Тема 05 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 1 из 5

Вынесение общего множителя

Показательные уравнения и неравенства. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

В показательном уравнении неизвестная стоит в показателе степени: $2^{x} = 32$ . Функция $a^{x}$ при $a \neq = 1$ каждое значение принимает один раз, поэтому из $a^{f} = a^{g}$ следует $f = g$ . Почти любое такое уравнение решают, сводя его к одному основанию.

a^{f (x)} = a^{g (x)} ⟺ f (x) = g (x), a > 0, a \neq = 1

a

— основание степени,

f

g

— показатели

Свойства степеней

Свойство	Пример
$a^{x + k} = a^{k} \cdot a^{x}$	$3^{x + 2} = 9 \cdot 3^{x}$
$a^{x - k} = \frac{a ^{x}}{a ^{k}}$	$4^{x - 1} = \frac{4 ^{x}}{4}$
$a^{2 x} = (a^{x})^{2}$	$4^{x} = (2^{x})^{2}$ , $9^{x} = (3^{x})^{2}$
$a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}}$	$3^{6 - x} = \frac{729}{3 ^{x}}$
$a^{x} \cdot b^{x} = (ab)^{x}$	$2^{x} \cdot 5^{x} = 1 0^{x}$

$4^{x} = 8^{x - 1}$ : $2^{2 x} = 2^{3 (x - 1)}$ , $2 x = 3 x - 3$ , $x = 3$ .

$3^{x^{2} - 13 x + 6} = (\frac{1}{27})^{3 x - 2}$ . Найдите произведение корней.

$\frac{1}{27} = 3^{- 3}$ , правая часть $3^{- 3 (3 x - 2)} = 3^{- 9 x + 6}$ .
$x^{2} - 13 x + 6 = - 9 x + 6$ , $x^{2} - 4 x = 0$ , $x = 0$ или $x = 4$ .
Произведение корней $0$ .

Вынесение общего множителя

Если степени с одним основанием отличаются только сдвигом показателя, выносим степень с наименьшим показателем.

$2 \cdot 4^{x - 1} + 2 \cdot 4^{x - 2} = 160$

Выносим $4^{x - 2}$ : $4^{x - 2} (2 \cdot 4 + 2) = 160$ , $10 \cdot 4^{x - 2} = 160$ .
$4^{x - 2} = 16 = 4^{2}$ , $x - 2 = 2$ , $x = 4$ .

$3 \cdot 2^{2 x + 3} + 2^{2 x + 2} = 28672$

$2^{2 x + 2} (3 \cdot 2 + 1) = 28672$ , $2^{2 x + 2} = 4096 = 2^{12}$ .
$2 x + 2 = 12$ , $x = 5$ .

Замена $t = a^{x}$

Если есть $a^{2 x}$ и $a^{x}$ (или $a^{x}$ и $a^{- x}$ ), вводим $t = a^{x}$ , $t > 0$ , и получаем квадратное уравнение. Корень $t \leq 0$ после такой замены всегда посторонний.

$9^{x} - 5 \cdot 3^{x} - 36 = 0$

$t = 3^{x} > 0$ : $t^{2} - 5 t - 36 = 0$ , $t = 9$ или $t = - 4$ (не подходит).
$3^{x} = 9$ , $x = 2$ .

$3^{x + 1} + 3^{6 - x} = 252$ . Найдите сумму корней.

$3 \cdot 3^{x} + \frac{729}{3 ^{x}} = 252$ ; $t = 3^{x}$ : $3 t^{2} - 252 t + 729 = 0$ , $t^{2} - 84 t + 243 = 0$ .
$t = 81$ или $t = 3$ , то есть $x = 4$ или $x = 1$ . Сумма $5$ .

Однородные уравнения

Уравнение вида $A \cdot a^{2 x} + B \cdot (ab)^{x} + C \cdot b^{2 x} = 0$ — однородное: в каждом слагаемом «степень» одинакова. Делим на $b^{2 x}$ и вводим $t = (\frac{a}{b})^{x} > 0$ .

