5.1. Активные фильтры: характеристики

5.1.1Почему цепочка RC-звеньев — плохой фильтр

≈ 5 мин1 упр.

Главное

$n$ развязанных RC-звеньев дают спад $6 n$ дБ/октава, но переход от полосы к спаду остаётся размытым.
Частота −3 дБ такого каскада сползает вниз: $f_{- 3 дБ} = f_{0} 2^{1/ n} - 1$ .
Фильтры сравнивают в нормированном виде — срез на 1 Гц (или 1 рад/с), обе оси логарифмические.

Представим задачу. Микроконтроллер измеряет медленно меняющийся сигнал датчика, а рядом работает ШИМ-регулятор вентилятора на 400 Гц; его наводка в несколько раз сильнее полезного сигнала. Полезная полоса — до 100 Гц, помеха — всего в четыре раза выше по частоте. Одиночная RC-цепочка со срезом 100 Гц ослабит наводку лишь примерно в четыре раза — явно мало. Хотелось бы фильтр, который до 100 Гц ничего не трогает, а сразу за этой границей обрубает всё. Такой идеальный ФНЧ называют «кирпичной стеной»: плоская полка до $f_{c}$ , вертикальный обрыв и ноль дальше.

Мечта разработчика: идеальный ФНЧ — полка до f_c и вертикальный обрыв.

Наивная попытка: поставить звенья подряд

Первое, что приходит в голову, — соединить друг за другом несколько одинаковых RC-звеньев. Если сделать это «в лоб», каждое следующее звено будет нагружать предыдущее, и характеристика испортится ещё сильнее. Поэтому отдадим этой идее должное и рассмотрим лучший для неё случай: между звеньями стоят повторители (или сопротивления звеньев растут от входа к выходу так быстро, что нагрузкой можно пренебречь). Тогда звенья друг другу не мешают, и коэффициенты передачи просто перемножаются:

Цепочка из n одинаковых развязанных RC-звеньев

K_{n} (f) = [1 + (\frac{f}{f _{0}})^{2}]^{- n /2}, f_{0} = \frac{1}{2 π RC}

Обозначения:

K_{n}

n

f_{0}

Далеко за изломом такая цепочка действительно спадает круче — асимптотически на $6 n$ дБ/октава. Но посмотрите на сам излом: каждый сомножитель начинает «загибаться» плавно, и произведение плавных загибов остаётся плавным. Резкого угла из них не сложить, сколько звеньев ни бери.

Есть и второй неприятный эффект: с ростом $n$ точка −3 дБ всей цепочки уходит вниз. Условие $K_{n} = 1/ 2$ означает $[1 + (f / f_{0})^{2}]^{n} = 2$ , откуда

На сколько сползает частота среза

f_{- 3 дБ} = f_{0} 2^{1/ n} - 1 \approx f_{0} \frac{ln 2}{n} (n ≫ 1)

Обозначения:

f_{- 3 дБ}

f_{0}

$f_{0}$ одно звено

0,64 $f_{0}$ два звена

0,51 $f_{0}$ три звена

0,15 $f_{0}$ 32 звена

Как честно сравнивать фильтры

Из-за этого сползания сравнивать цепочки с разным числом звеньев «как есть» бессмысленно: у них разные частоты среза. Поэтому все фильтры дальше в главе приводятся к одной частоте: их точка −3 дБ (или граница полосы пропускания) ставится на 1 Гц или 1 рад/с. Это называется нормировкой. Для реального фильтра со срезом $f_{c}$ достаточно умножить подписи оси частот на $f_{c}$ .

Строить такие графики удобнее всего в логарифмическом масштабе по обеим осям. Тогда наклон асимптоты — прямая линия, и сразу видно, сколько децибел даёт фильтр на любой частоте. На левом графике ниже — цепочки из 1, 2, 4, …, 32 звеньев со срезом каждого звена 1 Гц (видно сползание), на правом — те же цепочки после нормировки (видно, насколько мягким остаётся излом).

Цепочки из n развязанных RC-звеньев (срез каждого — 1 Гц): с ростом n полоса сжимается.

Те же цепочки, приведённые к срезу −3 дБ на f = 1: угол у характеристики так и не появляется.

Совет. Нормированный график годится для любого фильтра того же типа: частоты на нём умножайте на

f_{c}

(в герцах), а времена переходных процессов — делите на

f_{c}

.

Упражнение 5.1.1

Чтобы подавить наводку на входе АЦП, разработчик поставил три одинаковых RC-звена, развязанных повторителями; частота −3 дБ каждого звена — 200 Гц. Какова частота −3 дБ всей цепочки и какое ослабление она даёт на удвоенной частоте среза $2 f_{- 3 дБ}$ ? Сравните с фильтром Баттерворта 3-го порядка, у которого на $2 f_{c}$ ослабление 18,1 дБ.

f_{−3 дБ} =ГцОслабление на 2f =дБ

Решение

$f_{- 3 дБ} = f_{0} 2^{1/3} - 1 = 200 \cdot 0, 2599 = 102$ Гц — вдвое ниже, чем у отдельного звена.

