1.1. Напряжение, ток, сопротивление

1.1.1Напряжение и ток

≈ 9 мин2 упр.

Главное

Напряжение $U$ существует только между двумя точками; ток $I$ протекает через элемент или сечение провода.
Кирхгоф: в узле токи уравновешены (их сумма — ноль); вдоль любого замкнутого обхода сумма напряжений — ноль.
Мощность $P = U I$ ; вольт, умноженный на ампер, — это ватт, то есть джоуль в секунду.

Начнём с бытового вопроса. На зарядке телефона написано «5 В, 2 А». Что именно означают эти две цифры и почему их две? Первая говорит, с какой «силой» зарядка толкает заряды, вторая — сколько заряда в секунду она способна через себя прогнать. Это и есть две главные величины любой схемы — напряжение и ток. В интересных схемах обе меняются во времени, и почти всё, что мы будем делать дальше, — следить за тем, как именно.

Напряжение $U$ (в старых текстах — $E$ ) между двумя точками определяется через энергию: это работа, которую надо затратить, чтобы перетащить единичный положительный заряд из точки с более низким потенциалом в точку с более высоким. Ровно столько же энергии освободится, если заряд вернётся назад. Синонимы — разность потенциалов и, когда речь идёт о самом источнике, электродвижущая сила (э.д.с.).

Единица напряжения — вольт: если перенос одного кулона требует одного джоуля работы, разность потенциалов равна 1 В. Кулон — внушительная порция заряда, около $6, 25 \cdot 1 0^{18}$ электронов. В реальных схемах вы встретите в основном милливольты ( $1 0^{- 3}$ В), микровольты ( $1 0^{- 6}$ В), вольты и киловольты ( $1 0^{3}$ В); нановольты и мегавольты — экзотика.

1 В= 1 Дж / 1 Кл

6,25·10¹⁸электронов в кулоне

1 А= 1 Кл в секунду

мкВ … кВрабочий диапазон напряжений

пА … Арабочий диапазон токов

Ток $I$ — это расход заряда: сколько кулонов в секунду проходит через сечение провода. Ампер — один кулон за секунду. В электронике ток обычно измеряют миллиамперами (мА), микроамперами (мкА), наноамперами (нА), а иногда и пикоамперами (пА). Направление тока по договорённости — от плюса к минусу, от более высокого потенциала к более низкому, хотя электроны в металле бегут навстречу. Договорённость историческая, но на расчёты она не влияет.

Запомните пару предлогов: напряжение — между двумя точками (или на элементе), ток — через элемент. Фраза «напряжение через резистор» не имеет смысла. А вот «напряжение в точке» говорят постоянно: имеется в виду напряжение между этой точкой и землёй — общим проводом схемы, потенциал которого принят за ноль.

Откуда берётся напряжение? Его создают химические реакции (батареи), движение проводника в магнитном поле (генераторы), свет (фотоэлементы). Ток появляется, только когда к двум точкам с разными потенциалами подключён проводящий путь между ними.

Напряжение и ток бок о бок

	Напряжение $U$	Ток $I$
Смысл	работа на перенос единичного заряда	расход заряда во времени
К чему относится	к паре точек — между ними	к элементу или сечению — через него
Единица	вольт: 1 В = 1 Дж/Кл	ампер: 1 А = 1 Кл/с
Как измерить	вольтметр параллельно элементу, осциллограф	амперметр в разрыв цепи
Что его создаёт	батарея, генератор, фотоэлемент	напряжение плюс замкнутый путь

Как меняется напряжение во времени, показывает осциллограф; постоянные значения удобно мерить вольтметром. Этими двумя приборами мы и будем описывать сигналы.

Ещё одно молчаливое соглашение: провода на схеме идеальны, и напряжение во всех точках одного провода одинаково. На высоких частотах и при очень малых сопротивлениях это уже не так, но пока этого достаточно. Важное следствие — чертёж не обязан повторять конструкцию. Провод может петлять по плате как угодно: для схемы важно лишь, что с чем соединено.

12345

Три элемента между одними и теми же шинами A и B: напряжение на каждом — U_AB

Что здесь что (5)

Шина A. Сколько бы точек ни было на этом проводе, электрически это одна точка: напряжение вдоль идеального провода не меняется.
Резистор R. Выводы подключены к A и B — значит, на нём $U_{A B}$ .
Конденсатор C. Подключён к тем же шинам — то же самое $U_{A B}$ .
Катушка L. И здесь $U_{A B}$ : элементы, включённые параллельно, всегда делят одно напряжение (закон Кирхгофа для напряжений).
Шина B. Обычно это земля — точка отсчёта для выражения «напряжение в точке».

Три правила понадобятся нам буквально на каждой странице курса.

Закон Кирхгофа для токов. Заряд в узле не копится и не исчезает, поэтому сколько тока втекает в узел, столько и вытекает. Отсюда: в цепочке двухвыводных элементов, соединённых один за другим (последовательно), ток одинаков в любом месте.
Закон Кирхгофа для напряжений. Обойдите любой замкнутый контур и сложите напряжения на пройденных элементах с учётом знака — получится ноль. Равносильная формулировка: напряжение между точками A и B не зависит от того, по какому пути их соединить. Поэтому у элементов, подключённых параллельно (как на схеме выше), напряжение общее.
Мощность. Энергия, потребляемая элементом за секунду, равна $P = U I$ . Это прямо следует из определений: (джоуль на кулон)·(кулон в секунду) = джоуль в секунду, то есть ватт.

Узел: втекают I₁ и I₃, вытекают I₂ и I₄, поэтому I₁ + I₃ = I₂ + I₄

Контур: э.д.с. батареи целиком падает на резисторе

Мощность

P = U I

Обозначения:

P

U

I

Это мощность в данный момент времени. Как усреднять её для переменных сигналов, разберём в разделе 1.5.

Куда девается эта мощность? Чаще всего — в тепло. Иногда — в движение (моторы), в свет и радиоволны (лампы, передатчики) или в запас энергии (аккумулятор, конденсатор). Тепло — вечная забота конструктора: серверная стойка потребляет десятки киловатт, и почти всё это нужно отвести кондиционерами, хотя «полезный выход» — лишь биты информации.

Подчеркнём: $P = U I$ — мгновенная мощность. Если напряжение и ток меняются периодически, нас обычно интересует среднее за период; как его найти, покажем при разговоре о комплексных сопротивлениях (раздел 1.5).

Пара слов о языке. Инженеры говорят просто «ток», а не «сила тока». И различают деталь и её свойство: резистор — это компонент, который можно взять в руки, а сопротивление — число в омах, которым он характеризуется.

Десятичные приставки, которые встречаются в электронике
Приставка	Обозначение	Множитель	Приставка	Обозначение	Множитель
тера	Т	$1 0^{12}$	милли	м	$1 0^{- 3}$
гига	Г	$1 0^{9}$	микро	мк	$1 0^{- 6}$
мега	М	$1 0^{6}$	нано	н	$1 0^{- 9}$
кило	к	$1 0^{3}$	пико	п	$1 0^{- 12}$
			фемто	ф	$1 0^{- 15}$

Упражнение 1.1.1

Аккумулятор электровелосипеда рассчитан на 36 В и 10 А·ч. Какой заряд проходит через него при полном разряде и сколько энергии он запасает? Напряжение считайте неизменным.

Q =КлW =кДж

Решение

Ампер-час — единица заряда: ампер в течение 3600 секунд. Поэтому

Q = 10 А \cdot 3600 с = 36000 Кл .

Энергия — работа по переносу этого заряда через 36 В (по определению вольта):

W = Q U = 36000 \cdot 36 \approx 1, 3 \cdot 1 0^{6} Дж = 1296 кДж .

