Тема 03 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Формулы сложения

Тригонометрические формулы и преобразования. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Тригонометрические формулы — это «перевод» одних выражений в другие: синус суммы углов — через синусы и косинусы каждого угла, сумму синусов — через произведение. Почти каждое задание сводится к тому, чтобы узнать нужную формулу «в лицо» и не ошибиться со знаком.

Точка угла

α

на единичной окружности:

cos α

— её абсцисса,

sin α

— ордината

Формулы сложения

sin (α \pm β) = sin α cos β \pm cos α sin β

знак тот же

cos (α \pm β) = cos α cos β \mp sin α sin β

знак противоположный

tg (α \pm β) = \frac{tg α \pm tg β}{1 \mp tg α tg β}

$sin α = \frac{15}{17}$ , $α \in (\frac{π}{2}; π)$ ; $sin β = - \frac{12}{13}$ , $β \in (\frac{3 π}{2}; 2 π)$ . Найдите $221 cos (α - β)$ .

Недостающие косинусы из $cos^{2} = 1 - sin^{2}$ . Во II четверти косинус отрицателен: $cos α = - \frac{8}{17}$ . В IV — положителен: $cos β = \frac{5}{13}$ .
$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β = \frac{- 8 \cdot 5 + 15 \cdot ( - 12 )}{221} = - \frac{220}{221}$ .
Ответ: $- 220$ .

$\frac{2 ( tg 2 6 ^{\circ} + tg 1 9 ^{\circ} )}{1 - tg 2 6 ^{\circ} tg 1 9 ^{\circ}} = 2 tg 4 5^{\circ} = 2$ ; $4 (sin 16 8^{\circ} cos 7 8^{\circ} - cos 16 8^{\circ} sin 7 8^{\circ}) = 4 sin 9 0^{\circ} = 4$ .

Знак недостающего синуса или косинуса определяется четвертью угла. Корень $1 - sin^{2} α www.reknow.ru$ всегда даёт «плюс» — минус ставим сами по рисунку.

Двойной, половинный и тройной угол

$sin 2 α$	$= 2 sin α cos α = \frac{2 tg α}{1 + tg ^{2} α}$
$cos 2 α$	$= cos^{2} α - sin^{2} α = 1 - 2 sin^{2} α = 2 cos^{2} α - 1$
$tg 2 α$	$= \frac{2 tg α}{1 - tg ^{2} α}$
$sin^{2} \frac{α}{2}, cos^{2} \frac{α}{2}$	$= \frac{1 - cos α}{2}, \frac{1 + cos α}{2}$ ; знак корня — по четверти угла $\frac{α}{2}$
$sin 3 α$	$= 3 sin α - 4 sin^{3} α$
$cos 3 α$	$= 4 cos^{3} α - 3 cos α$

$cos α = \frac{12}{13}$ . Найдите $2197 cos 3 α$ .

$2197 = 1 3^{3}$ . $cos 3 α = 4 \cdot \frac{1728}{2197} - 3 \cdot \frac{12}{13} = \frac{6912 - 6084}{2197} = \frac{828}{2197}$ .
Ответ: $828$ .

$sin α = - \frac{24}{25}$ , $α \in (π; \frac{3 π}{2})$ . Найдите $625 sin 2 α$ .

III четверть: $cos α = - \frac{7}{25}$ .
$sin 2 α = 2 \cdot (- \frac{24}{25}) \cdot (- \frac{7}{25}) = \frac{336}{625}$ . Ответ: $336$ .

$cos α = \frac{119}{169}$ , $α \in (- π; 0)$ . Найдите $13 sin \frac{α}{2}$ .

$sin^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - c o s α}{2} = \frac{50}{2 \cdot 169} = \frac{25}{169}$ .
$\frac{α}{2} \in (- \frac{π}{2}; 0)$ — IV четверть, синус отрицателен: $sin \frac{α}{2} = - \frac{5}{13}$ . Ответ: $- 5$ .