На $f = 204$ Гц отношение $x = f / f_{0} = 1, 02$ , $1 + x^{2} = 2, 040$ ; ослабление $10 l g (2, 04 0^{3}) = 30 l g 2, 040 = 9, 29$ дБ.

Фильтр Баттерворта того же порядка (три конденсатора) на той же относительной частоте даёт 18,1 дБ — разница почти 9 дБ, в 2,8 раза по напряжению. Причина не в числе деталей, а в форме излома: у RC-цепочки он растянут почти на декаду, и полной крутизны 18 дБ/октава она достигает только далеко за полосой.

5.1.2Что умеют катушки и почему их избегают

≈ 3 мин

Главное

Катушки дают комплексные полюсы: резонансный подъём «подпирает» характеристику у края полосы.
Пассивная LC-лестница, рассчитанная по справочным таблицам, реализует Баттерворта, Чебышева, эллиптический фильтр.
Но катушка — капризная деталь, и хочется получить те же характеристики без неё.

Резкий угол получить можно — если добавить к конденсаторам катушки. Это мы видели ещё на резонансном контуре в главе 1: LC-цепь способна резко менять передачу в узкой полосе частот. Комбинируя катушки и конденсаторы, можно сделать полосу пропускания практически сколь угодно плоской, а переход к подавлению — сколь угодно резким. Пример — пятиэлементная лестница ниже: три катушки в продольных плечах, два конденсатора в поперечных, источник и нагрузка с заданными сопротивлениями. Такие лестницы десятилетиями стояли, например, в аппаратуре проводной связи, где нормы на полосу очень жёсткие.

1234

Пассивный LC-фильтр нижних частот пятого порядка (лестница). Подбором номиналов по справочным таблицам из неё получают Баттерворта, Чебышева или эллиптический фильтр; в полосовом варианте каждое плечо заменяют резонансным контуром.

Что здесь что (4)

Сопротивление генератора $R_{г}$ . лестницу рассчитывают под конкретные сопротивления источника и нагрузки
Продольные катушки. $L_{1}$ , $L_{3}$ , $L_{5}$ — последовательные плечи
Поперечные конденсаторы. $C_{2}$ , $C_{4}$ — плечи на общий провод
Нагрузка $R_{н}$ . лестница, согласованная с обеих сторон, слабо чувствительна к разбросу деталей

Язык полюсов

Объяснение этому даёт теория цепей. Передаточная функция любой линейной цепи — дробь, и корни её знаменателя называют полюсами. У цепи только из R и C все полюсы лежат на отрицательной вещественной оси: каждый даёт свой плавный загиб, и характеристика получается «мягкой». Катушка вместе с конденсатором позволяет получить пару комплексно-сопряжённых полюсов, вынесенных с оси. Такая пара даёт резонансный подъём — и если поставить его как раз у края полосы, он компенсирует начинающийся спад, характеристика держится ровной почти до самой границы и только потом обрывается.

Где лежат полюсы. Слева — пассивная RC-цепь: все полюсы на отрицательной вещественной оси. Справа — четырёхполюсный Баттерворт: две пары комплексных полюсов на окружности; пара ближе к оси jω создаёт подъём у края полосы.

Правило. Бесплатно ничего не бывает: чем ближе АЧХ к прямоугольной, тем больше элементов и тем хуже, как правило, ведёт себя фильтр во времени — растут выброс и звон на ступеньке, искажается фаза.

Почему катушек стараются избегать

Расчёт LC-фильтров давно доведён до справочных таблиц: выбираешь тип и порядок — получаешь номиналы. Беда в другом — сами катушки неудобны:

на низких частотах нужные индуктивности огромны, катушки дороги и тяжелы;
у провода есть сопротивление, у катушки — потери и невысокая добротность;
сердечник нелинеен, витки образуют паразитную ёмкость;
катушка ловит внешние магнитные поля (и сама их излучает).

Отсюда задача: получить «характеристику LC-фильтра» из одних резисторов, конденсаторов и усилителей.

5.1.3Фильтры без катушек: общая идея

≈ 9 мин2 упр.

Главное

ОУ вместе с R и C воспроизводит характеристику любого RLC-фильтра — это и есть активный фильтр.
КОС превращает нагрузку $Z$ в $- Z$ ; гиратор — в $R^{2} / Z$ , так что конденсатор выглядит как индуктивность $L = C R^{2}$ .
Фильтр Саллена — Ки: подтягивая средний узел к выходу, усилитель обостряет излом двух RC-цепочек.

Усилитель с обратной связью способен изобразить то, чего нет в наборе пассивных деталей, — например, отрицательное сопротивление или индуктивность без провода. Фильтр, в котором такой фокус выполняет ОУ, называют активным. На практике тип активного фильтра выбирают по тому, что для задачи важнее всего: ровная полоса, крутой переход или одинаковая задержка всех частот. А по назначению различают несколько видов:

ФНЧнижних частот

ФВЧверхних частот

ПФполосовой

РФрежекторный

ВПФвсепропускающий

Φ = constпостоянный сдвиг

Последние два вида кажутся экзотикой, но пригодятся: всепропускающим фильтром выравнивают задержку другого фильтра, а цепь с постоянным сдвигом фазы нужна, например, для получения пары сигналов, сдвинутых на 90°.