Это 0,36 кВт·ч: примерно столько чайник на 2 кВт тратит за 11 минут кипячения.

Упражнение 1.1.2

На плате с Arduino линия питания 5 В — узел, к которому подходят четыре проводника. От USB-разъёма в узел втекает 450 мА, плата Arduino забирает 60 мА, сервопривод — 250 мА. Четвёртый проводник ведёт к модулю дисплея. Какой ток течёт по нему? (Знак «+» — ток втекает в узел, «−» — вытекает.)

I₄ =мА

Решение

Сумма токов, втекающих в узел, равна нулю: $450 - 60 - 250 + I_{4} = 0$ , откуда $I_{4} = - 140$ мА. Минус означает, что 140 мА уходят из узла к дисплею. Проверка «на здравый смысл»: всё, что пришло от USB, разошлось по потребителям, $60 + 250 + 140 = 450$ мА.

1.1.2Как ток зависит от напряжения: резисторы

≈ 15 мин6 упр.

Главное

Закон Ома $R = U / I$ ; резистор превращает ток в напряжение и напряжение в ток.
Последовательно: $R = R_{1} + R_{2}$ , больше большего. Параллельно: $R_{1} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ , меньше меньшего.
Оценивайте в уме (1 МОм ‖ 1 кОм ≈ 1 кОм); удачная схема не боится разброса номиналов.
Мощность на резисторе $P = I^{2} R = U^{2} / R$ .

Если спросить, чем, по большому счёту, занимается электроника, хороший ответ будет такой: придумывает элементы с полезной зависимостью тока от напряжения и собирает из них схемы. Вот несколько примеров таких зависимостей:

у резистора ток пропорционален напряжению;
у конденсатора — скорости изменения напряжения;
у диода ток идёт лишь в одном направлении;
у термистора сопротивление меняется с температурой;
у тензорезистора — с механической деформацией.

Экзотические элементы появятся по ходу курса. Начнём же с резистора — самого простого и самого массового компонента: на типичной плате их больше, чем всех остальных деталей вместе взятых.

Резистор: ток растёт строго пропорционально

Неоновая лампа: пока не зажглась, ток нулевой

Диод: в обратную сторону не пускает

Закон Ома. То, что ток через кусок металла пропорционален напряжению, — вовсе не очевидная истина, а свойство определённых материалов. Посмотрите на графики выше: неоновая лампа не проводит вовсе, пока напряжение не дорастёт до порога зажигания, а потом ток взлетает; диод пропускает ток лишь в одну сторону; нелинейны и транзисторы, и электронные лампы. Металлам и многим другим проводникам «повезло» — у них график прямой.

На этом и построен резистор: кусочек проводящего материала с выводами. Материалом служит углеродная композиция, тонкая плёнка металла или углерода, проволока из сплава с большим удельным сопротивлением. Отношение $R = U / I$ для него постоянно и называется сопротивлением; при вольтах и амперах оно выходит в омах. Это и есть закон Ома.

Закон Ома

R = \frac{U}{I}

Обозначения:

R

U

I

1 Ом = 1 В / 1 А. Те же соотношения в другой форме:

U = I R

и

I = U / R

.

Зачем резистор нужен, в одной фразе: он переводит ток в напряжение и обратно. Звучит скромно, но в следующих главах эта фраза будет всплывать снова и снова — в каждом усилителе, в каждом датчике, в каждом источнике питания.

Номинал — не единственное, что указывают в справочных данных резистора. Ещё важны:

допустимая мощность рассеяния (самые распространённые — на 0,25 Вт);
допуск — насколько реальное сопротивление может отличаться от номинала;
температурный коэффициент сопротивления;
собственный шум;
коэффициент напряжения — зависимость $R$ от приложенного напряжения;
стабильность во времени;
паразитная индуктивность (важна на высоких частотах).

Условное обозначение резистора

Один за другим: R = R₁ + R₂

Бок о бок: R = R₁‖R₂

Соединения резисторов. Две самые частые конфигурации — последовательная (элементы один за другим, ток общий) и параллельная (элементы между одной и той же парой точек, напряжение общее). Обе формулы выводятся из закона Ома и законов Кирхгофа в две строки — это предлагается сделать в задачах ниже.

Последовательное и параллельное соединение

	Последовательно	Параллельно
Что одинаково	ток	напряжение
Что суммируется	напряжения, а значит, сопротивления	токи, а значит, проводимости $G = 1/ R$
Формула	$R = R_{1} + R_{2}$	$R = R_{1} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$
Быстрая оценка	чуть больше большего	чуть меньше меньшего
Пример: 1 кОм и 1 МОм	1,001 МОм ≈ 1 МОм	999 Ом ≈ 1 кОм

Последовательная цепочка: $R = R_{1} + R_{2}$ . Результат всегда превышает наибольшее из слагаемых.
Параллельная пара — по формуле ниже. Результат всегда меньше наименьшего из сопротивлений: каждый новый параллельный путь только облегчает току дорогу.

Два резистора параллельно

R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{1}{1/ R _{1} + 1/ R _{2}}

Обозначения:

R_{1}, R_{2}

R

n

одинаковых резисторов

R_{0}

в параллель дают

R_{0} / n

.

Сопротивления выражают в омах (Ом), килоомах (кОм) и мегаомах (МОм). На принципиальных схемах единицу обычно не пишут: «4к7» или «4,7к» — это 4,7 кОм, «2М2» — 2,2 МОм, а число без буквы — просто омы.

0,25 Втсамый ходовой типоразмер

±5 %обычный допуск, ряд E24

1 %металлоплёночные

≈ 250 Впредел маленького резистора

0,01 Ом … 10¹² Омноминалы, которые выпускают

Где живут резисторы. Откройте любое устройство — и вы найдёте их повсюду: нагрузки транзисторов и микросхем, цепи смещения, обратные связи усилителей, постоянные времени и фильтры в паре с конденсаторами, задание рабочих токов и уровней. В блоках питания резисторы гасят избыток напряжения, служат датчиками тока (шунтами) и разряжают конденсаторы фильтра после выключения.

В измерительной технике отношения резисторов задают коэффициенты усиления и деления; в цифровых схемах резисторы согласуют линии связи и «подтягивают» входы к питанию или к земле; в высоковольтной аппаратуре из них собирают измерительные делители и выравнивают напряжение на последовательно соединённых диодах и конденсаторах.

Ассортимент огромен: от сотых долей ома до $1 0^{12}$ Ом, от 1/8 до сотен ватт, с допусками от 0,005 до 20 %. Номиналы стандартизованы: ряд E24 (для допуска 5 %) содержит 24 значения на декаду, ряд E12 (для 10 %) — вдвое меньше.

Дешёвые углеродные композиционные резисторы годятся для большинства некритичных мест, но помните, что их сопротивление уходит на несколько процентов от нагрева, пайки, влажности, приложенного напряжения и просто со временем. Рассчитывайте схему на худший случай.

Небольшой резистор ограничен по напряжению дважды: мощностью ( $U_{m a x} = PR$ ) и пробоем, который наступает примерно при 250 В. Где нужны точность и стабильность, ставьте металлоплёночные резисторы с допуском 1 % (дрейф около 0,1 % в обычных условиях); рекорд точности принадлежит прецизионным проволочным.

Если на резисторе выделяется больше 0,1 Вт, выбирайте его с запасом по мощности, а в силовых цепях — проволочные или в металлическом корпусе под радиатор. Паспортная мощность — ориентир, а не закон: реальная зависит от обдува, от того, сколько тепла уходит через выводы в плату, и от соседей по монтажу. Речь о средней мощности; на короткое время (секунды — смотря по тепловой инерции корпуса) её можно заметно превысить.