$1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x$ , $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ . Поэтому $\frac{1 + c o s 14 α}{2 c o s 7 α} = \frac{2 c o s ^{2} 7 α}{2 c o s 7 α} = cos 7 α$ и $\frac{1 - c o s 10 x}{s i n 10 x} = \frac{2 s i n ^{2} 5 x}{2 s i n 5 x c o s 5 x} = tg 5 x$ .

$cos 2 α = \frac{1 - tg ^{2} α}{1 + tg ^{2} α}$ . При $tg α = \frac{1}{2}$ : $sin 2 α = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = 0, 8$ , $cos 2 α = \frac{3/4}{5/4} = 0, 6$ .

Сумма ⇄ произведение

$sin a + sin b = 2 sin \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$	$2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)$
$sin a - sin b = 2 cos \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2}$	$2 cos a cos b = cos (a - b) + cos (a + b)$
$cos a + cos b = 2 cos \frac{a + b}{2} cos \frac{a - b}{2}$	$2 sin a sin b = cos (a - b) - cos (a + b)$
$cos a - cos b = - 2 sin \frac{a + b}{2} sin \frac{a - b}{2}$

$6 \cdot \frac{sin 13 4 ^{\circ} + sin 1 4 ^{\circ}}{sin 7 4 ^{\circ}}$

$sin 13 4^{\circ} + sin 1 4^{\circ} = 2 sin 7 4^{\circ} cos 6 0^{\circ} = sin 7 4^{\circ}$ .
Дробь равна 1, ответ $6$ .

$- 3 (4 sin 2 8^{\circ} cos 2^{\circ} - 2 sin 2 6^{\circ})$

$2 sin 2 8^{\circ} cos 2^{\circ} = sin 3 0^{\circ} + sin 2 6^{\circ}$ , значит $4 sin 2 8^{\circ} cos 2^{\circ} = 1 + 2 sin 2 6^{\circ}$ .
В скобке остаётся $1$ , ответ $- 3$ .

Через tg α и через sin α + cos α

Однородное выражение делят на $cos α$ (или $cos^{2} α$ ): $\frac{2 sin α + cos α}{sin α - 3 cos α} = \frac{2 tg α + 1}{tg α - 3}$ . Без знаменателя — делят на $1 = sin^{2} α + cos^{2} α$ .

$(sin α + cos α)^{2} = 1 + sin 2 α = 1 + 2 sin α cos α$ и $tg α + ctg α = \frac{1}{sin α cos α}$ .

$sin α + cos α = 0, 2$ . Найдите $sin^{3} α + cos^{3} α$ .

Возводим в квадрат: $1 + 2 sin α cos α = 0, 04$ , $sin α cos α = - 0, 48$ .
Сумма кубов: $(sin α + cos α) (sin^{2} α - sin α cos α + cos^{2} α) = 0, 2 \cdot (1 + 0, 48) = 0, 296$ .

$tg α + ctg α = 4$ . Найдите $tg^{2} α + ctg^{2} α$ .

$(tg α + ctg α)^{2} = tg^{2} α + 2 + ctg^{2} α$ , так как $tg α ctg α = 1$ .
$16 - 2 = 14$ .

Формулы двойного угла — это формулы сложения при $β = α$ ; тройного — сложение $2 α + α$ . Достаточно твёрдо знать формулы сложения, остальное выводится за минуту.

$sin α - cos α = - 0, 3$ : возводим в квадрат, $1 - sin 2 α = 0, 09$ , $sin 2 α = 0, 91$ . А из $tg α + ctg α = \frac{1}{s i n α c o s α} = \frac{2}{s i n 2 α}$ при сумме $8$ получаем $sin 2 α = \frac{2}{8} = 0, 25$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Синус и косинус

Серия: 0

Формулы сложения

Простыми словами

Формулы сложения

Двойной, половинный и тройной угол

Сумма ⇄ произведение

Через tg α и через sin α + cos α

Примеры заданий