Два «невозможных» элемента: КОС и гиратор

Чтобы убедиться, что активная схема действительно может заменить катушку, полезно познакомиться с двумя необычными узлами. Конвертор отрицательного сопротивления (КОС; в англоязычных источниках — NIC) меняет знак нагрузки. Гиратор её «обращает»: большое сопротивление превращает в малое и наоборот. Оба собираются из ОУ, резисторов и конденсаторов, а ведут себя так, будто в схеме есть катушки.

КОС и гиратор рядом

	КОС (NIC)	Гиратор
Что делает с нагрузкой Z	меняет знак: $- Z$	обращает: $R^{2} / Z$
Конденсатор C на выходе	$Z_{вх} = j / (ω C)$ — сдвиг фазы как у катушки	$Z_{вх} = jω C R^{2}$ — полноценная индуктивность
Модуль при росте частоты	уменьшается	растёт, как у катушки
Из чего собран	ОУ и два резистора	два КОС и Т-цепь из резисторов (или двухоперационная схема Антониу — в разделе 5.2)

12345

Конвертор отрицательного сопротивления (КОС) на одном ОУ.

Что здесь что (5)

Вход. отсюда схема выглядит как $Z_{вх} = - Z$
R между входом и выходом. через него входной ток $I$ уходит к выходу ОУ
ОУ. поддерживает одинаковое напряжение на своих входах
R от выхода к «−». вместе с $Z$ определяет выход: $U (1 + R / Z)$
Нагрузка Z. именно её знак и меняет конвертор

Упражнение 5.1.2 вывод

Докажите, что схема выше ведёт себя как отрицательное сопротивление: $Z_{вх} = - Z$ . Затем разберите общий случай: резистор между входом и выходом ОУ равен $R_{1}$ , резистор между выходом и инвертирующим входом — $R_{2}$ . Найдите $Z_{вх}$ и посчитайте его, если $Z$ — резистор 3,3 кОм, $R_{1} = 22$ кОм, $R_{2} = 10$ кОм. Подсказка: приложите ко входу напряжение $U$ и найдите ток, который схема при этом потребляет.

Решение

Пока работает отрицательная обратная связь, ОУ уравнивает свои входы: $U_{-} = U_{+} = U$ . Через $Z$ на общий провод течёт ток $U / Z$ , и взяться ему неоткуда, кроме выхода ОУ через $R_{2}$ (входы ОУ ток не потребляют):

\frac{U _{вых} - U}{R _{2}} = \frac{U}{Z} \Rightarrow U_{вых} = U (1 + \frac{R _{2}}{Z}) .

Ток от источника течёт через

R_{1}

к выходу:

I = \frac{U - U _{вых}}{R _{1}} = - \frac{U R _{2}}{Z R _{1}} \Rightarrow Z_{вх} = \frac{U}{I} = - Z \frac{R _{1}}{R _{2}} .

При

R_{1} = R_{2}

получаем ровно

- Z

. В нашем примере

Z_{вх} = - 3, 3 \cdot 22/10 = - 7, 26

кОм: чем выше напряжение на входе, тем больший ток схема отдаёт обратно в источник.

Важная оговорка про устойчивость. ОУ здесь охвачен сразу двумя связями: отрицательной (через $R_{2}$ на «−») и положительной (через $R_{1}$ и внешнюю цепь на «+»). Схема работает, только пока отрицательная сильнее, то есть пока сопротивление источника на входе мало: $∣ Z_{ист} ∣ < ∣ Z ∣ R_{1} / R_{2}$ . Если подключить источник с большим сопротивлением, ОУ уйдёт в насыщение и там останется.

12345

Гиратор из двух КОС: Т-цепь из R, «−R» и R, нагруженная на Z, и ещё один КОС на входе.

Что здесь что (5)

Входной КОС. меняет знак у всего, что правее: $- Z_{3} = R^{2} / Z$
Первый R. левое плечо Т-цепи
Второй КОС. нагружен на R и потому выглядит как «−R»
Второй R. последовательно с нагрузкой
Нагрузка Z. конденсатор здесь превращается в индуктивность $L = C R^{2}$

Упражнение 5.1.3 вывод

Докажите, что составная схема выше — гиратор, то есть $Z_{вх} = R^{2} / Z$ . Подсказка: двигайтесь справа налево и на каждом шаге записывайте, что «видно» из очередного узла. Затем — практический вопрос: какую индуктивность изобразит такой гиратор с $R = 4, 7$ кОм, нагруженный на конденсатор 47 нФ, и на какой частоте эта «катушка» образует резонанс с конденсатором 22 нФ?