Упражнение 1.1.3

В наборе остались резисторы 2,2 кОм и 6,8 кОм. Какое сопротивление получится, если соединить их (а) последовательно и (б) параллельно? Сверьте результат с первым правилом оценки, которое приведено ниже.

R_посл =кОмR_пар =кОм

Решение

(а) $R = 2, 2 + 6, 8 = 9, 0$ кОм — больше большего.
(б) $R = \frac{2 , 2 \cdot 6 , 8}{2 , 2 + 6 , 8} = \frac{14 , 96}{9 , 0} \approx 1, 66$ кОм — меньше меньшего. Номиналы отличаются примерно втрое, поэтому «большой» резистор отбирает у меньшего ощутимые 24 %: правило «примерно равно меньшему» здесь лишь грубая оценка.

Упражнение 1.1.4

Нагревательная сетка заднего стекла автомобиля имеет сопротивление 1,2 Ом. При работающем двигателе бортовое напряжение 13,8 В. Какой ток потребляет обогрев и какую мощность он выделяет?

I =АP =Вт

Решение

$I = U / R = 13, 8/1, 2 = 11, 5$ А; $P = U^{2} / R = 13, 8^{2} /1, 2 \approx 159$ Вт. Поэтому обогрев включают через реле и отдельный предохранитель на 15–20 А: кнопка на панели такого тока не выдержит. При заглушённом двигателе (12,4 В) мощность упадёт до $12, 4^{2} /1, 2 \approx 128$ Вт — квадратичная зависимость от напряжения.

Упражнение 1.1.5 задача

Пользуясь только законом Ома и двумя законами Кирхгофа, выведите формулы для двух резисторов, соединённых последовательно и параллельно. Подумайте: какие величины общие в каждом случае и что именно складывается?

Решение

Последовательно. Точка соединения ничего не отводит, поэтому по закону для токов через оба резистора течёт один и тот же ток $I$ . Напряжения на них по закону для напряжений складываются: $U = U_{1} + U_{2} = I R_{1} + I R_{2} = I (R_{1} + R_{2})$ . Сопротивление цепочки — это отношение $U / I$ , то есть $R_{1} + R_{2}$ .

Параллельно. Теперь общее — напряжение $U$ , а токи ветвей сходятся в узле и складываются: $I = U / R_{1} + U / R_{2} = U (1/ R_{1} + 1/ R_{2})$ . Значит, $R = U / I = 1/ (1/ R_{1} + 1/ R_{2})$ , что после приведения к общему знаменателю даёт $R_{1} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ .

Упражнение 1.1.6 задача

Светодиодная лента состоит из $n$ отрезков, подключённых параллельно к шинам питания; каждый отрезок для простоты считайте резистором $R_{k}$ . Покажите, что лента в целом ведёт себя как одно сопротивление

R = \frac{1}{1/ R _{1} + 1/ R _{2} + \dots + 1/ R _{n}},

и что при одинаковых отрезках

R_{0}

оно равно

R_{0} / n

. Что станет с потребляемым током, если ленту удлинить вдвое?

Решение

Все отрезки подключены к одним шинам, поэтому напряжение $U$ на каждом одно и то же. Ток в шине питания — сумма токов отрезков: $I = \sum U / R_{k}$ . Тогда $1/ R = I / U = \sum 1/ R_{k}$ . Удобнее думать о проводимостях $G = 1/ R$ : при параллельном соединении они просто складываются, $G = \sum G_{k}$ . Тот же результат получается и по индукции: объединяем первые два отрезка по формуле для двух, затем результат с третьим и т. д.

Для одинаковых отрезков $1/ R = n / R_{0}$ , то есть $R = R_{0} / n$ . Удлинили ленту вдвое — сопротивление упало вдвое, ток (при том же напряжении) вырос вдвое. Поэтому у длинных лент блок питания и провода выбирают по суммарному току.

Как считать параллельные резисторы в уме. Формула $R_{1} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ провоцирует хвататься за калькулятор, но почти всегда хватает двух простых приёмов.

Правило. Приём 1. Если номиналы сильно различаются, побеждает «крайний»: в последовательной цепочке итог почти равен большему, в параллельной — меньшему. 1 МОм ‖ 1 кОм — это 1 кОм без малого (999 Ом); 47 Ом + 10 кОм — практически 10 кОм.

Правило. Приём 2. Представьте меньший резистор как несколько больших в параллель. Например, 5 кОм — это два по 10 кОм; значит, 5 кОм ‖ 10 кОм — три по 10 кОм в параллель, то есть

10/3 \approx 3, 33

кОм. Такие числа считаются в голове за секунду.

Приём 2: 5к превращаем в две «десятки» — всего три по 10к, итог 3,33к

Почему так важно уметь прикидывать в уме? Потому что идеи приходят у доски, у макетной платы, в обсуждении с коллегой — и хорошо, если проверить их можно тут же, без вычислительной техники.

И ещё одно соображение о точности. Гнаться за третьим знаком бессмысленно по двум причинам. Первая — сами детали неточны: обычный резистор имеет допуск ±5 %, а коэффициент усиления транзистора может отличаться от экземпляра к экземпляру в разы. Вторая важнее: хорошо спроектированная схема не чувствительна к точным значениям номиналов. Если для работы устройства нужен резистор «ровно 4,73 кОм», это повод пересмотреть схему, а не искать резистор (исключения есть, но их немного).

Совет. Привычка быстро оценивать порядок величин ценнее многозначного ответа: номиналы всё равно известны лишь с точностью ±5 %, а разброс параметров транзисторов достигает нескольких раз.

Модель: последовательно и параллельно — кто «побеждает»

Проводимость. Иногда удобнее перевернуть сопротивление и говорить о проводимости $G = 1/ R$ . Тогда закон Ома превращается в $I = G U$ , а при параллельном соединении проводимости просто складываются: $G = G_{1} + G_{2} + \dots$ — ведь напряжение у ветвей общее, а токи суммируются. Единица проводимости — сименс (1 См = 1/Ом); в англоязычных текстах можно встретить старое название «mho» — «ohm», записанное задом наперёд. На практике инженеры всё же предпочитают говорить о сопротивлениях, но держать проводимость в голове полезно.

Мощность на резисторе. Общая формула $P = U I$ верна для любого элемента. Для резистора её удобно переписать с помощью закона Ома так, чтобы осталась одна величина — ток или напряжение:

Тепло в резисторе

P = I^{2} R = \frac{U ^{2}}{R}

Обозначения:

P

I

U

R

Напряжение выросло вдвое — нагрев вырос вчетверо.

Упражнение 1.1.7

Ученик собирает на макетной плате схемы из резисторов, питая их от лабораторного блока 12 В (других источников в схеме нет). В наборе только резисторы на 0,125 Вт. Какой наименьший номинал гарантирует, что резистор не перегреется, как бы его ни включили в такую схему? Обоснуйте, почему ответ не зависит от остальной схемы.

R_min =кОм

Решение

Главное наблюдение: в схеме из резисторов с единственным источником потенциал любого узла заключён между потенциалами «плюса» и «минуса» источника. Докажем от противного. Пусть какой-то узел оказался выше «плюса». Выберем самый высокий из таких узлов: все его соседи ниже, значит, токи по всем подключённым к нему резисторам только вытекают — а это нарушает закон Кирхгофа для токов. То же для узлов ниже «минуса».

