5.2. Как строить активные фильтры — курс «Схемотехника»

5.2.1Секция на ИНУН

≈ 6 мин1 упр.

Главное

Секция ИНУН — это схема Саллена — Ки, где повторитель заменён неинвертирующим усилителем с $K > 1$ .
При равных R и C: $f_{0} = 1/ (2 π RC)$ , $Q = 1/ (3 - K)$ ; частоту задают R и C, добротность — только усиление.
Слабое место — чувствительность: $d Q / Q = \frac{K}{3 - K} \cdot d K / K$ ; при $K \geq 3$ секция возбуждается.

Возьмём фильтр Саллена — Ки из предыдущего раздела и заменим повторитель неинвертирующим усилителем с усилением $K > 1$ . Получится секция на ИНУН (её ещё называют фильтром с управляемым источником). Ниже — три её варианта: нижних частот, верхних частот и полосовой. Пара резисторов $(K - 1) R$ и $R$ у ОУ задаёт усиление $K = 1 + (K - 1) R / R$ , а остальные резисторы и конденсаторы — частотные свойства.

Одна секция даёт два полюса. Подбирая номиналы, её превращают в звено Баттерворта, Бесселя, Чебышева. Для фильтра более высокого порядка секции ставят одну за другой — но не одинаковые: каждая реализует свой квадратичный сомножитель знаменателя передаточной функции.

123456

Секция ИНУН нижних частот.

Что здесь что (6)

$R_{1}$ . вход — узел A; вместе с $R_{2}$ и конденсаторами задаёт частоту
$C_{1}$ к выходу. следящая связь: нижний конец конденсатора «едет» за выходом
$R_{2}$ . от узла A к неинвертирующему входу (узел B)
$C_{2}$ на землю. второй полюс секции
ОУ с усилением K. неинвертирующий усилитель — «источник напряжения, управляемый напряжением»
$(K - 1) R$ и $R$ . задают усиление $K = 1 + (K - 1) R / R$ , а значит, и добротность $Q = 1/ (3 - K)$

Секция ИНУН верхних частот: R и C поменялись местами.

Полосовая секция ИНУН.

ФНЧ с одинаковыми деталями

Самый удобный вариант — когда оба резистора одинаковы ( $R_{1} = R_{2} = R$ ) и оба конденсатора тоже ( $C_{1} = C_{2} = C$ ). Обозначим $ω_{0} = 1/ RC$ . Вывод передаточной функции короткий (раскройте, если интересно), а результат удивительно прост.

вывод передаточной функции секции ИНУН

Обозначим A — узел между резисторами, B — вход «+» ОУ; $U_{B} = U_{вых} / K$ . Через $R_{2}$ и $C_{2}$ течёт один и тот же ток:

U_{A} = U_{B} (1 + s RC) .

Уравнение токов для узла A (приходит из источника через

R_{1}

, уходит в

R_{2}

и через

C_{1}

к выходу):

\frac{U _{вх} - U _{A}}{R} = \frac{U _{A} - U _{B}}{R} + s C (U_{A} - K U_{B}) .

Подставим

U_{A}

и обозначим

p = s RC

:

\frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{K}{p ^{2} + ( 3 - K ) p + 1} .

Сравнение со стандартной формой

K / (p^{2} + p / Q + 1)

при

p = s / ω_{0}

даёт результат ниже.

Секция ИНУН с равными R и C

\frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{K}{p ^{2} + ( 3 - K ) p + 1}, f_{0} = \frac{1}{2 π RC}, Q = \frac{1}{3 - K}

Обозначения:

p

K

f_{0}

Q

Для ФВЧ, где R и C поменяны местами, получается то же выражение с

p^{2}

в числителе.

Красиво: частота определяется только произведением RC, добротность — только усилением. При $K = 3$ добротность обращается в бесконечность, а при $K > 3$ полюсы переходят в правую полуплоскость, и секция превращается в генератор.

Отсюда и её слабость. Если нужна высокая добротность, $K$ приходится ставить близко к 3, и тогда малейший уход усиления сильно меняет $Q$ :

Чувствительность добротности к усилению

\frac{d Q}{Q} = \frac{K}{3 - K} \cdot \frac{d K}{K}

Обозначения:

d Q / Q

d K / K

Добротность секции ИНУН и её чувствительность к усилению. Возле K = 3 обе кривые уходят в бесконечность: 1 % ухода K даёт 18 % ухода Q уже при Q = 6,5.

Модель: секция на ИНУН — частота, добротность, чувствительность

Упражнение 5.2.1

Средняя секция шестиполюсного ФНЧ Чебышева с пульсациями 2 дБ на ИНУН с равными элементами имеет $K = 2, 648$ . Резисторы, задающие усиление, взяты с допуском 2 %, и в худшем случае $K$ вырастет на 2 %. Оцените линейно, на сколько процентов изменится добротность, затем найдите номинальную добротность и добротность при $K$ , увеличенном на 2 %.

ΔQ/Q (линейно) =%Q ном =Q при K +2 % =

Подсказка

Добротность секции

Q = 1/ (3 - K)

.

Решение

Линейная оценка: $d Q / Q = \frac{K}{3 - K} \cdot \frac{d K}{K} = \frac{2 , 648}{0 , 352} \cdot 2 % = 15, 0 %$ .

Точный расчёт: $Q_{ном} = 1/ (3 - 2, 648) = 2, 84$ . При $K = 2, 648 \cdot 1, 02 = 2, 701$ получаем $3 - K = 0, 299$ , $Q = 3, 34$ — на 17,7 % больше. Зависимость нелинейна: чем ближе $K$ к 3, тем сильнее реальный уход превышает линейную оценку. Последняя секция того же фильтра ( $K = 2, 904$ ) при уходе усиления на 4 % вверх уже перешла бы порог $K = 3$ и стала генератором.

Вывод для практики: в фильтрах на ИНУН высокого порядка резисторы усиления берут с допуском 1 % и точнее, а в самых добротных секциях часто ставят подстроечный резистор.

5.2.2Расчёт фильтра на ИНУН по таблице

≈ 10 мин2 упр.

Главное

Фильтр порядка $n$ (чётного) — это $n /2$ секций ИНУН с $R_{1} = R_{2} = R$ , $C_{1} = C_{2} = C$ ; усиления $K$ — из таблицы.
Баттерворт: у всех секций $RC = 1/ (2 π f_{c})$ ; Бессель и Чебышев: у каждой своё $RC = 1/ (2 π f_{n} f_{c})$ .
ФВЧ: R и C меняются местами, $f_{n} \to 1/ f_{n}$ ; секции ставят по возрастанию добротности.

Расчёт фильтра на ИНУН с одинаковыми деталями сводится к таблице ниже. Она годится для трёх типов, и сначала нужно решить, какой нужен вам:

ровная полоса без пульсаций — Баттерворт;
самый резкий переход к полосе задерживания, пульсации допустимы — Чебышев;
чистая переходная характеристика и одинаковая задержка всех частот — Бессель.