Решение

Правее среднего узла последовательно включены $R$ и $Z$ : $Z_{1} = R + Z$ . От среднего узла вниз стоит второй КОС с нагрузкой $R$ , то есть сопротивление $- R$ . Параллельно:

Z_{2} = (- R) ∥ (R + Z) = \frac{- R ( R + Z )}{- R + R + Z} = - \frac{R ( R + Z )}{Z} .

Добавляем левый резистор:

Z_{3} = R - \frac{R ( R + Z )}{Z} = \frac{RZ - R ^{2} - RZ}{Z} = - \frac{R ^{2}}{Z} .

Входной КОС меняет знак:

Z_{вх} = - Z_{3} = R^{2} / Z

.

Для конденсатора $Z = 1/ (jω C)$ получаем $Z_{вх} = jω C R^{2}$ — чистая индуктивность $L = C R^{2} = 47 \cdot 1 0^{- 9} \cdot (4, 7 \cdot 1 0^{3})^{2} = 1, 04$ Гн. С ёмкостью 22 нФ она резонирует на $f = 1/ (2 π L C) = 1/ (2 π 1, 04 \cdot 2, 2 \cdot 1 0^{- 8}) \approx 1, 05$ кГц. Катушка на 1 Гн для звуковой частоты — увесистый предмет с сердечником; здесь её заменили три ОУ и несколько деталей.

Подведём итог. КОС делает из конденсатора странный элемент: фаза тока у него как у катушки, но модуль сопротивления с ростом частоты падает. Гиратор же даёт настоящую индуктивность:

КОС, нагруженный на конденсатор

Z_{C} = \frac{1}{jω C} \to Z_{вх} = \frac{j}{ω C}

Обозначения:

Z_{C}

Z_{вх}

Гиратор, нагруженный на конденсатор

Z_{вх} = jω C R^{2}, L = C R^{2}

Обозначения:

C

R

L

Раз гиратор превращает конденсатор в индуктивность, ясно и главное: любой LC-фильтр можно повторить без катушек, заменив каждую из них гиратором с конденсатором. Лестница, показанная выше, именно так и переводится в активную форму. На деле подстановка гираторов — лишь один из путей: из неё и из других идей выросло множество схем активных фильтров, и новые варианты продолжают появляться.

Фильтр Саллена — Ки: двухполюсный фильтр на одном повторителе

Самый популярный активный фильтр понять ещё проще — почти без формул. Его называют по фамилиям изобретателей: фильтр Саллена — Ки. Ниже — вариант верхних частот: два конденсатора, два резистора и повторитель с единичным усилением (подойдёт ОУ-повторитель, а в простом случае и эмиттерный повторитель на транзисторе).

12345

Двухполюсный ФВЧ Саллена — Ки на повторителе. Верхний резистор идёт на выход — это и есть следящая связь.

Что здесь что (5)

Первый C. вместе со вторым C образует две RC-цепочки подряд
R к выходу. вся хитрость: этот резистор идёт не на общий провод, а на выход
R на общий провод. резистор второго звена
Повторитель ×1. ОУ-повторитель или даже эмиттерный повторитель
Связь с выхода. растущий выходной сигнал «подтягивает» средний узел

Как работает следящая связь

Низкие частотысигнал на выходе почти нулевой — схема ведёт себя как обычная пассивная цепь
Ближе к срезувыход растёт и через верхний резистор тянет за собой средний узел — это следящая связь
Что в итогеу среднего узла ослабление меньше, излом АЧХ становится острее

Если бы верхний резистор шёл на общий провод, получились бы просто два RC-звена одно за другим со всеми их недостатками. Подтягивая средний узел к выходу, повторитель уменьшает потери как раз в районе частоты среза. Это, конечно, рассуждение «на пальцах»; точный расчёт для этой схемы давно выполнен и сведён в таблицы — им посвящён раздел 5.2.

5.1.4Как описывают фильтр: словарь

≈ 5 мин1 упр.

Главное

В частотной области: полоса пропускания, неравномерность, частота среза $f_{c}$ , переходная область, полоса задерживания.
Фаза тоже важна: одинаковая задержка всех частот означает линейную ФЧХ, $τ_{гр} = - d φ / d ω = const$ .
Во временной области: время нарастания, выброс, звон, время установления.

Прежде чем сравнивать фильтры, договоримся о словах. Термины здесь общепринятые, и ими полно любое техническое описание фильтра — от паспорта на микросхему до программы расчёта.

Частотная область

Основная характеристика фильтра — как его коэффициент передачи зависит от частоты (АЧХ). Ниже — АЧХ типичного ФНЧ; нажмите на номера, чтобы увидеть, где какая часть.

Полоса пропускания — частоты, которые проходят почти без ослабления. Обычно её граница — точка −3 дБ. Но у фильтров с равноволновой характеристикой (с одинаковыми по высоте пульсациями) границей считают частоту, на которой АЧХ выходит вниз из коридора пульсаций.
Неравномерность — размах этих пульсаций внутри полосы пропускания.
Частота среза $f_{c}$ — граница полосы пропускания.
Переходная область — склон между полосой пропускания и полосой задерживания, где сигнал должен быть ослаблен не меньше заданного (скажем, на 40 дБ).