Следовательно, на любом резисторе $U \leq 12$ В, и $P = U^{2} / R \leq 144/ R$ . Условие $144/ R \leq 0, 125$ даёт $R \geq 1152$ Ом $\approx 1, 15$ кОм. Худший случай — резистор, подключённый прямо к клеммам блока; ближайший безопасный номинал ряда E24 — 1,2 кОм.

Упражнение 1.1.8

На даче обогреватель 2 кВт (рассчитан на 220 В) включён через удлинитель длиной 50 м с медными жилами сечением 0,75 мм² (удельное сопротивление меди $1, 7 \cdot 1 0^{- 8}$ Ом·м). Найдите: а) сопротивление удлинителя (ток идёт туда и обратно — по двум жилам); б) мощность, которая теряется в удлинителе, и в) падение напряжения на нём. Ток считайте по номиналу обогревателя. Во сколько раз выросли бы потери, если бы те же 2 кВт передавали при напряжении 22 В?

R =ОмΔP =ВтΔU =В

Решение

а) Длина пути тока — 100 м: $R = ρl / S = 1, 7 \cdot 1 0^{- 8} \cdot 100/0, 75 \cdot 1 0^{- 6} \approx 2, 27$ Ом.
б) Ток $I = P / U = 2000/220 \approx 9, 1$ А, потери $I^{2} R \approx 9, 1^{2} \cdot 2, 27 \approx 187$ Вт — удлинитель сам превратился в обогреватель почти на 200 Вт и заметно греется (а смотанный в катушку может оплавиться).
в) $Δ U = I R \approx 20, 6$ В: до обогревателя доходит меньше 200 В.

При 22 В для тех же 2 кВт понадобился бы ток в 10 раз больше — 91 А, а потери $I^{2} R$ выросли бы в $1 0^{2} = 100$ раз, до 18,7 кВт, что больше передаваемой мощности: на таком напряжении энергию просто не довезти. Вот почему электростанции отдают энергию в линии под сотнями киловольт: при заданной мощности ток обратно пропорционален напряжению, а потери — его квадрату. У потребителя напряжение понижают трансформаторами (раздел 1.4).

Вход, выход и передаточная функция. Большинство схем можно представить как преобразователь: на вход что-то подают (чаще всего напряжение), на выходе что-то получают (чаще всего тоже напряжение).

Схема — это преобразователь

Вход

U_{вх}

Схема

Выход

U_{вых}

Отношение выходного напряжения к входному называют передаточной функцией $H$ . Микрофонный предусилитель, увеличивающий сигнал в 100 раз, имеет $H = 100$ , и это число от сигнала не зависит. До усилителей мы доберёмся в главе 2, а пока, вооружившись одними резисторами, разберём схему с $H < 1$ — делитель напряжения, который встречается в электронике на каждом шагу.

1.1.3Делители напряжения

≈ 5 мин1 упр.

Главное

Ненагруженный делитель: $U_{вых} = U_{вх} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ — всегда часть входа, не больше его.
Сделайте нижнее плечо переменным (или возьмите потенциометр) — получится регулятор уровня.
Делитель — это ещё и модель: «источник, его сопротивление, вход следующего каскада».

Задача из практики. Микроконтроллер должен следить за аккумулятором 12 В, но его аналого-цифровой преобразователь принимает не больше 3,3 В. Нужно «уменьшить» напряжение в известное число раз — и сделать это надёжно и дёшево. Решение — два резистора, соединённые последовательно: делитель напряжения. Таких делителей в каждом приборе найдётся не меньше полудюжины.

Посчитаем выход, пока к нему ничего не подключено (это условие дальше будем подразумевать, если не оговорено иное). Резисторы соединены последовательно, поэтому через оба идёт один и тот же ток

I = \frac{U _{вх}}{R _{1} + R _{2}},

а выходное напряжение — это падение на нижнем резисторе,

U_{вых} = I R_{2}

:

Делитель напряжения

U_{вых} = I R_{2} = U_{вх} \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}

Обозначения:

U_{вх}

R_{1}

R_{2}

U_{вых}

Что меняет нагрузка — разберём в пункте об эквивалентном источнике ниже.

Множитель $R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ не может быть больше единицы, поэтому делитель только ослабляет — отсюда и название. Получить усиление можно было бы, если бы одно из плеч имело отрицательное сопротивление. И это не совсем фантастика: у некоторых приборов отрицательно приращение сопротивления (туннельный диод — в конце этого раздела), а схемы на операционных усилителях умеют изображать и самое настоящее отрицательное сопротивление (преобразователь отрицательного импеданса, глава 5).

12345

Делитель из двух резисторов: U_вых = U_вх·R₂/(R₁+R₂)

Что здесь что (5)

Вход. Сюда подают напряжение $U_{вх}$ , отсчитанное от земли.
Верхнее плечо $R_{1}$ . Падение на нём $U_{вх} - U_{вых}$ ; вместе с $R_{2}$ задаёт ток $I = U_{вх} / (R_{1} + R_{2})$ .
Нижнее плечо $R_{2}$ . Выходное напряжение — это падение на нём, $I R_{2}$ .
Выход. Доля $R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ от входа — до тех пор, пока к выходу ничего не подключено.
Земля. Общий провод: от него отсчитываются и вход, и выход.

Регулятор уровня: нижнее плечо — потенциометр

Выход ненагруженного делителя пропорционален доле нижнего плеча

Применений у делителя множество: получить из большого напряжения (постоянного или переменного) меньшее, сместить рабочую точку транзистора, задать порог компаратора. Если нижнее плечо сделать переменным, получится регулятор — например, громкости. А можно обойтись одной деталью: потенциометр — это резистор с подвижным третьим контактом (движком), то есть готовый делитель с плавно меняющимся отношением плеч.

Делитель как модель стыка двух каскадов

Источник сигнала

Внутреннее сопротивление

Вход следующего каскада

Что дойдёт

Но, пожалуй, ещё важнее делитель как модель. Представьте датчик, подключённый к усилителю. Датчик — это э.д.с. и внутреннее сопротивление, усилитель со стороны входа — просто сопротивление на землю. Получился делитель: верхнее плечо — сопротивление датчика, нижнее — вход усилителя, и формула сразу скажет, какая часть сигнала дойдёт до цели. Полностью этот взгляд оправдает теорема об эквивалентном источнике — она ждёт нас через пункт.

Модель: делитель с нагрузкой

Упражнение 1.1.9

Для опорного входа АЦП нужно получить 1,8 В из шины 5 В делителем, через который течёт 0,5 мА (выход не нагружен). Найдите $R_{1}$ (верхнее плечо) и $R_{2}$ (нижнее). Какие номиналы ряда E24 вы бы поставили и каким будет выход?

R₁ =кОмR₂ =кОм

Решение

Ток задаёт полное сопротивление: $R_{1} + R_{2} = 5 В /0, 5 мА = 10$ кОм. Отношение задаёт долю: $R_{2} / (R_{1} + R_{2}) = 1, 8/5 = 0, 36$ , откуда $R_{2} = 3, 6$ кОм и $R_{1} = 6, 4$ кОм. В ряду E24 есть 3,6 кОм, а 6,4 кОм нет; с ближайшим 6,2 кОм выход составит $5 \cdot 3, 6/9, 8 \approx 1, 84$ В (ошибка 2 %), а точного значения добиваются последовательным добавком 0,2 кОм или резисторами ряда E96. Обратите внимание на выходное сопротивление делителя $R_{1} ∥ R_{2} \approx 2, 3$ кОм: всё, что к нему подключат, должно быть намного высокоомнее (подробнее — в пункте об эквивалентном источнике).

1.1.4Источники тока и напряжения

≈ 4 мин1 упр.