$2 \cdot 9^{x} - 5 \cdot 6^{x} + 3 \cdot 4^{x} = 0$ . Найдите сумму корней.

$9^{x} = (3^{x})^{2}$ , $6^{x} = 3^{x} \cdot 2^{x}$ , $4^{x} = (2^{x})^{2}$ . Делим на $4^{x}$ : $2 t^{2} - 5 t + 3 = 0$ , $t = (\frac{3}{2})^{x}$ .
$t = 1$ или $t = \frac{3}{2}$ , то есть $x = 0$ или $x = 1$ . Сумма $1$ .

$4 \cdot 4^{x} - 29 \cdot 1 0^{x} + 25 \cdot 2 5^{x} = 0$

Делим на $4^{x}$ , $t = (\frac{5}{2})^{x}$ : $25 t^{2} - 29 t + 4 = 0$ , $t = 1$ или $t = \frac{4}{25}$ .
$x = 0$ или $x = - 2$ (ведь $(\frac{5}{2})^{- 2} = \frac{4}{25}$ ). Сумма $- 2$ .

Неравенства

a^{x}

всегда положительна; при

a > 1

возрастает, при

0 < a < 1

убывает

a > 1 : a^{f} < a^{g} ⟺ f < g 0 < a < 1 : a^{f} < a^{g} ⟺ f > g

основание меньше 1 — знак неравенства меняется

Сколько целых решений у $9^{x} - 84 \cdot 3^{x} + 243 < 0$ ?

$t = 3^{x}$ : $t^{2} - 84 t + 243 < 0$ , корни $3$ и $81$ , значит $3 < t < 81$ .
$3^{1} < 3^{x} < 3^{4}$ , то есть $1 < x < 4$ . Целые: $2, 3$ — два решения.

Аналогично $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 \leq 0$ : $1 \leq 3^{x} \leq 3$ , $0 \leq x \leq 1$ — тоже два целых решения.

При $a > 1$ разность $a^{x} - a^{m}$ имеет тот же знак, что и $x - m$ . Поэтому множитель $(a^{x} - a^{m})$ в методе интервалов можно заменить на $(x - m)$ .

Разные основания и системы

$2^{x} \cdot 5^{x + 3} = 1250000$

$5^{x + 3} = 125 \cdot 5^{x}$ , а $2^{x} \cdot 5^{x} = 1 0^{x}$ : $125 \cdot 1 0^{x} = 1250000$ .
$1 0^{x} = 10000$ , $x = 4$ .

Так же $3^{x} \cdot 5^{x + 1} = 16875$ : $5 \cdot 1 5^{x} = 16875$ , $1 5^{x} = 3375 = 1 5^{3}$ , $x = 3$ .

Если известны $a^{x} + a^{y} = T$ и $x + y = S$ , то $a^{x} \cdot a^{y} = a^{S}$ , и $a^{x}$ , $a^{y}$ — корни $t^{2} - Tt + a^{S} = 0$ . Систему $2^{x} 3^{y} = N$ , $3^{x} 2^{y} = M$ перемножают и делят: $6^{x + y} = NM$ , $(\frac{2}{3})^{x - y} = \frac{N}{M}$ .

$2 \cdot 4^{x} \neq = 8^{x}$ : множитель перед степенью в основание не «заходит». Правильно $2 \cdot 4^{x} = 2^{2 x + 1}$ .

$3^{x} - 3^{y} = 2106$ , $x - y = 3$ . Найдите $x + y$ .

$x = y + 3$ : $27 \cdot 3^{y} - 3^{y} = 26 \cdot 3^{y} = 2106$ , $3^{y} = 81$ , $y = 4$ .
$x = 7$ , $x + y = 11$ .

Серия: 0

Вынесение общего множителя

Простыми словами

Свойства степеней

Вынесение общего множителя

Замена t=ax

Однородные уравнения

Неравенства

Разные основания и системы

Примеры заданий

Замена $t = a^{x}$