12345

Части АЧХ фильтра нижних частот: полоса пропускания, пульсации, срез, склон, полоса задерживания.

Что здесь что (5)

Полоса пропускания. частоты проходят почти без ослабления; здесь — с пульсациями 2 дБ
Неравномерность. размах пульсаций внутри полосы; у Баттерворта её нет, но есть плавный завал к $f_{c}$
Частота среза $f_{c}$ . граница полосы: точка −3 дБ или выход из коридора пульсаций
Переходная область. склон от полосы пропускания к полосе задерживания; чем круче, тем «умнее» фильтр
Полоса задерживания. задаётся минимальным затуханием, например 40 дБ

Фаза и задержка

Модуль коэффициента передачи — ещё не всё. Фильтр сдвигает фазу выходного сигнала относительно входного, поэтому полностью его описывает комплексная функция $H (s)$ , $s = jω$ . Чем опасен сдвиг фазы? Представьте сигнал, весь спектр которого лежит в полосе пропускания, — например, звуковой импульс. Если низкие частоты фильтр задержит на одно время, а высокие на другое, составляющие на выходе сложатся уже не так, как на входе, и форма импульса исказится, хотя ни одна гармоника не ослаблена. Чтобы этого не было, задержка $τ$ должна быть одной и той же для всех частот, а это значит, что фаза растёт пропорционально частоте:

Линейная фаза — то же, что постоянная задержка

φ (ω) = - ω τ ⟺ τ_{гр} = - \frac{d φ}{d ω} = const

Обозначения:

φ

ω

τ_{гр}

Такой фильтр называют линейно-фазовым. Для контраста — фильтр, который этим свойством не обладает: 8-полюсный фильтр Чебышева. АЧХ у него в полосе почти ровная (с пульсациями), а ФЧХ — заметно изогнутая кривая.

Восьмиполюсный Чебышев (2 дБ): АЧХ в линейном масштабе.

Его фазовая характеристика заметно изогнута — фильтр не линейно-фазовый.

Совет. ФЧХ стройте при линейной шкале частот: линейная фаза тогда выглядит прямой, и любой изгиб сразу заметен.

Временная область

Тот же фильтр можно испытать не синусом, а ступенькой — и смотреть, как выход до неё «добирается». Для схем, через которые идут импульсы, перепады и отсчёты, это даже нагляднее. Ниже — типичная реакция ФНЧ на ступеньку; на ней отмечены основные параметры:

время нарастания — за какое время выход доходит до 90 % конечного значения (часто считают интервал от 10 до 90 %);
время установления — после какого момента выход входит в заданный коридор вокруг конечного значения (±1 % или ±0,1 %) и уже не выходит из него;
выброс и звон — проскакивание выше конечного значения и затухающие колебания вокруг него; их желательно иметь поменьше.

1234

Отклик ФНЧ на ступеньку (Чебышев 4-го порядка, 0,5 дБ): нарастание, выброс, звон и установление.

Что здесь что (4)

Нарастание. время до 90 % конечного значения (иногда — от 10 до 90 %)
Выброс. превышение над конечным значением; у Чебышева — десятки процентов
Звон (пульсации). затухающие колебания после выброса — разные частоты задерживаются по-разному
Установление. время, после которого сигнал входит в окрестность ±1 % (±0,1 %) и больше её не покидает

Два взгляда на один фильтр

	Частотная область	Временная область
Чем испытываем	синусами разных частот	ступенькой или импульсом
Что смотрим	АЧХ, ФЧХ, групповую задержку	нарастание, выброс, звон, установление
Что нормируют	неравномерность, $f_{c}$ , крутизну склона, затухание	время нарастания, выброс в %, время установления до 1 % и 0,1 %

Упражнение 5.1.4

Самодельный логический анализатор на микроконтроллере перед АЦП имеет ФНЧ, чтобы убрать высокочастотный шум. Пользователь жалуется: на фронтах прямоугольных сигналов на экране видны «звон» и всплески, которых в реальном сигнале нет. Какое свойство фильтра нужно улучшить в первую очередь?

Решение

Прямоугольник состоит из множества гармоник. Если фильтр задерживает их одинаково, на выходе они складываются в сглаженный, но не звенящий фронт. Звон и выбросы появляются именно из-за того, что разные гармоники приходят с разной задержкой. Значит, нужна постоянная групповая задержка — фильтр Бесселя (о нём ниже). Ровная АЧХ (Баттерворт) и крутой склон (Чебышев), наоборот, даются ценой заметного звона.

5.1.5Баттерворт, Чебышев, Бессель и другие

≈ 14 мин2 упр.

Главное

За полосой любой фильтр порядка $n$ спадает на $6 n$ дБ/октава; $n$ — число полюсов и примерно число конденсаторов.
Баттерворт — самая ровная полоса, Чебышев — самый крутой переход, Бессель — одинаковая задержка всех частот.
Проектируют от требований: допуск в полосе и затухание на нужной частоте определяют тип и порядок.
Если важна форма импульсов — Бессель; если важна только крутизна — Чебышев или эллиптический.