Главное

Источник напряжения поддерживает $U$ при любой нагрузке; реальный — это идеальный плюс небольшое сопротивление последовательно.
Источник тока поддерживает $I$ при любой нагрузке — но лишь в пределах своего рабочего диапазона напряжений.
Источнику напряжения нужен обрыв, источнику тока — короткое замыкание: это их «комфортные» режимы.

Проведём мысленный опыт с батарейкой «Крона» на 9 В. Подключим к ней резистор 1 кОм — потечёт 9 мА, и напряжение на клеммах почти не изменится. Подключим 100 Ом — 90 мА, напряжение чуть просядет. А если замкнуть клеммы проводом? Идеальная батарея выдала бы бесконечный ток, реальная даёт около 3 А и за несколько минут умирает. Эта разница между идеалом и реальностью и есть содержание пункта.

Идеальный источник напряжения — двухполюсник, который держит на выводах заданное напряжение, что бы к ним ни подключили: резистор $R$ получит ток $I = U / R$ , сколь угодно большой. Реальный источник ограничен по току и в первом приближении эквивалентен идеальному с небольшим последовательным сопротивлением — чем оно меньше, тем источник лучше. У «Кроны» оно около 3 Ом, отсюда и ток короткого замыкания порядка 3 А.

Удобно сказать так: источнику напряжения «хорошо» на холостом ходу (выводы свободны) и «плохо» при коротком замыкании.

Идеальный источник тока — двойник с обратными свойствами: он прокачивает через нагрузку заданный ток при любом её сопротивлении. Для этого напряжение на его выводах должно подстраиваться под нагрузку, как угодно большое. Реальные источники тока так не умеют: у них есть ограниченный рабочий диапазон выходных напряжений, и даже в нём ток слегка зависит от нагрузки. В учебниках этот вопрос обычно обходят стороной, а напрасно — на практике о рабочем диапазоне забывают очень часто. Источник тока «комфортно» чувствует себя при коротком замыкании и «страдает» при обрыве: ему некуда девать ток.

Два идеальных источника

	Источник напряжения	Источник тока
Что поддерживает	напряжение $U$	ток $I$
Модель реального	идеальный + малое последовательное $R$	идеальный + большое параллельное $R$ , ограниченный рабочий диапазон
Удобный режим	холостой ход	короткое замыкание
Опасный режим	короткое замыкание	обрыв цепи
Пример	«Крона» 9 В, $r \approx 3$ Ом	транзисторный источник тока (глава 2)

Источник напряжения: с ростом тока напряжение падает на I·r

Источник тока: ток стоит, пока напряжение в рабочем диапазоне

Как рисуют источники напряжения: батарея, шина питания, генератор переменного напряжения

Как рисуют источники тока

Для источника напряжения бытовой пример под рукой — любая батарейка. Для источника тока такого житейского образа нет: его почти всегда строят из транзисторов или микросхем.

1,5 Вбатарейка АА

0,25 Омеё внутреннее сопротивление

10 000 Вт·сэнергия АА

≈ 3 Ому «Кроны» 9 В

Цифры для щелочной батарейки АА: 1,5 В, внутреннее сопротивление около 0,25 Ом, запас энергии порядка 10 000 Вт·с. По мере разряда напряжение опускается примерно до 1 В, а внутреннее сопротивление растёт до нескольких ом — поэтому «севшая» батарейка показывает на вольтметре почти норму, но не тянет нагрузку. Куда лучшие источники напряжения мы научимся делать, когда дойдём до обратной связи; а в стационарной аппаратуре батареи и вовсе встречаются редко.

Упражнение 1.1.10

Литий-ионный аккумулятор 18650 без нагрузки показывает 4,10 В (вольтметр с очень высоким входным сопротивлением). С резистором 2,0 Ом напряжение на его выводах 3,95 В. Найдите внутреннее сопротивление аккумулятора и ток, который потечёт при коротком замыкании.

r =ОмI_кз =А

Решение

Модель — идеальный источник $E = 4, 10$ В и последовательное $r$ . Под нагрузкой ток $I = 3, 95/2, 0 \approx 1, 98$ А, а на $r$ теряется $4, 10 - 3, 95 = 0, 15$ В. Отсюда $r = 0, 15/1, 98 \approx 0, 076$ Ом и $I_{кз} = E / r \approx 54$ А. Такой ток расплавит тонкий провод и может привести к возгоранию — поэтому в сборках из таких аккумуляторов всегда есть плата защиты. А сам приём — два измерения, без нагрузки и с известной нагрузкой, — универсальный способ узнать внутреннее сопротивление любого источника.

1.1.5Эквивалентный источник: теорема Тевенина

≈ 15 мин5 упр.

Главное

Любой двухполюсник из резисторов и источников снаружи неотличим от одного источника $U_{экв}$ с резистором $R_{экв}$ (Тевенин).
$U_{экв} = U_{хх}$ , $R_{экв} = U_{хх} / I_{кз}$ ; для делителя $R_{экв} = R_{1} ∥ R_{2}$ .
Нагрузка должна быть намного больше выходного сопротивления: $R_{н} ≫ R_{вн}$ .
Наибольшая мощность уходит в нагрузку при $R_{н} = R_{и}$ , но так проектируют лишь в особых случаях.

Представьте, что вам дали запаянную коробочку с двумя клеммами. Внутри — неизвестно сколько батарей и резисторов. Сколько измерений нужно, чтобы предсказать поведение коробочки с любой нагрузкой? Ответ поразительно скромный: два. Это следствие одной из самых полезных теорем электротехники.

Теорема Тевенина (об эквивалентном источнике). Любая цепь из резисторов и источников напряжения, у которой наружу выведены два контакта, ведёт себя снаружи точно так же, как один источник напряжения $U_{экв}$ и один последовательный резистор $R_{экв}$ . Сколько бы ни было внутри деталей, их можно заменить парой. Существует и двойственная форма (теорема Нортона): та же цепь эквивалентна источнику тока с параллельным резистором.

Какие два измерения? Первое — разомкнуть клеммы и измерить напряжение холостого хода. У эквивалентной схемы без нагрузки ток через $R_{экв}$ не идёт, и на клеммах ровно $U_{экв}$ ; раз схемы неотличимы, $U_{экв} = U_{хх}$ . Второе — замкнуть клеммы и измерить ток короткого замыкания; у эквивалента он равен $U_{экв} / R_{экв}$ . Отсюда:

Два числа, описывающие любой двухполюсник

U_{экв} = U_{хх}, R_{экв} = \frac{U _{хх}}{I _{кз}}

Обозначения:

U_{хх}

I_{кз}

R_{экв}

Порядок действий

Холостой ходрассчитайте или измерьте $U_{хх}$ — это и есть $U_{экв}$
Короткое замыканиенайдите ток $I_{кз}$ через перемычку
Деление $R_{экв} = U_{хх} / I_{кз}$
Короткий путьмысленно замкните источники напряжения перемычками, разомкните источники тока и найдите сопротивление между клеммами

1234

Сколько бы источников и резисторов ни было внутри, снаружи это один источник и один резистор

Что здесь что (4)

Что внутри. Произвольная комбинация батарей и резисторов; наружу выходят лишь две клеммы.
Клеммы. Всё, что доступно нагрузке, — напряжение и ток на этих двух выводах.
$U_{экв}$ . Равно напряжению холостого хода исходной цепи.
$R_{экв}$ . Равно $U_{хх} / I_{кз}$ — или сопротивлению между клеммами, если все источники напряжения заменить перемычками.

Теорема особенно ценна, когда схему нельзя вскрыть: выход генератора, датчик, гнездо чужого прибора. Но для таких измерений нужны приборы — и сами приборы тоже подчиняются той же теореме, что важно понимать, прежде чем им доверять.