АЧХ всех трёх при разных порядках показаны ниже, после таблицы.

Расчёт по таблице за шесть шагов

Тип и порядокпо требованиям; порядок $n$ берём чётным
Число секций $n /2$ секций ИНУН, в каждой $R_{1} = R_{2} = R$ , $C_{1} = C_{2} = C$
Сопротивление Rв пределах 10–100 кОм, как обычно для схем на ОУ
Усиления K $n /2$ строк таблицы для своего $n$ ; резистор обратной связи $R_{ос} = (K - 1) R_{0}$
Произведение RCБаттерворт: $1/ (2 π f_{c})$ ; Бессель и Чебышев: $1/ (2 π f_{n} f_{c})$
Порядок секцийпо росту добротности — самая добротная последней

Нечётные порядки здесь не рассматриваем: фильтр нечётного порядка требует столько же ОУ, сколько фильтр на единицу большего, так что выгоды от него мало. Итак, для $n$ -полюсного фильтра берём $n /2$ секций, в каждой резисторы и конденсаторы попарно равны, а усиление секции $K$ читаем в таблице — для каждого порядка в ней ровно $n /2$ строк.

Ловушка. Сопротивления берите от 10 до 100 кОм. При меньших сказывается выходное сопротивление ОУ: на высоких частотах оно растёт (петлевое усиление падает) и добавляется к резисторам, искажая характеристику.

Коэффициенты для ФНЧ на ИНУН с попарно равными R и C: усиления секций K и множители f_n (получены из полюсов прототипов, K = 3 − 1/Q). Секции перечислены по возрастанию добротности.
n	Баттерворт: K	Бессель: f_n	K	Чебышев 0,5 дБ: f_n	K	Чебышев 2 дБ: f_n	K
2	1,586	1,272	1,268	1,231	1,842	0,907	2,114
4	1,152	1,430	1,084	0,597	1,582	0,471	1,924
	2,235	1,603	1,759	1,031	2,660	0,964	2,782
6	1,068	1,604	1,040	0,396	1,537	0,316	1,891
	1,586	1,689	1,364	0,768	2,448	0,730	2,648
	2,482	1,905	2,023	1,011	2,846	0,983	2,904
8	1,038	1,778	1,024	0,297	1,522	0,238	1,879
	1,337	1,832	1,213	0,599	2,379	0,572	2,605
	1,889	1,953	1,593	0,861	2,711	0,842	2,821
	2,610	2,189	2,184	1,006	2,913	0,990	2,946

откуда берутся числа в таблице

Каждой паре полюсов нормированного прототипа $p_{k}$ соответствует секция с $f_{n} = ∣ p_{k} ∣$ и $Q = ∣ p_{k} ∣/ (2∣ Re p_{k} ∣)$ ; усиление секции $K = 3 - 1/ Q$ . Полюсы Баттерворта лежат на единичной окружности под углами $θ_{k} = π (2 k - 1) / (2 n)$ к мнимой оси, поэтому $Q_{k} = 1/ (2 sin θ_{k})$ . Например, при $n = 2$ получаем $Q = 0, 7071$ и $K = 3 - 2 = 1, 586$ .

ФНЧ Баттерворта

Проще всего с Баттервортом: у всех его секций одно и то же произведение RC.

Баттерворт: одинаковое RC во всех секциях

RC = \frac{1}{2 π f _{c}}

Обозначения:

f_{c}

Шестиполюсный Баттерворт, например, — это три секции с усилениями 1,068, 1,586 и 2,482 и общими R и C, выбранными по частоте среза. Для $f_{c} = 1$ кГц подойдут $R = 15, 9$ кОм и $C = 10$ нФ во всех шести местах. Порядок секций лучше соблюдать: последняя, самая добротная, даёт подъём АЧХ около своего резонанса. Если поставить её первой, сигнал на этих частотах вырастет и может перегрузить ОУ; в конце же цепочки он к этому моменту уже ослаблен предыдущими секциями.

Шестиполюсный Баттерворт: в каком порядке секции

K = 1,068

K = 1,586

K = 2,482

ФНЧ Бесселя и Чебышева

Эти фильтры рассчитываются почти так же: каскад секций ИНУН с усилениями из таблицы, в каждой секции резисторы и конденсаторы попарно равны. Разница одна: произведение RC у каждой секции своё, его задаёт нормирующий множитель $f_{n}$ из той же таблицы.

Бессель и Чебышев: своё RC в каждой секции

RC = \frac{1}{2 π f _{n} f _{c}}

Обозначения:

f_{n}

f_{c}

Обратите внимание, что означает $f_{c}$ . У Бесселя это обычная точка −3 дБ. У Чебышева — граница полосы пропускания, то есть частота, на которой АЧХ в последний раз опускается до нижнего края коридора пульсаций и уходит вниз.

Пример: ФНЧ Чебышева с пульсациями 0,5 дБ и $f_{c} = 1$ кГц в полосе от нуля до 1 кГц колеблется между 0 и −0,5 дБ, на самой частоте 1 кГц ослабляет ровно на 0,5 дБ, а дальше быстро спадает. В таблице приведены Чебышевы с пульсациями 0,5 и 2 дБ; второй спадает чуть круче, что видно и на графиках.

Баттерворт порядков 2–8 (−3 дБ на f = 1).

Бессель порядков 2–8 (−3 дБ на f = 1).

Чебышев 0,5 дБ (на f = 1 — край коридора пульсаций).

Чебышев 2 дБ — спад ещё чуть круче.

Фильтры верхних частот

ФВЧ получают из той же секции, поменяв местами резисторы и конденсаторы (средняя схема в начале раздела).

У Баттерворта больше ничего не меняется: те же R, C и K.
У Бесселя и Чебышева усиления K остаются прежними, а нормирующий множитель обращается: $f_{n}^{'} = 1/ f_{n}$ , то есть $RC = f_{n} / (2 π f_{c})$ .

(Переход ФНЧ → ФВЧ — это подстановка $p \to 1/ p$ : частоты полюсов секций зеркально отражаются относительно $f_{c}$ , а их добротности сохраняются.)

Полосовые и режекторные

Полосовой фильтр можно собрать из ФВЧ и ФНЧ с перекрывающимися полосами, поставив их один за другим, а режекторный — сложив выходы ФВЧ и ФНЧ, полосы которых не перекрываются. Для широких полос это работает. Но если нужна узкая полоса с крутыми краями (высокая добротность), такая конструкция плоха: её секции по отдельности слишком чувствительны к номиналам.

Для узкой полосы лучше взять одну высокодобротную полосовую секцию — полосовой ИНУН (третья схема в начале раздела) или, ещё лучше, биквадратный фильтр либо фильтр на переменных состояния (о них — ниже). Даже одна двухполюсная секция способна дать очень острый пик.