Как задача ставится на практике? Обычно примерно так: «в полосе до 3 кГц неравномерность не больше 1 дБ, на 6 кГц ослабление не меньше 40 дБ, на ступеньке звон не важен». Из требований выбирают тип фильтра, затем находят минимальный порядок, при котором они выполняются, и только потом — схему.

Порядок проектирования

Требованиядопуск в полосе пропускания, нужное затухание на заданной частоте, поведение во времени
ТипБаттерворт, Чебышев, Бессель или эллиптический
Порядокнаименьшее число полюсов, при котором требования выполнены
Схемана ИНУН, на переменных состояния, биквадратная… — раздел 5.2

С порядком всё просто. Как бы ни был устроен фильтр, далеко за полосой его характеристика спадает на $6 n$ дБ/октава, где $n$ — число полюсов. Каждому полюсу соответствует один реактивный элемент (конденсатор или катушка), так что нужная крутизна вдали от полосы сразу говорит, сколько примерно будет деталей. Скажем, шестиполюсный фильтр гарантирует 36 дБ/октава — независимо от типа.

А вот что происходит около среза — решает тип фильтра. Имея шесть полюсов, можно по-разному распорядиться ими:

сделать полосу как можно ровнее, смирившись с более пологим переходом;
разрешить небольшие пульсации в полосе ради более крутого перехода;
добиться, чтобы все частоты в полосе задерживались одинаково и форма сигнала не искажалась;
минимизировать время нарастания, выброс и время установления.

Для каждого из этих критериев (и их сочетаний) разработаны свои методы расчёта. Три типа встречаются чаще всего: Баттерворт (самая плоская полоса), Чебышев (самый крутой переход) и Бессель (самая ровная задержка). Каждый из них можно сделать ФНЧ, ФВЧ или полосовым и собрать по разным схемам.

Баттерворт: ровно, но мягко

Фильтр Баттерворта оптимизирован под одну цель — чтобы АЧХ в полосе была как можно ровнее. Платит он за это пологим переходом, а фаза у него, как увидим, тоже далека от линейной. Его АЧХ записывается очень просто:

АЧХ фильтра Баттерворта

\frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{1}{1 + ( f / f _{c} ) ^{2 n}}

Обозначения:

n

f_{c}

В нуле частоты у

∣ H ∣^{2}

равны нулю все производные до порядка

2 n - 1

— поэтому его называют «максимально плоским».

При любом порядке на $f_{c}$ ослабление ровно 3 дБ, а далеко за ней — $6 n$ дБ/октава. С ростом $n$ полка становится длиннее и площе, а переход — круче. Характеристика идёт горизонтально почти до $f_{c}$ и лишь там начинает загибаться вниз.

Баттерворт порядков 1, 2, 4, 8 и 16, срез на f = 1: с ростом порядка полка длиннее, обрыв круче.

Чебышев: немного волн ради крутизны

Абсолютно ровная полоса нужна редко. Гораздо чаще требование звучит так: «неравномерность не больше 1 дБ». Раз пульсации в пределах допуска разрешены — почему бы их не использовать? Это и делает фильтр Чебышева: он распределяет допустимые пульсации по всей полосе пропускания, а взамен получает заметно более резкий излом. Задаются двумя числами — порядком и допустимой неравномерностью; чем больше разрешённые пульсации, тем круче переход. АЧХ:

АЧХ фильтра Чебышева

\frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{1}{1 + ε ^{2} C _{n}^{2} ( f / f _{c} )}, C_{n} (x) = {cos (n arccos x), ch (n arch x), ∣ x ∣ \leq 1 x > 1

Обозначения:

C_{n}

ε

f_{c}

$ε^{2} = 0, 122$ пульсации 0,5 дБ

$ε^{2} = 0, 585$ пульсации 2 дБ

$2^{n - 1}$ выигрыш за полосой

Внутри полосы, при $∣ x ∣ \leq 1$ , полином Чебышева качается между −1 и +1 — отсюда пульсации одинаковой высоты. За полосой он растёт как $2^{n - 1} x^{n}$ , то есть в $2^{n - 1}$ раз быстрее, чем $x^{n}$ у Баттерворта. Фазовая характеристика Чебышева, как и Баттерворта, далека от прямой.

Сравним трёх «кандидатов» шестого порядка — Бесселя, Баттерворта и Чебышева с пульсациями 0,5 дБ — и для масштаба цепочку из шести буферизованных RC-звеньев. Видно, что даже Баттерворт несравнимо лучше RC-цепочки, а Чебышев ещё круче.

Шестиполюсные ФНЧ четырёх видов в логарифмическом масштабе.

Те же четыре фильтра при линейных осях.