Чем мерить и как прибор искажает результат. Главный прибор электронщика — осциллограф: он рисует, как напряжение в одной или нескольких точках меняется во времени. Для цифровых схем к нему добавляются логические пробники и логические анализаторы. Мультиметр (тестер) измеряет напряжение, ток и сопротивление, порой очень точно, но показывает лишь установившееся значение: быстрых изменений он не видит. Тестеры бывают стрелочные и цифровые.

Сердце стрелочного тестера — микроамперметр: стрелка доходит до конца шкалы, например, при 50 мкА. Чтобы мерить напряжение, последовательно с механизмом ставят добавочный резистор. Для предела 1 В он должен быть $1 В /50 мкА = 20$ кОм, для предела 10 В — 200 кОм. Такие приборы описывают удельной величиной «20 000 Ом/В»: входное сопротивление на любом пределе равно 20 кОм, умноженным на этот предел.

Почему это важно? Подключённый вольтметр — это нижнее плечо делителя, верхним плечом которого служит выходное сопротивление того, что вы измеряете. Идеальный вольтметр имел бы бесконечное входное сопротивление. У цифровых мультиметров и приборов с полевым транзистором на входе оно обычно 10 МОм, а у некоторых доходит до $1 0^{9}$ Ом — правда, иногда лишь на самом чувствительном пределе ( $1 0^{9}$ Ом на пределе 0,2 В и $1 0^{7}$ Ом на прочих). Загляните в паспорт прибора, а погрешность от нагрузки всегда можно оценить формулой делителя.

Ток стрелочный прибор измеряет либо напрямую (50 мкА на всю шкалу), либо с шунтом — маленьким резистором параллельно механизму, подобранным так, чтобы при максимальном токе на нём падало напряжение полного отклонения (порядка 0,25 В). Идеальный амперметр имел бы нулевое сопротивление; реальный отнимает у цепи десятые доли вольта, и это цена измерения. Для измерения сопротивления прибор пропускает через деталь небольшой ток от внутренней батарейки.

И два совета, которые спасли бы множество приборов. Амперметр — почти короткое замыкание: не втыкайте его щупы в розетку «посмотреть ток». Омметр подаёт своё напряжение: не меряйте им схему, которая включена.

Вольтметр с сопротивлением R_V нагружает источник: покажет E·R_V/(R_и+R_V)

Амперметр с шунтом: почти весь ток идёт в обход механизма

Ловушка. Амперметр в розетке — это короткое замыкание, а омметр на включённой схеме — это чужое напряжение на его входе. Оба способа надёжно губят приборы.

Упражнение 1.1.11

Делитель 1 МОм — 1 МОм питается от идеального источника 12 В (так часто устроены входы датчиков с малым потреблением). Что покажет в средней точке: (а) цифровой мультиметр с входным сопротивлением 10 МОм; (б) старый стрелочный тестер «20 000 Ом/В» на пределе 10 В?

U_а =ВU_б =В

Решение

Заменим делитель эквивалентом: $U_{экв} = 6$ В, $R_{экв} = 1∥1 = 0, 5$ МОм.
(а) Прибор 10 МОм образует с $R_{экв}$ новый делитель: $U = 6 \cdot 10/10, 5 \approx 5, 71$ В — ошибка около 5 %.
(б) Входное сопротивление тестера $20 кОм / В \cdot 10 В = 200$ кОм: $U = 6 \cdot 0, 2/ (0, 5 + 0, 2) \approx 1, 71$ В вместо 6 В! Высокоомные цепи стрелочным тестером не измерить — нужен прибор с входным сопротивлением, много большим $R_{экв}$ , либо поправка по формуле делителя.

Упражнение 1.1.12

Из стрелочного механизма на 50 мкА с собственным сопротивлением 3,0 кОм нужно сделать два прибора для зарядного стенда: амперметр на 0–2 А и вольтметр на 0–20 В. Найдите сопротивление шунта и добавочного резистора.

R_ш =ОмR_доб =кОм

Решение

При полном отклонении на механизме $50 мкА \cdot 3 кОм = 0, 15$ В.
Шунт должен пропустить остальное: $2 - 0, 00005 \approx 2$ А при тех же 0,15 В, то есть $R_{ш} = 0, 15/2 \approx 0, 075$ Ом. Это уже сопротивление проводов и контактов — такой шунт делают из толстой манганиновой полоски и подключают отдельными «измерительными» выводами.
Вольтметр: вся цепь должна иметь $20 В /50 мкА = 400$ кОм; 3 кОм даёт механизм, остальные 397 кОм — добавочный резистор. Получился прибор «20 000 Ом/В».

Вернёмся к делителю и найдём его эквивалент — сначала по рецепту с двумя измерениями.

Холостой ход: $U_{хх} = U_{вх} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ — это мы уже знаем.
Короткое замыкание: перемычка на выходе «выключает» $R_{2}$ , и весь ток ограничивает $R_{1}$ : $I_{кз} = U_{вх} / R_{1}$ .

Делим одно на другое и получаем пару

U_{экв} = U_{вх} \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}, R_{экв} = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}} .

Эквивалентное сопротивление вышло равным

R_{1} ∥ R_{2}

, и это не совпадение. Идеальный источник напряжения не меняет своего напряжения, что бы ни происходило, — для изменений он как перемычка на землю. Глядя со стороны выхода, мы видим

R_{1}

(через источник — на землю) и

R_{2}

(прямо на землю): они параллельны.

Правило. Выходное сопротивление ищут так: все идеальные источники напряжения замените перемычками, источники тока — разрывами, и найдите сопротивление между выходными клеммами.

Теперь видно, почему делитель — посредственный источник питания: под нагрузкой его выход проседает. Насколько именно — тоже легко посчитать: эквивалентный источник и нагрузка образуют ещё один делитель.

Эквивалентный источник и нагрузка — опять делитель

Упражнение 1.1.13

Микроконтроллер следит за аккумулятором через делитель: $R_{1} = 30$ кОм сверху, $R_{2} = 10$ кОм снизу, напряжение аккумулятора 12,6 В. К выходу делителя подключён модуль индикации с входным сопротивлением $R_{н} = 20$ кОм. Найдите: а) выход без нагрузки; б) выход с нагрузкой, объединив $R_{2}$ и $R_{н}$ в одно сопротивление; в) параметры эквивалентного источника; г) выход с нагрузкой через эквивалент (сравните с б); д) мощность в $R_{1}$ и $R_{2}$ под нагрузкой.

U_хх =ВU_н =ВR_экв =кОмP₁ =мВтP₂ =мВт

Решение

а) $U_{хх} = 12, 6 \cdot 10/40 = 3, 15$ В.
б) $R_{2} ∥ R_{н} = 10 \cdot 20/30 \approx 6, 67$ кОм, $U = 12, 6 \cdot 6, 67/ (30 + 6, 67) \approx 2, 29$ В.
в) $U_{экв} = 3, 15$ В, $R_{экв} = 30∥10 = 7, 5$ кОм.
г) $U = 3, 15 \cdot 20/ (7, 5 + 20) \approx 2, 29$ В — то же самое, но быстрее.
д) На $R_{1}$ падает $12, 6 - 2, 29 = 10, 31$ В, ток $10, 31/30 кОм \approx 0, 344$ мА, $P_{1} \approx 3, 54$ мВт; $P_{2} = 2, 2 9^{2} /10 кОм \approx 0, 525$ мВт, в нагрузку уходит вдвое меньше, 0,26 мВт. Вывод: нагрузка «украла» почти треть показаний — микроконтроллер решит, что аккумулятор разряжен. Либо нагрузку надо брать много больше 7,5 кОм, либо ставить буфер.