ИНУН: итог

	Достоинства	Недостатки
ИНУН	минимум деталей (один ОУ на два полюса); неинвертирующее усиление; низкое выходное сопротивление; небольшой разброс номиналов внутри секции; усиление легко регулировать; допускает большое усиление и высокую добротность	сильная чувствительность к номиналам и к усилению; плохо подходит для перестраиваемых фильтров с устойчивой характеристикой

Упражнение 5.2.2

В кардиомонитор нужен ФНЧ Бесселя 4-го порядка на ИНУН с частотой −3 дБ $f_{c} = 150$ Гц — он должен срезать шум, не исказив формы зубцов ЭКГ. Во всех секциях $C = 47$ нФ. Найдите R обеих секций (в порядке таблицы), их усиления K и ослабление фильтра на частоте 500 Гц.

R секции 1 =кОмR секции 2 =кОмK секции 2 =Ослабление =дБ

Решение

Из таблицы (Бессель, $n = 4$ ): $f_{n} = 1, 430$ и $1, 603$ , $K = 1, 084$ и $1, 759$ .

$R = 1/ (2 π f_{n} f_{c} C)$ : $1/ (2 π \cdot 1, 430 \cdot 150 \cdot 4, 7 \cdot 1 0^{- 8}) = 15, 8$ кОм и $1/ (2 π \cdot 1, 603 \cdot 150 \cdot 4, 7 \cdot 1 0^{- 8}) = 14, 1$ кОм (из ряда E96 — 15,8 и 14,0 кОм).

Резисторы обратной связи при $R_{0} = 10$ кОм: $R_{ос} = (K - 1) R_{0} = 0, 84$ кОм и 7,59 кОм; общее усиление в полосе $1, 084 \cdot 1, 759 = 1, 91$ .

Ослабление на 500 Гц ( $x = 3, 33$ ) найдём по секциям: $∣ H_{k} ∣ = 1/ (1 - u^{2})^{2} + (u / Q)^{2}$ , $u = x / f_{n}$ . Для первой секции $u = 2, 33$ , $Q = 0, 522$ : $∣ H_{1} ∣ = 0, 159$ ; для второй $u = 2, 08$ , $Q = 0, 806$ : $∣ H_{2} ∣ = 0, 238$ . Итого $0, 0378$ , то есть 28,5 дБ. Мягко, зато без выброса на фронтах.

Упражнение 5.2.3

Проигрыватель грампластинок даёт инфразвуковой «рокот» — ниже 20 Гц его нужно подавить. Рассчитайте ФВЧ Баттерворта 6-го порядка на ИНУН с частотой среза 20 Гц и $C = 100$ нФ во всех позициях: найдите R частотозадающих резисторов и резисторы обратной связи $R_{ос} = (K - 1) R_{0}$ при $R_{0} = 10$ кОм для трёх секций.

R =кОмR_ос1 =кОмR_ос2 =кОмR_ос3 =кОм

Решение

У Баттерворта ФВЧ отличается от ФНЧ только перестановкой R и C, все $f_{n} = 1$ : $R = 1/ (2 π \cdot 20 \cdot 1 0^{- 7}) = 79, 6$ кОм (из ряда — 78,7 или 80,6 кОм).

Усиления секций — 1,068, 1,586 и 2,482: $R_{ос} = 0, 068 \cdot 10 = 0, 68$ кОм, $0, 586 \cdot 10 = 5, 86$ кОм и $1, 482 \cdot 10 = 14, 82$ кОм. Первой ставим секцию с наименьшей добротностью. На 10 Гц такой фильтр ослабит рокот на 36 дБ, а на 40 Гц почти не тронет музыку.

5.2.3Фильтры на переменных состояния и биквадратные

≈ 13 мин3 упр.

Главное

Сумматор и два интегратора решают уравнение $\overset{y}{¨} + (ω_{0} / Q) \overset{y}{˙} + ω_{0}^{2} y = ω_{0}^{2} x$ — сразу три выхода: ФВЧ, ПФ и ФНЧ.
Схема устойчива, легко настраивается, перестраивается по частоте при неизменной Q и выпускается готовыми ИС (AF100, UAF).
Биквадратный фильтр: $f_{0} = 1/ (2 π R_{F} C)$ , $B W = 1/ (2 π R_{B} C)$ , $G = R_{B} / R_{G}$ — перестройка при постоянной полосе.

Подойдём к фильтру с неожиданной стороны. Любой фильтр второго порядка описывается дифференциальным уравнением $\overset{y}{¨} + (ω_{0} / Q) \overset{y}{˙} + ω_{0}^{2} y = ω_{0}^{2} x$ . А интегрировать и складывать умеют ОУ. Значит, уравнение можно буквально «собрать»: сумматор вычисляет вторую производную $\overset{y}{¨}$ из входа и двух обратных связей, первый интегратор делает из неё $\overset{y}{˙}$ , второй — саму $y$ . Это и есть фильтр на переменных состояния; ниже — его схема (по структуре готовой ИС AF100).

Схема как решатель уравнения

Σ сумматор

∫ интегратор 1

∫ интегратор 2

Вторая производная, первая производная и сама функция — это одновременно выходы ФВЧ, полосового и ФНЧ. Схема сложнее ИНУН (три ОУ на два полюса), но её широко применяют за стабильность и простоту настройки. Её выпускают готовыми микросхемами (AF100 и AF150 фирмы National, серия UAF фирмы Burr-Brown и др.): внутри есть всё, кроме резисторов $R_{G}$ , $R_{Q}$ и двух $R_{F}$ .

Чем она хороша:

одна схема — три вида фильтра, нужно только выбрать выход;
частоту можно перестраивать, сохраняя добротность (или, при другом включении, ширину полосы);
для высших порядков секции, как и у ИНУН, ставят одну за другой;
изготовители публикуют формулы и таблицы внешних резисторов для Баттерворта, Бесселя и Чебышева разных порядков — для ФНЧ, ФВЧ, полосовых и режекторных фильтров;
конденсаторы уже внутри: снаружи только резисторы.

1234567

Фильтр на переменных состояния по структуре ИС AF100: сумматор и два интегратора дают сразу три выхода — верхних частот, полосовой и нижних частот.