Модель: Баттерворт, Бессель, Чебышев — АЧХ, переходная, задержка

Почему «плоскость» Баттерворта условна

Сравнение не так однозначно, как кажется. Во-первых, у Баттерворта тоже есть неравномерность — просто сосредоточенная у края полосы в виде плавного завала к $f_{c}$ , тогда как у Чебышева она размазана по полосе. Во-вторых, реальный активный фильтр собран из деталей с допусками, и его характеристика всегда немного отличается от расчётной. График ниже показывает, что происходит с шестиполюсным Баттервортом на ИНУН, если усиление самой добротной секции уйдёт всего на 1 % или 5 %.

Чувствительность к допускам: шестиполюсный Баттерворт на ИНУН, у которого усиление последней секции ушло на 1 % и 5 %.

Ловушка. Уже 1 % ухода усиления в самой добротной секции заметно портит «максимально плоскую» полосу, а 5 % превращают её в настоящие пульсации. Идеальная плоскость существует только в расчёте.

С этой точки зрения Чебышев выглядит разумнее: раз пульсации всё равно будут, пусть они хотя бы работают на крутизну. Его называют равноволновым: по полосе распределено несколько пульсаций равной высоты (их число растёт с порядком). Даже при совсем малых пульсациях — порядка 0,1 дБ — переход у Чебышева намного круче, чем у Баттерворта.

Насколько это экономит детали, хорошо видно на примере. Пусть нужна неравномерность не больше 0,5 дБ и ослабление не меньше 40 дБ на частоте, всего в полтора раза выше границы полосы. Расчёт (тот же, что в упражнении ниже) даёт для Баттерворта 14 полюсов, а для Чебышева — 7.

14полюсов у Баттерворта

7полюсов у Чебышева

Эллиптический фильтр и как задают требования

Логическое продолжение той же мысли — эллиптический фильтр (фильтр Кауэра). Пульсации у него разрешены и в полосе пропускания, и в полосе задерживания: там АЧХ несколько раз падает до нуля (это «нули передачи»), и за счёт этого переход получается самым крутым при данном порядке. Рассчитывать его вручную тяжело, но с программами проектирования фильтров эллиптический фильтр получается так же легко, как Баттерворт.

Удобно рисовать требования к фильтру в виде «коридора»: в полосе пропускания до $f_{пп}$ АЧХ должна оставаться в узкой полосе допуска, начиная с $f_{зд}$ — быть не выше заданного уровня. Любая АЧХ, которая обходит закрашенные области, подходит.

12345

Требования к фильтру в виде коридора: до f_пп усиление в допуске G_пп, начиная с f_зд — не выше G_зд. Годится любая АЧХ, не задевающая закрашенное.

Что здесь что (5)

Коридор допуска $G_{пп}$ . в полосе пропускания АЧХ обязана оставаться в этой узкой щели
Запрещено сверху. усиление не может превышать верхнюю границу допуска
$f_{пп}$ . граница полосы пропускания
$f_{зд}$ . отсюда начинается полоса задерживания
Запрещено в полосе задерживания. здесь усиление должно быть не больше $G_{зд}$ — АЧХ обходит область снизу

Упражнение 5.1.5

Для звуковой карты нужен ФНЧ перед АЦП: неравномерность в полосе пропускания не больше 1 дБ (граница полосы $f_{c}$ ), ослабление не меньше 40 дБ на частоте $2 f_{c}$ . Найдите минимальный порядок фильтра Баттерворта (у которого на $f_{c}$ должно быть не хуже −1 дБ) и фильтра Чебышева с пульсациями 1 дБ.

n Баттерворта =n Чебышева =

Решение

Запишем оба фильтра в общем виде: $∣ H ∣^{2} = 1/ (1 + ε^{2} F^{2} (x))$ , $x = f / f_{c}$ . Чтобы на $x = 1$ было ровно −1 дБ, $ε^{2} = 1 0^{0, 1} - 1 = 0, 2589$ . Ослабление 40 дБ означает $1 + ε^{2} F^{2} \geq 1 0^{4}$ , то есть $F \geq 9999/0, 2589 = 196, 5$ .

Баттерворт: $F = x^{n}$ , нужно $2^{n} \geq 196, 5$ , $n \geq ln 196, 5/ ln 2 = 7, 62$ → $n = 8$ .

Чебышев: $F = ch (n arch x)$ ; $arch 2 = 1, 317$ , $arch 196, 5 = 5, 974$ , $n \geq 4, 54$ → $n = 5$ .

Пять полюсов против восьми: на ИНУН это три ОУ вместо четырёх и пять конденсаторов вместо восьми.

Бессель: форма важнее крутизны

Вернёмся к фазе. Фильтр с самой плоской АЧХ может давать большие фазовые искажения, и импульс через него пройдёт со звоном. Если форма сигнала важнее всего, нужен линейно-фазовый фильтр, то есть фильтр с одинаковой задержкой всех составляющих в полосе пропускания.

Такой фильтр — фильтр Бесселя (его ещё называют фильтром Томсона). Он делает для задержки то же, что Баттерворт для АЧХ: кривая групповой задержки у него максимально плоская.