Внутреннее сопротивление и нагрузка. Возьмём числа попроще: батарея 9 В и делитель 3 кОм сверху, 6 кОм снизу. Его эквивалент — источник 6 В с последовательным резистором 2 кОм (схема ниже). Любая нагрузка «просаживает» выход именно из-за этих 2 кОм.

Чаще всего просадка вредна. Можно уменьшить сопротивления делителя — иногда этого достаточно, но тогда делитель будет впустую потреблять большой ток. Гораздо лучше собрать источник напряжения на активных элементах — транзисторах или операционных усилителях (главы 2–4). Они дают выходное сопротивление в миллиомы без лишнего тока и, вдобавок, позволяют легко регулировать выход.

Делитель 3 кОм / 6 кОм от 9 В и его эквивалент: 6 В через 2 кОм

Внутреннее сопротивление есть у любого источника сигнала — генератора, усилителя, микрофона, датчика. Если нагрузка меньше его или даже сравнима с ним, сигнал заметно падает; говорят, что источник перегружен. Отсюда одно из главных практических правил: сопротивление нагрузки должно быть намного больше внутреннего сопротивления источника. Как быстро растёт доля сигнала с ростом нагрузки, показывает график.

Правило.

R_{н} ≫ R_{внутр}

: нагрузка, в 10 раз превышающая выходное сопротивление, отнимает всего 9 % сигнала. Именно поэтому у вольтметров и осциллографов такое высокое входное сопротивление.

Есть важное исключение — радиочастотные линии передачи. Там сопротивления источника, линии и нагрузки согласуют (делают равными), иначе сигнал отражается от концов линии и теряется; это область высокочастотной техники. И о словах: выражения «сопротивление, если смотреть со стороны входа» и «нагрузка со стороны выхода» точно указывают, откуда мы глядим на схему, — пользуйтесь ими.

Доля напряжения на нагрузке: чем она высокоомнее, тем ближе к холостому ходу

Сколько мощности можно отобрать. Поставим другой вопрос: при каком сопротивлении нагрузки источник с внутренним сопротивлением $R_{и}$ отдаст ей наибольшую мощность? («Внутреннее», «выходное», «эквивалентное» сопротивление и сопротивление источника здесь синонимы.) Крайние случаи подсказывают, что максимум существует: при $R_{н} = 0$ на нагрузке нет напряжения, при $R_{н} = \infty$ через неё нет тока — и в обоих случаях мощность нулевая.

Упражнение 1.1.14 задача

Найдите, при каком $R_{н}$ мощность в нагрузке максимальна, и чему она равна. Сделайте это двумя способами: через производную и без неё, с помощью неравенства $x + 1/ x \geq 2$ для $x > 0$ .

Решение

Ток $I = U / (R_{и} + R_{н})$ , мощность

P (R_{н}) = I^{2} R_{н} = \frac{U ^{2} R _{н}}{( R _{и} + R _{н} ) ^{2}} .

Через производную.

\frac{d P}{d R _{н}} = U^{2} \frac{( R _{и} + R _{н} ) ^{2} - 2 R _{н} ( R _{и} + R _{н} )}{( R _{и} + R _{н} ) ^{4}} = U^{2} \frac{R _{и} - R _{н}}{( R _{и} + R _{н} ) ^{3}} .

Пока

R_{н} < R_{и}

, производная положительна (мощность растёт), после — отрицательна; ноль при

R_{н} = R_{и}

— это максимум.

Без производной. Обозначим $x = R_{н} / R_{и}$ и разделим числитель и знаменатель на $R_{н}$ :

P = \frac{U ^{2}}{R _{и}} \cdot \frac{1}{x + 2 + 1/ x} .

Знаменатель

x + 1/ x + 2 \geq 4

, причём равенство — только при

x = 1

.

Итог: $P_{m a x} = U^{2} / (4 R_{и})$ при $R_{н} = R_{и}$ . КПД при этом всего 50 % — ровно столько же мощности выделяется внутри самого источника.

Упражнение 1.1.15

Термоэлектрический генератор (модуль Пельтье на походной печке) даёт э.д.с. 2,4 В при внутреннем сопротивлении 1,5 Ом. Какую наибольшую мощность можно от него получить? Какую мощность получит нагрузка 15 Ом и какое напряжение будет на ней?

P_max =ВтP(15 Ом) =ВтU(15 Ом) =В

Решение

Максимум — при нагрузке 1,5 Ом: $P = 2, 4^{2} / (4 \cdot 1, 5) = 0, 96$ Вт (и напряжение на нагрузке ровно половина, 1,2 В).
При 15 Ом: $I = 2, 4/16, 5 \approx 0, 145$ А, $P = I^{2} \cdot 15 \approx 0, 32$ Вт, напряжение $2, 4 \cdot 15/16, 5 \approx 2, 18$ В. Мощности втрое меньше, зато источник почти не «просел». Для зарядки телефона от такого модуля всё равно понадобится повышающий преобразователь — и именно он, «подстраивая» нагрузку, выжимает из генератора мощность, близкую к максимальной.

Пик мощности при Rн = Rи; КПД продолжает расти и дальше

Не превращайте этот результат в правило проектирования. В подавляющем большинстве схем нагрузку делают гораздо больше внутреннего сопротивления источника: важна не мощность, а то, чтобы напряжение сигнала дошло без потерь. Согласование «на максимум мощности» нужно в особых случаях — в радиочастотных трактах, при работе с предельно слабыми сигналами, при отборе энергии от солнечных панелей и термогенераторов.

Модель: эквивалентный источник и нагрузка

1.1.6Динамическое сопротивление

≈ 9 мин2 упр.

Главное

У нелинейного элемента важен наклон ВАХ $r_{д} = d U / d I$ — его сопротивление для малых изменений.
Для приращений стабилитрон — это резистор $r_{д}$ , а стабилизатор — делитель: $Δ U_{вых} = Δ U_{вх} r_{д} / (R + r_{д})$ .
Отрицательный наклон (туннельный диод) превращает делитель в усилитель.

Возьмём светодиод. При 2,0 В через него идёт 5 мА, при 2,1 В — уже 15 мА. Каково его «сопротивление»? Отношение $U / I$ даёт 400 Ом в первой точке и 140 Ом во второй — число зависит от того, где мерить, и для расчёта схемы почти бесполезно. Гораздо содержательнее другой вопрос: на сколько изменится ток, если чуть-чуть изменить напряжение? Здесь $Δ U /Δ I = 0, 1 В /10 мА = 10$ Ом.

Это отношение малых приращений, $Δ U /Δ I$ (в пределе $d U / d I$ ), — наклон вольт-амперной характеристики (ВАХ) в рабочей точке. У него размерность сопротивления, и в расчётах малых изменений оно ведёт себя в точности как сопротивление. Называют его по-разному: динамическим, дифференциальным, инкрементным сопротивлением или сопротивлением для малого сигнала.

Динамическое сопротивление

r_{д} = \frac{d U}{d I} \approx \frac{Δ U}{Δ I}

Обозначения:

r_{д}

Δ U

Δ U /Δ I

Наклон характеристики, а не отношение

U / I

: для резистора они совпадают, для нелинейных элементов — нет.

а) Резистор 4 кОм: ВАХ — прямая, наклон везде один

б) Стабилитрон на 5 В: идеальная ломаная (пунктир) и реальная кривая

Стабилитроны. Самый наглядный пример, где без динамического сопротивления не обойтись, — стабилитрон, или диод Зенера (график б). Его включают в обратном направлении. Пока обратное напряжение мало, ток почти нулевой; при достижении напряжения стабилизации ток круто нарастает. Если через стабилитрон пропустить примерно постоянный ток от источника более высокого напряжения, напряжение на нём почти не будет зависеть ни от этого тока, ни от входа.