Что здесь что (7)

$R_{G}$ . входной резистор: вместе с $R_{Q}$ задаёт усиление и добротность
Сумматор. складывает вход и обе обратные связи; его выход — вторая производная (ФВЧ)
$R_{F}$ первого интегратора. пара $R_{F}$ задаёт центральную частоту: $R_{F} = 5, 03 \cdot 1 0^{7} / f_{0}$
Интегратор 1. выход — первая производная: полосовой выход (ПФ)
Интегратор 2. выход — сама функция: ФНЧ
$R_{Q}$ . задаёт добротность
Обратная связь с ФНЧ. 100 кОм — внутри ИС, вместе с конденсаторами 1000 пФ

Полосовой фильтр на переменных состояния

Для высокодобротных полосовых фильтров эта схема — лучшая, несмотря на число деталей: она мало чувствительна к номиналам, нетребовательна к полосе ОУ и проста в настройке. В полосовом включении пара резисторов $R_{F}$ задаёт центральную частоту, а $R_{Q}$ и $R_{G}$ вместе — добротность и усиление на центральной частоте. Для AF100 (внутри конденсаторы 1000 пФ и резисторы 10 и 100 кОм) расчётные формулы такие:

Полосовой фильтр на AF100

R_{F} = \frac{5 , 03 \cdot 1 0 ^{7}}{f _{0}} Ом, R_{Q} = \frac{1 0 ^{5}}{3 , 48 Q + G - 1} Ом, R_{G} = \frac{3 , 16 \cdot 1 0 ^{4} Q}{G} Ом

Обозначения:

f_{0}

Q

G

Число

5, 03 \cdot 1 0^{7} = 0, 1 / (2 π \cdot 1 0^{- 9})

получается из ёмкости интеграторов 1000 пФ и множителя

10 кОм /100 кОм

, который вносит сумматор.

Из формул видно практическое следствие: если вместо двух $R_{F}$ поставить сдвоенный потенциометр, получится фильтр, перестраиваемый по частоте при постоянной добротности. Переменный $R_{Q}$ даёт обратное — частота стоит, добротность регулируется (правда, вместе с ней меняется и усиление).

Упражнение 5.2.4

Анализатор спектра звука в виде линейки полосовых фильтров: одна из его полос — на 800 Гц с добротностью 8 и усилением 4 на центральной частоте. Рассчитайте внешние резисторы для фильтра на переменных состояния типа AF100.

R_F =кОмR_Q =кОмR_G =кОм

Решение

$R_{F} = 5, 03 \cdot 1 0^{7} /800 = 62, 9$ кОм (два одинаковых);

$R_{Q} = 1 0^{5} / (3, 48 \cdot 8 + 4 - 1) = 1 0^{5} /30, 84 = 3, 24$ кОм;

$R_{G} = 3, 16 \cdot 1 0^{4} \cdot 8/4 = 63, 2$ кОм.

Ширина полосы $f_{0} / Q = 100$ Гц. Для соседней полосы на 1600 Гц с той же добротностью достаточно поменять только $R_{F}$ (31,4 кОм) — $R_{Q}$ и $R_{G}$ от частоты не зависят.

Неудобство полосового включения в том, что $R_{Q}$ влияет и на добротность, и на усиление. Это исправляет модификация с четвёртым ОУ — инвертирующим сумматором на входе. Тогда ширину полосы (то есть $Q$ ) можно менять, не трогая усиления в полосе. Центральная частота, добротность и усиление задаются каждый одним своим резистором и друг от друга не зависят:

Три резистора — три независимые ручки

f_{0} = \frac{1}{2 π R _{F} C}, Q = \frac{R}{R _{Q}}, G = \frac{R}{R _{G}}, R \approx 10 кОм

Обозначения:

R_{F}

R_{Q}

R_{G}

R

1234

Полосовой фильтр, где усиление и добротность регулируются независимо: четвёртый ОУ складывает вход (через R_G) и выход ПФ (через R_Q); в блоке — сумматор и два интегратора с R_F и C.

Что здесь что (4)

$R_{G}$ . задаёт усиление: $G = R / R_{G}$
Четвёртый ОУ. инвертирующий сумматор входа и выхода ПФ
Фильтр на переменных состояния. три ОУ: сумматор и два интегратора с $R_{F}$ и C — частота $f_{0} = 1/ (2 π R_{F} C)$
$R_{Q}$ . задаёт добротность: $Q = R / R_{Q}$ — не трогая усиления

Биквадратный фильтр

Близкий родственник — биквадратный фильтр. В нём тоже три ОУ (собрать его можно на той же ИС), но соединены они иначе: «утечный» интегратор (резистор $R_{B}$ параллельно конденсатору), инвертор и обычный интегратор. Его особенность ценна для перестраиваемых фильтров: при изменении частоты резистором $R_{F}$ остаётся постоянной не добротность, а ширина полосы в герцах. Формулы:

Биквадратный полосовой фильтр

f_{0} = \frac{1}{2 π R _{F} C}, B W = \frac{1}{2 π R _{B} C}, G = \frac{R _{B}}{R _{G}}

Обозначения:

R_{F}

R_{B}

R_{G}

Добротность

Q = f_{0} / B W = R_{B} / R_{F}

. Меняя

f_{0}

резистором

R_{F}

, мы меняем

Q

пропорционально, а ширина полосы

Δ f

остаётся прежней.

123456

Биквадратный полосовой фильтр: интегратор с утечкой (R_B‖C), инвертор и интегратор в одной петле.

Что здесь что (6)

$R_{G}$ . задаёт усиление на центральной частоте: $G = R_{B} / R_{G}$
$R_{B}$ . «утечка» интегратора — задаёт ширину полосы $B W = 1/ (2 π R_{B} C)$
Утечный интегратор. $R_{B}$ параллельно C
Инвертор. 10 кОм / 10 кОм; его усиление можно поднять, чтобы ослабить требования к ОУ
Интегратор. с $R_{F}$ — задаёт центральную частоту $f_{0} = 1/ (2 π R_{F} C)$
Второй $R_{F}$ . замыкает петлю с выхода на вход сумматора

Если вы собираете биквадратный фильтр из отдельных ОУ (а не берёте ИС активного фильтра, где почти всё уже есть), действуйте так:

Расчёт биквадратного фильтра

ОУчастота единичного усиления $f_{T}$ — хотя бы в 10–20 раз больше произведения $Q f_{0}$
Конденсаторближайший стандартный к $C = 10/ f_{0}$ мкФ ( $f_{0}$ в герцах)
$R_{F}$ из центральной частоты (первая формула)
$R_{B}$ из ширины полосы (вторая формула)
$R_{G}$ из усиления на центральной частоте (третья формула)

Совет. Если сопротивления получились неудобными — слишком большими или слишком малыми, — возьмите другой конденсатор. В высокодобротном фильтре конденсатор увеличивают, чтобы

R_{B}

не вырос до мегаомов (или заменяют

R_{B}

Т-образной резистивной цепью, которая изображает большое сопротивление).

Ловушка. Каждый из резисторов

R_{F}

,

R_{B}

и

R_{G}

нагружает выход ОУ, поэтому делать их меньше примерно 5 кОм не стоит.

Требование к скорости ОУ можно смягчить: уменьшить усиление интегратора (увеличив $R_{F}$ ) и на столько же поднять усиление инвертора (его резистор обратной связи, 10 кОм на схеме).