Передаточная функция фильтра Бесселя

H (s) = \frac{θ _{n} ( 0 )}{θ _{n} ( s )}; n = 2 : H = \frac{3}{s ^{2} + 3 s + 3}

Обозначения:

θ_{n}

s

Выигрыш хорошо виден на графике групповой задержки двух шестиполюсных ФНЧ. У Бесселя задержка постоянна почти до частоты среза. У Баттерворта перед срезом задержка вырастает горбом — те частоты, что у края полосы, запаздывают сильнее, и именно этот горб даёт выброс на импульсах. Но у Бесселя своя цена: переход от полосы пропускания к полосе задерживания у него ещё положе, чем у Баттерворта.

Групповая задержка двух шестиполюсных ФНЧ: у Бесселя она ровная почти до f_c, у Баттерворта перед срезом вырастает горб.

Поэтому придуманы компромиссные варианты, которые жертвуют частью постоянства задержки ради более быстрого нарастания и лучшей АЧХ:

фильтр Гаусса — фазовые свойства почти как у Бесселя, а переходная характеристика лучше;
фильтры с равноволновой задержкой — задержка колеблется в пределах заданного допуска (как АЧХ Чебышева), зато остаётся почти постоянной до самой полосы задерживания;
всепропускающие фильтры-корректоры: ставятся после основного фильтра, АЧХ не меняют, а фазу изгибают так, чтобы суммарная задержка стала ровной. Так можно «выпрямить» даже Баттерворта или Чебышева.

Сводное сравнение

Итак, во временной области Бессель вне конкуренции; Чебышев, при всей красоте своей АЧХ, ведёт себя хуже всех; Баттерворт — посередине. Таблица и график ниже дают точные числа для четырёх типов разных порядков: время нарастания, выброс, время установления и ослабление на удвоенной и десятикратной частоте среза.

Четыре классических типа

	Бессель	Баттерворт	Чебышев	Эллиптический
Что оптимизирует	ровность задержки	ровность АЧХ	крутизну перехода	крутизну — ещё сильнее
Полоса пропускания	плавный завал	максимально ровная	пульсации одной высоты	пульсации
Переход к задерживанию	самый пологий	средний	крутой	самый крутой (нули АЧХ)
Выброс на ступеньке (n = 6)	0,6 %	14 %	21 % (0,5 дБ)	—
Когда выбирать	важна форма сигнала	нужен компромисс	важна избирательность	жёсткие нормы на АЧХ

Временные и частотные свойства ФНЧ четырёх типов (расчёт по нормированным прототипам; времена даны для f_c = 1 Гц — для другой частоты делите их на f_c в герцах).
Фильтр	n	Нарастание 0→90 %, с	Выброс, %	Установление до 1 %, с	до 0,1 %, с	Ослабление на 2f_c, дБ	на 10f_c, дБ
Бессель −3 дБ на 1 Гц	2	0,41	0,4	0,58	1,1	10	36
	4	0,52	0,8	0,64	1,2	13	66
	6	0,61	0,6	0,72	1,2	14	92
	8	0,68	0,3	0,79	1,1	14	114
Баттерворт −3 дБ на 1 Гц	2	0,42	4,3	1,1	1,6	12	40
	4	0,63	11	1,7	2,7	24	80
	6	0,85	14	2,7	3,9	36	120
	8	1,07	16	3,5	5,1	48	160
Чебышев 0,5 дБ граница пульсаций на 1 Гц	2	0,30	11	1,1	1,6	8	36
	4	0,67	18	3,0	5,4	30	88
	6	1,03	21	5,9	10	53	140
	8	1,38	23	8,3	17	76	192
Чебышев 2 дБ граница пульсаций на 1 Гц	2	0,35	21	1,5	2,7	13	42
	4	0,72	29	4,8	8,4	35	94
	6	1,07	32	8,6	16	58	146
	8	1,42	34	11,5	25	81	198

Отклик на ступеньку шестиполюсных ФНЧ (срез −3 дБ на 1 Гц; у Чебышева на 1 Гц — край коридора пульсаций).

Правило. Если через фильтр идут импульсы, ступеньки или отсчёты для АЦП, начинайте с фильтра Бесселя.

Упражнение 5.1.6

Регистратор вибраций оцифровывает сигнал акселерометра. Перед АЦП стоит шестиполюсный ФНЧ с $f_{c} = 5$ кГц. После резкого удара (ступенька на входе) уже через 0,3 мс отсчёт должен отличаться от установившегося значения не больше чем на 0,1 %. По таблице выше найдите время установления до 0,1 % для фильтров Бесселя и Баттерворта и решите, какой из них подходит.

t_уст Бесселя =мсt_уст Баттерворта =мс

Решение

Таблица составлена для $f_{c} = 1$ Гц; времена обратно пропорциональны частоте среза: $t = t_{1} / f_{c}$ .

Бессель: $1, 2 с /5000 = 0, 24$ мс — укладывается в 0,3 мс.

Баттерворт: $3, 9 с /5000 = 0, 78$ мс — не укладывается: после выброса 14 % его звон затухает слишком медленно. Выбираем Бесселя и помним, что за полосой он подавляет хуже: на $2 f_{c}$ около 14 дБ против 36 дБ у Баттерворта.