Стабилитрон «сжимает» широкий диапазон токов в узкий диапазон напряжений, и мерой этого сжатия служит именно $r_{д}$ — наклон ВАХ в рабочей точке. В рабочей области он примерно обратно пропорционален току. Пример: стабилитрон на 3,3 В при токе 20 мА имеет $r_{д} \approx 8$ Ом; если ток изменится на 10 %, то есть на 2 мА, напряжение сдвинется на

Δ U = r_{д} Δ I = 8 \cdot 2 \cdot 1 0^{- 3} = 16 мВ,

что составляет около 0,5 % — для многих задач приемлемо.

Простейший стабилизатор (схема ниже): резистор от входа к выходу и стабилитрон с выхода на землю; вход выше напряжения стабилизации. Запишем три очевидных соотношения:

I = \frac{U _{вх} - U _{вых}}{R}, Δ I = \frac{Δ U _{вх} - Δ U _{вых}}{R}, Δ U_{вых} = r_{д} Δ I .

Исключив

Δ I

, получим

Стабилизатор на стабилитроне глазами приращений

Δ U_{вых} = \frac{r _{д}}{R + r _{д}} Δ U_{вх}

Обозначения:

R

r_{д}

Δ U_{вх}

Δ U_{вых}

Смотрите, что произошло: для изменений схема превратилась в обычный делитель, где стабилитрон заменён резистором $r_{д}$ . Ради таких упрощений понятие динамического сопротивления и вводят — оно позволяет считать нелинейные схемы линейными методами, пока изменения малы.

123

Параметрический стабилизатор: гасящий резистор и стабилитрон

Что здесь что (3)

Резистор R. Через него идёт ток $I = (U_{вх} - U_{вых}) / R$ ; для приращений это верхнее плечо делителя.
Стабилитрон VD. Включён катодом к выходу, то есть в обратном направлении; держит напряжение стабилизации. Для приращений — резистор $r_{д}$ .
Выход. Почти неизменное напряжение: пульсации входа ослабляются в $(R + r_{д}) / r_{д}$ раз.

Посчитаем реальный случай.

Расчёт стабилизатора: 24 В ± 10 % → 12 В

Задачапромышленная шина 24 В гуляет на ±10 % (21,6…26,4 В), нужно 12 В; стабилитрон на 1,3 Вт выдерживает до $1, 3/12 \approx 108$ мА
Ток при 26,4 Вс резистором 150 Ом: $(26, 4 - 12) /150 = 96$ мА — запас до предела есть
Ток при 21,6 В $(21, 6 - 12) /150 = 64$ мА; ток меняется на 32 мА
Колебание выходапо паспорту $r_{д} \leq 3$ Ом: $Δ U_{вых} \approx 3 \cdot 0, 032 \approx 0, 1$ В при изменении входа на 4,8 В — ослабление примерно в 50 раз

Ещё лучше питать стабилитрон источником тока. По определению динамическое сопротивление идеального источника тока бесконечно (ток не зависит от напряжения), и множитель $r_{д} / (R + r_{д})$ стремится к нулю. Источник тока, правда, сложнее резистора, поэтому чаще всего обходятся резистором. К стабилитронам мы вернёмся в главах о транзисторах и стабилизаторах (глава 2, глава 6).

Упражнение 1.1.16

Самодельная батарея из трёх литий-ионных аккумуляторов, включённых последовательно, даёт от 12 В (заряжена) до 9 В (почти разряжена). Датчику нужно 5,1 В; стоит стабилитрон на 5,1 В с динамическим сопротивлением 12 Ом и резистор 150 Ом, нагрузкой пока пренебрегаем. Найдите ток стабилитрона при крайних напряжениях и на сколько изменится выход за весь разряд.

I_min =мАI_max =мАΔU_вых =В

Решение

Токи (выход в первом приближении 5,1 В): $I_{m i n} = (9 - 5, 1) /150 = 26$ мА, $I_{m a x} = (12 - 5, 1) /150 = 46$ мА.
Изменение выхода — делитель для приращений:

Δ U_{вых} = Δ U_{вх} \frac{r _{д}}{R + r _{д}} = 3 \cdot \frac{12}{162} \approx 0, 22 В .

Грубая оценка

r_{д} Δ I = 12 \cdot 20 мА = 0, 24

В близка, но чуть завышена: она не учитывает, что ток ограничивает и само изменение выхода. Вход меняется на 3 В, выход — на 0,22 В, стабилизация примерно в 13 раз. Заметьте и цену: при 12 В стабилитрон греется на

5, 1 \cdot 0, 046 \approx 0, 23

Вт впустую.

Модель: стабилитрон и динамическое сопротивление

Отрицательное динамическое сопротивление. У туннельного диода ВАХ ещё причудливее (график ниже): на участке между точками A и B ток уменьшается при росте напряжения, то есть $r_{д} < 0$ . А теперь возьмём делитель, в котором нижнее плечо — такой диод (схема рядом с графиком), и подадим малый переменный сигнал $u_{с}$ . Формула делителя для приращений даёт

u_{вых} = \frac{r _{т}}{R + r _{т}} u_{с},

где

r_{т}

— динамическое сопротивление диода в рабочей точке. (Здесь и дальше малые переменные составляющие обозначаем строчными буквами:

u

вместо

Δ U

.)

При $r_{т} < 0$ знаменатель $R + r_{т}$ может оказаться маленьким, если $∣ r_{т} ∣$ близко к $R$ , и тогда коэффициент передачи по модулю много больше единицы: делитель усиливает. Батарея $U_{б}$ нужна для смещения — она выводит рабочую точку на участок AB. Это общее правило: любому усилителю нужен источник питания, из которого берётся энергия усиленного сигнала.

Передача делителя с отрицательным плечом: вблизи R = |rт| она неограниченно растёт

r > 0только ослабление

r < 0возможно усиление

R = |r|неустойчивость

ВАХ туннельного диода: на участке A–B наклон отрицательный

Делитель, нижнее плечо которого — туннельный диод со смещением U_б

Упражнение 1.1.17

В делителе с туннельным диодом $R = 60$ Ом, а наклон ВАХ диода в рабочей точке $r_{т} = - 45$ Ом. Найдите коэффициент передачи малого сигнала $u_{вых} / u_{с}$ со знаком. Как изменится результат, если резистор нагреется и его сопротивление уменьшится на 10 %?

K =

Решение

$K = r_{т} / (R + r_{т}) = - 45/ (60 - 45) = - 3$ : сигнал усилен втрое и перевёрнут по знаку.
При $R = 54$ Ом: $K = - 45/ (54 - 45) = - 5$ . Десять процентов изменения резистора — и усиление выросло в 1,7 раза; ещё немного, и при $R = 45$ Ом знаменатель обнулится, схема станет неустойчивой. Вот в чём главная беда таких усилителей: их коэффициент передачи определяется разностью двух близких величин и потому капризен.

Туннельные диоды появились в конце 1950-х годов, и поначалу от них ждали переворота: быстродействие сулило сверхскоростные вычислительные машины. Не сложилось: работать с ними оказалось неудобно, а транзисторы за те же годы шагнули далеко вперёд. Сегодня туннельный диод — скорее редкость. Но сама идея отрицательного сопротивления в курсе ещё появится: в разделе об активных фильтрах мы встретим преобразователь отрицательного импеданса — схему с подлинно отрицательным сопротивлением, а не только отрицательным наклоном характеристики.