Пример для разминки: нужен фильтр на 3 кГц с полосой 100 Гц (то есть $Q = 30$ ) и усилением 4. По правилу $C \approx 10/ f_{0}$ мкФ $= 3, 3$ нФ; тогда:

16,1 кОм

R_{F}

482 кОм

R_{B}

121 кОм

R_{G}

Модель: расчёт биквадратного полосового фильтра

Упражнение 5.2.5

Для детектора тона в охранной сигнализации нужен биквадратный полосовой фильтр: $f_{0} = 600$ Гц, полоса $B W = 15$ Гц, усиление на центральной частоте $G = 2$ . По правилу $10/ f_{0}$ мкФ ближайший конденсатор — 15 нФ. Найдите $R_{F}$ , $R_{B}$ , $R_{G}$ и минимальную частоту единичного усиления ОУ по правилу «в 10 раз больше $Q f_{0}$ ». Затем пересчитайте резисторы для $C = 47$ нФ и решите, какой вариант удобнее.

R_F =кОмR_B =кОмR_G =кОмf_T =МГц

Решение

$R_{F} = 1/ (2 π \cdot 600 \cdot 15 \cdot 1 0^{- 9}) = 17, 7$ кОм; $R_{B} = 1/ (2 π \cdot 15 \cdot 15 \cdot 1 0^{- 9}) = 707$ кОм; $R_{G} = R_{B} / G = 354$ кОм.

$Q = f_{0} / B W = 40$ ; $f_{T} \geq 10 \cdot 40 \cdot 600 = 240$ кГц — подойдёт почти любой ОУ (с запасом лучше 0,5 МГц и выше).

707 кОм и 354 кОм — многовато: сказываются входные токи ОУ, утечки и шум. С $C = 47$ нФ: $R_{F} = 5, 64$ кОм, $R_{B} = 226$ кОм, $R_{G} = 113$ кОм — все больше 5 кОм и все удобнее. Второй вариант лучше (плёночный конденсатор 47 нФ стоит недорого).

Полосовые фильтры высокого порядка

Полосовые фильтры, как ФНЧ и ФВЧ, можно делать выше второго порядка, чтобы вершина была почти плоской, а склоны — крутыми. Для этого ставят друг за другом несколько полосовых секций с немного сдвинутыми центральными частотами, подбирая сдвиги и добротности под нужный тип — Баттерворта (плоская вершина) или Чебышева (вершина с пульсациями, склоны круче).

Все полосовые схемы выше — ИНУН, биквадратная, на переменных состояния — второго порядка; добавляя секции ради крутизны, мы, как обычно, ухудшаем переходную и фазовую характеристики. Ширину полосы полосового фильтра измеряют между точками −3 дБ (у равноволновых — между точками, где АЧХ опускается ниже коридора пульсаций). Расчётные таблицы для таких фильтров есть в справочниках по фильтрам, в описаниях ИС активных фильтров и в программах расчёта.

Упражнение 5.2.6

В приёмнике три одинаковые полосовые секции второго порядка с $f_{0} = 10$ кГц и $Q = 5$ каждая включены друг за другом через буферы. Какова полоса по уровню −3 дБ всей цепочки? Во сколько раз она уже полосы одной секции?

BW цепочки =Гц

Решение

Модуль одной секции, нормированный к 1 на центральной частоте: $∣ H ∣^{2} = 1/ (1 + Q^{2} (x - 1/ x)^{2})$ , $x = f / f_{0}$ . У трёх секций $∣ H ∣^{6} = 1/2$ , откуда $Q^{2} (x - 1/ x)^{2} = 2^{1/3} - 1 = 0, 2599$ и $x - 1/ x = \pm 0, 1020$ .

Корни этого уравнения $x_{1}$ и $1/ x_{1}$ , их разность равна ровно $0, 1020$ , поэтому полоса цепочки $0, 1020 \cdot 10000 = 1020$ Гц против $f_{0} / Q = 2000$ Гц у одной секции — уже в $1/ 2^{1/3} - 1 = 1, 96$ раза. Вершина при этом становится острее, но не площе: для плоской вершины центральные частоты секций нужно разнести.

5.2.4Режекторные фильтры: двойная Т и мостовая схема

≈ 9 мин2 упр.

Главное

Двойная Т: на $f_{c} = 1/ (2 π RC)$ сигналы двух её ветвей равны и противофазны — ослабление бесконечное.
Вдали от провала она мягкая: около 10 дБ на $2 f_{c}$ и 3 дБ на $4 f_{c}$ (эквивалентная $Q = 1/4$ ).
Мостовой дифференциатор перестраивается одним потенциометром: $f = 1/ (2 π C 3 R_{1} R_{2})$ .

Бывает, что нужно не выделить полосу, а убрать одну частоту — например, сетевую наводку 50 Гц в усилителе датчика. Для этого есть замечательная пассивная цепь из шести деталей — двойной Т-образный мост. Он составлен из двух Т-образных цепей, включённых параллельно: верхняя (R, R и 2C на общий провод) — это ФНЧ, нижняя (C, C и R/2 на общий провод) — ФВЧ. На частоте $f_{c} = 1/ (2 π RC)$ их выходные сигналы одинаковы по модулю и противоположны по фазе, поэтому на выходе они уничтожают друг друга. Для RC-цепи это необычно: бесконечное ослабление на одной частоте.

Платить за это приходится точностью: глубокий провал получается только при хорошо согласованных деталях.

12345

Двойной Т-образный мост: две Т-цепи параллельно, провал на f = 1/(2πRC).

Что здесь что (5)

Верхняя Т: R, R, 2C. ФНЧ-ветвь
2C. средний элемент верхней Т — на землю
Нижняя Т: C, C, R/2. ФВЧ-ветвь
R/2. средний элемент нижней Т
Выход. на $f_{c}$ сигналы ветвей равны и противофазны — взаимно уничтожаются

Вторая беда видна на графике: вдали от провала двойная Т так же «мягка», как любая пассивная RC-цепь, и только совсем рядом с $f_{c}$ её характеристика проваливается почти отвесно. При питании от идеального источника напряжения она ослабляет сигнал примерно на 10 дБ уже на удвоенной (и на половинной) частоте и на 3 дБ — на учетверённой (и на четверти) частоты провала. То есть заодно с помехой пострадает и полезный сигнал в широкой полосе вокруг неё.

АЧХ двойной Т при питании от идеального источника:

H = (1 + p^{2}) / (1 + 4 (1 - k) p + p^{2})

,

p = j f / f_{c}

. Провал бесконечный, но склоны пологие; следящая связь сужает провал.

