reknow.ru = 20$ .

В равнобедренной трапеции проекция диагонали на большее основание равна $\frac{a + b}{2}$ — полусумме оснований.

Плоскость $A DK$ , $K$ на $B B_{1}$ : так как $A D ∥ BC$ , сечение — прямоугольник $A D C K^{'}$ со сторонами $A D$ и $A K = A B^{2} + B K^{2} www.reknow.ru$ . При $A B = 60$ , $B K = 25$ , $A D = 23$ : $A K = 65$ , $S = 1495$ .

Плоскость $B DK$ , $K$ на $C C_{1}$ — треугольник. Высота $C H$ к $B D$ в основании, по теореме о трёх перпендикулярах $KH ⊥ B D$ : $S = \frac{1}{2} B D \cdot KH$ . Удобная проверка: для «угла» с тремя прямыми углами при $C$ $S_{B DK}^{2} = S_{BC D}^{2} + S_{BC K}^{2} + S_{D C K}^{2}$ . При $C D = 9$ , $BC = 6$ , $C K = 7$ : $2 7^{2} + 2 1^{2} + 31, 5^{2} = 2162, 25$ , $S = 46, 5$ .

Серия: 0