∞ослабление на

f_{c}

≈ 10 дБна

2 f_{c}

и

f_{c} /2

3 дБна

4 f_{c}

и

f_{c} /4

≈ 60 дБглубина у готовых модулей

Двойная Т со следящей связью

Сузить провал можно тем же приёмом, что и в фильтре Саллена — Ки. Общая точка средних элементов ( $2 C$ и $R /2$ ) подключается не к общему проводу, а к повторителю, на который подана доля $k < 1$ выходного сигнала. Чем ближе $k$ к единице, тем выше эквивалентная добротность и уже провал.

1234

Двойная Т со следящей связью: средние элементы подключены не к общему проводу, а к точке S, куда подаётся доля k выхода. Пассивная Т имеет Q = 1/4; при k → 1 добротность неограниченно растёт.

Что здесь что (4)

Общая точка S. средние элементы (2C и R/2) питаются не от земли, а долей выхода
Повторитель. отдаёт выход двойной Т без нагрузки
Потенциометр k. доля выходного сигнала: чем ближе k к 1, тем острее провал
Второй повторитель. питает точку S напряжением $k U_{вых}$

Ловушка. На бумаге приём выглядит отлично, на практике разочаровывает: чем ближе

k

к 1 и чем уже провал, тем меньше глубина подавления в самой точке провала — малейшее рассогласование деталей усиливается обратной связью.

Двойные Т выпускают и готовыми модулями — на частоты от 1 Гц до 50 кГц, с глубиной провала около 60 дБ (при крайних температурах похуже). Собрать такую цепь самому нетрудно, но для глубокого и стабильного провала нужны стабильные резисторы и конденсаторы с малыми температурными коэффициентами, а один элемент стоит сделать подстроечным.

Перестраиваемая пробка: мостовой дифференциатор

На фиксированной частоте двойная Т хороша, но перестраивать её мучительно: менять нужно сразу три резистора, сохраняя их отношение. Есть другая RC-схема с похожим провалом — мостовой дифференциатор. Её прелесть в том, что частота провала меняется одним потенциометром, причём в пределах нескольких октав.

Согласование нужно и здесь: три конденсатора одинаковы, а верхний резистор ровно в 6 раз больше суммы двух нижних плеч ( $R_{1}$ и $R_{2}$ — это части нижнего резистора по обе стороны от движка потенциометра). Частота провала:

Частота провала мостового дифференциатора

f_{пров} = \frac{1}{2 π C 3 R _{1} R _{2}}

Обозначения:

C

R_{1}, R_{2}

6 (R_{1} + R_{2})

123

Мостовой дифференциатор — пробка, перестраиваемая одним потенциометром. Конденсаторы одинаковы, верхний резистор равен 6(R₁ + R₂).

Что здесь что (3)

Верхний резистор. ровно $6 (R_{1} + R_{2})$ — условие баланса
Три равных C. согласование — как у двойной Т
$R_{1}$ и $R_{2}$ . потенциометр делит нижнее плечо; сумма постоянна — баланс не нарушается

Перестройка пробки потенциометром 25 кОм: C = 68 нФ, R₁ = 2,2 кОм + x, R₂ = 47 кОм + (25 кОм − x); провал смещается от 107 до 38 Гц.

Ключевое наблюдение: сумма $R_{1} + R_{2}$ от положения движка не зависит. Значит, вращая потенциометр, мы меняем произведение $R_{1} R_{2}$ (а с ним и частоту), не нарушая условия баланса. Пример практической схемы, для которой построен график выше:

$C = 68$ нФ;
нижнее плечо — 2,2 кОм + потенциометр 25 кОм + 47 кОм;
верхний резистор — 430 кОм + подстроечный 22 кОм (им выставляют максимальную глубину);
диапазон перестройки — примерно от 38 до 107 Гц.

Как и у двойной Т, вдали от провала ослабление нарастает полого, а в самой точке провала (при идеальном согласовании) бесконечно. Сузить провал можно тоже следящей связью: подать на движок долю выходного сигнала через усилитель с усилением меньше единицы. И здесь приближение петлевого усиления к единице сужает провал, но ухудшает глубину и создаёт нежелательный подъём АЧХ выше частоты провала.

Упражнение 5.2.7

В США частота сети 60 Гц. Рассчитайте двойной Т-образный фильтр-пробку на 60 Гц с $C = 47$ нФ в «конденсаторной» Т: найдите R, $R /2$ и ёмкость среднего конденсатора $2 C$ . Какое ослабление эта цепь (питаемая от идеального источника, без нагрузки) даст на третьей гармонике сети, 180 Гц?

R =кОмR/2 =кОм2C =нФОслабление на 180 Гц =дБ

Решение

$R = 1/ (2 π f C) = 1/ (2 π \cdot 60 \cdot 4, 7 \cdot 1 0^{- 8}) = 56, 4$ кОм, $R /2 = 28, 2$ кОм, $2 C = 94$ нФ — удобнее всего два конденсатора по 47 нФ параллельно (они из той же партии, что и одиночные, и лучше с ними согласованы).

Передаточная функция ненагруженной двойной Т: $H = (1 + p^{2}) / (1 + 4 p + p^{2})$ , $p = j f / f_{c}$ . На $f = 3 f_{c}$ : $p^{2} = - 9$ , $∣ H ∣ = ∣1 - 9∣/∣1 - 9 + 12 j ∣ = 8/14, 42 = 0, 555$ — ослабление 5,1 дБ. Третью гармонику пробка почти не трогает: её эквивалентная добротность всего $1/4$ , и провал узок только в самой своей глубине.

Упражнение 5.2.8

Для лабораторного анализатора искажений нужна пробка, перестраиваемая потенциометром. Мостовой дифференциатор: $C = 22$ нФ, нижнее плечо — $R_{1} = 4, 7$ кОм $+ x$ и $R_{2} = 100$ кОм $+ (47$ кОм $- x)$ , где $x$ — положение движка потенциометра 47 кОм. Найдите частоту провала в крайних положениях ( $x = 0$ и $x = 47$ кОм) и сопротивление верхнего резистора.

f при x = 0 =Гцf при x = 47 кОм =ГцR верх =кОм

Подсказка

f = 1/ (2 π C 3 R_{1} R_{2})

, а

R_{1} + R_{2}

от

x

не зависит.

Решение

$x = 0$ : $R_{1} = 4, 7$ кОм, $R_{2} = 147$ кОм, $3 R_{1} R_{2} = 2, 073 \cdot 1 0^{9} = 45, 5$ кОм; $f = 1/ (2 π \cdot 2, 2 \cdot 1 0^{- 8} \cdot 45530) = 158, 9$ Гц.

$x = 47$ кОм: $R_{1} = 51, 7$ кОм, $R_{2} = 100$ кОм, $3 \cdot 51, 7 \cdot 100 кОм = 124, 5$ кОм, $f = 58, 1$ Гц — перекрытие 2,7 раза, почти полторы октавы.

Верхний резистор: $6 (R_{1} + R_{2}) = 6 \cdot 151, 7 = 910$ кОм (например, 866 кОм + подстроечный 100 кОм). Сумма $R_{1} + R_{2}$ при любом $x$ одна и та же — поэтому баланс при перестройке не нарушается.

5.2.5Гираторные фильтры

≈ 6 мин2 упр.

Главное

Гиратор Антониу (обобщённый конвертор полного сопротивления): $Z_{вх} = Z_{1} Z_{3} Z_{5} / (Z_{2} Z_{4})$ .
Если $Z_{4}$ — конденсатор, а остальные — резисторы, это заземлённая катушка $L = C R_{1} R_{3} R_{5} / R_{2}$ .
Замена катушек гираторами сохраняет главное достоинство LC-лестницы — малую чувствительность к допускам.

Вспомним идею из начала главы: раз гиратор превращает конденсатор в индуктивность, LC-фильтр можно повторить без катушек. На практике для этого чаще всего берут не громоздкую схему из двух КОС, а двухоперационную схему Антониу — обобщённый конвертор полного сопротивления. В ней пять двухполюсников стоят столбиком, а два ОУ следят, чтобы напряжения в трёх узлах были одинаковы. Обычно $Z_{4}$ — конденсатор, остальные — резисторы, и тогда схема ведёт себя как катушка, один вывод которой заземлён:

Индуктивность гиратора Антониу

L = k C, k = \frac{R _{1} R _{3} R _{5}}{R _{2}}

Обозначения:

C

R_{1}, R_{3}, R_{5}

R_{2}

12345

Схема Антониу — обобщённый конвертор полного сопротивления. Если Z₄ — конденсатор, а остальные — резисторы, вход ведёт себя как заземлённая катушка.

Что здесь что (5)

Вход «катушки». $Z_{вх} = Z_{1} Z_{3} Z_{5} / (Z_{2} Z_{4})$ ; второй вывод заземлён
ОУ 1. держит узлы 0 и 2 при одном напряжении
ОУ 2. держит узлы 2 и 4 при одном напряжении
$Z_{4}$ — конденсатор. тогда схема имитирует индуктивность $L = C R_{1} R_{3} R_{5} / R_{2}$
$Z_{2}$ . в знаменателе: меньше $R_{2}$ — больше индуктивность

Зачем такие сложности, если есть ИНУН? Дело в чувствительности. Пассивная LC-лестница, согласованная с обеих сторон, — одна из наименее чувствительных к разбросу деталей структур: в полосе пропускания малые изменения номиналов почти не меняют передачу. Если заменить её катушки гираторами, это свойство сохраняется. Получается фильтр, который можно собрать на деталях с обычными допусками.

Упражнение 5.2.9 вывод

Выведите входное сопротивление схемы Антониу: $Z_{вх} = Z_{1} Z_{3} Z_{5} / (Z_{2} Z_{4})$ . Подсказка: у идеальных ОУ напряжения узлов 0, 2 и 4 (считая сверху: вход, узел между $Z_{2}$ и $Z_{3}$ , узел между $Z_{4}$ и $Z_{5}$ ) одинаковы; найдите токи, двигаясь снизу вверх.

Решение

Пронумеруем узлы сверху вниз: 0 (вход, напряжение $U$ ), 1, 2, 3, 4. Каждый ОУ поддерживает равенство напряжений на своих входах: $U_{0} = U_{2}$ и $U_{2} = U_{4}$ , значит $U_{0} = U_{2} = U_{4} = U$ . Во входы ОУ ток не течёт.

Ток через $Z_{5}$ на общий провод: $I_{5} = U / Z_{5}$ . Узел 4 соединён только с $Z_{4}$ , $Z_{5}$ и входом ОУ, поэтому тот же ток течёт и через $Z_{4}$ : $U_{3} = U + I_{5} Z_{4} = U (1 + Z_{4} / Z_{5})$ .

Ток через $Z_{3}$ от узла 3 к узлу 2: $I_{3} = (U_{3} - U) / Z_{3} = U Z_{4} / (Z_{3} Z_{5})$ . Узел 2 соединён только с $Z_{2}$ , $Z_{3}$ и входами ОУ (выходы ОУ подключены к узлам 1 и 3), поэтому $I_{3}$ целиком идёт дальше через $Z_{2}$ к узлу 1: $U_{1} = U - I_{3} Z_{2} = U (1 - Z_{2} Z_{4} / (Z_{3} Z_{5}))$ .

Входной ток течёт через $Z_{1}$ от узла 0 к узлу 1: $I = (U - U_{1}) / Z_{1} = U Z_{2} Z_{4} / (Z_{1} Z_{3} Z_{5})$ . Отсюда

Z_{вх} = \frac{U}{I} = \frac{Z _{1} Z _{3} Z _{5}}{Z _{2} Z _{4}} .

Если

Z_{4} = 1/ (jω C)

, а остальные — резисторы:

Z_{вх} = jω C R_{1} R_{3} R_{5} / R_{2}

— индуктивность

L = C R_{1} R_{3} R_{5} / R_{2}

.

Упражнение 5.2.10

Для полосового фильтра на 1 кГц в гитарной педали «вау» нужна катушка около 2 Гн — заменим её гиратором. В схеме Антониу $R_{1} = R_{3} = R_{5} = 4, 7$ кОм, $R_{2} = 2, 2$ кОм, $Z_{4}$ — конденсатор 47 нФ. Найдите получившуюся индуктивность и частоту резонанса этой «катушки» с конденсатором 10 нФ.

L =Гнf =Гц

Решение

$L = C R_{1} R_{3} R_{5} / R_{2} = 4, 7 \cdot 1 0^{- 8} \cdot (4, 7 \cdot 1 0^{3})^{3} /2200 = 2, 22$ Гн.

$f = 1/ (2 π L C) = 1/ (2 π 2, 22 \cdot 1 0^{- 8}) = 1/ (2 π \cdot 1, 49 \cdot 1 0^{- 4}) = 1069$ Гц.

Настоящая катушка на 2 Гн для звуковых частот — это сердечник размером со спичечный коробок, чувствительный к наводкам от силового трансформатора. Гиратор — два ОУ и пять деталей. Ограничение одно: второй вывод «катушки» обязательно заземлён; для «плавающей» индуктивности понадобятся два гиратора.

5.2.6Фильтры на переключаемых конденсаторах

≈ 11 мин2 упр.

Главное

Конденсатор $C_{1}$ с двумя ключами, переключаемыми с частотой $f_{0}$ , работает как резистор $R_{экв} = 1/ (f_{0} C_{1})$ .
Частота фильтра пропорциональна тактовой и зависит только от отношения ёмкостей — дёшево и перестраиваемо.
Цена: на выходе остатки такта, наложение спектров (алиасинг), меньший динамический диапазон.

У биквадратных фильтров и фильтров на переменных состояния есть практическая трудность — конденсаторы. Их нужно не меньше двух на секцию, стабильных (не керамических с высокой проницаемостью и не электролитических) и согласованных друг с другом с точностью около 2 %. Добавьте к этому три ОУ и шесть резисторов на каждую двухполюсную секцию — монтажа выходит много.

Можно купить готовую ИС, где согласованные конденсаторы по 1000 пФ уже стоят внутри, — изготовитель справится с подбором лучше. Но это стоит денег: гибридная ИС универсального фильтра AF100 стоила порядка 10 долларов.

Интегратор из ключей и конденсатора

Основа таких фильтров — интегратор. И его можно построить иначе: вместо резистора поставить конденсатор $C_{1}$ и два аналоговых МОП-ключа, которые переключает внешний прямоугольный сигнал высокой частоты (обычно раз в сто выше частот обрабатываемого сигнала). Инвертор с кружком на выходе переворачивает тактовый сигнал, поэтому ключи замыкаются по очереди, в разные полупериоды.

12345

Интегратор на переключаемых конденсаторах: S₁ и S₂ замыкаются по очереди.

Что здесь что (5)

$S_{1}$ . замкнут — $C_{1}$ заряжается до $U_{вх}$
$C_{1}$ . переносит заряд $C_{1} U_{вх}$ за такт — как резистор $1/ (f_{0} C_{1})$
$S_{2}$ . замкнут в другой полупериод — $C_{1}$ разряжается в виртуальную землю
$C_{2}$ . накапливает переданный заряд: интегратор
Инвертор такта. ключи замыкаются в противоположные полупериоды

Для сравнения — обычный интегратор: U_вых = −(1/RC₂)·∫U_вх dt.

Как он работает? Пока замкнут $S_{1}$ , конденсатор $C_{1}$ заряжается до входного напряжения и набирает заряд $C_{1} U_{вх}$ . В следующий полупериод замыкается $S_{2}$ , и $C_{1}$ отдаёт этот заряд в узел виртуальной земли — то есть в конденсатор обратной связи $C_{2}$ . Напряжение на $C_{2}$ при этом меняется на

Шаг выходного напряжения за такт

Δ U = \frac{Δ Q}{C _{2}} = U_{вх} \frac{C _{1}}{C _{2}}

Обозначения:

Δ Q

C_{2}

Такты интегратора на переключаемых конденсаторах: ключи не замыкаются одновременно; каждое замыкание S₂ сдвигает выход на одну «ступеньку».

Итак, за каждый такт выход сдвигается на величину, пропорциональную входу (который за один такт почти не успевает измениться). Это и есть интегрирование! При $f_{0}$ тактах в секунду сумма ступенек превращается в интеграл:

Интегратор на переключаемых конденсаторах

U_{вых} = - f_{0} \frac{C _{1}}{C _{2}} \int U_{вх} d t, R_{экв} = \frac{1}{f _{0} C _{1}}

Обозначения:

f_{0}

C_{1} / C_{2}

R_{экв}

Знак зависит от того, как сфазированы ключи; в показанной схеме, где одна обкладка

C_{1}

заземлена, интегратор инвертирующий, как и обычный.

Упражнение 5.2.11 вывод

Выведите уравнение интегратора на переключаемых конденсаторах и покажите, что ключи с конденсатором $C_{1}$ ведут себя как резистор $R_{экв} = 1/ (f_{0} C_{1})$ . Затем посчитайте для кристалла: $C_{1} = 0, 5$ пФ, $C_{2} = 15$ пФ, $f_{0} = 250$ кГц. Найдите $R_{экв}$ и частоту единичного усиления интегратора $f_{1} = 1/ (2 π R_{экв} C_{2})$ . Почему точность такого интегратора определяется только отношением ёмкостей?

Решение

За такт $C_{1}$ переносит из источника в узел виртуальной земли заряд $q = C_{1} U_{вх}$ . В среднем это ток $I = q f_{0} = f_{0} C_{1} U_{вх}$ — такой же, как через резистор $R_{экв} = U_{вх} / I = 1/ (f_{0} C_{1})$ (пока вход за такт почти не меняется, то есть $f_{сигн} ≪ f_{0}$ ). Этот ток заряжает $C_{2}$ : $U_{вых} = - \frac{1}{C _{2}} \int I d t = - f_{0} \frac{C _{1}}{C _{2}} \int U_{вх} d t$ .

Численно: $R_{экв} = 1/ (2, 5 \cdot 1 0^{5} \cdot 0, 5 \cdot 1 0^{- 12}) = 8$ МОм — на кристалле такой резистор занял бы огромную площадь, а конденсатор 0,5 пФ — крошечный квадратик. Частота единичного усиления $f_{1} = f_{0} C_{1} / (2 π C_{2}) = 2, 5 \cdot 1 0^{5} /30/ (2 π) = 1, 33$ кГц.

Постоянная интегратора $f_{0} C_{1} / C_{2}$ содержит только отношение ёмкостей и тактовую частоту. Абсолютные ёмкости на кристалле разбросаны на ±20 %, но отношение двух соседних конденсаторов выдерживается до долей процента и почти не дрейфует, а такт можно взять от кварца. Поэтому и частоты фильтра точны и пропорциональны такту.

Почему это выгодно

C₁/C₂важно только отношение

f ∝ f_тактперестройка тактом

≈ 2 долл.MF10 против 10 у AF100

Выгод две. Первая — цена. Раз важно только отношение ёмкостей, монолитный фильтр на переключаемых конденсаторах получается дешёвым: пару согласованных конденсаторов на кристалле сделать легко, а точные резисторы — нет. Универсальная ИС MF10 стоила около 2 долларов, впятеро дешевле AF100, и содержала два фильтра.

Вторая — перестройка. Характеристическая частота биквадратного фильтра и фильтра на переменных состояния (центр полосы или точка −3 дБ) пропорциональна коэффициенту передачи интеграторов. А он здесь пропорционален такту. Значит, частоту фильтра меняют, просто меняя тактовую частоту, — например, прямо от микроконтроллера.

Такие ИС бывают двух видов. Специализированные — с готовыми внутренними элементами: например, ФНЧ Баттерворта 4-го порядка MF4 в 8-выводном корпусе, которому нужны только вход, выход, питание и такт. Универсальные — с дополнительными выводами, где характеристику задают 2–3 внешних резистора (например, MF5 в 14-выводном корпусе); за гибкость платят большим корпусом и внешними деталями. Как просто применять готовый ФНЧ, видно на схеме ниже.

123

Готовый ФНЧ Баттерворта 4-го порядка на переключаемых конденсаторах: срез определяется только тактом.

Что здесь что (3)

MF4-100. готовый ФНЧ Баттерворта 4-го порядка в 8-выводном корпусе
Такт. $f_{такт} = 100 f_{c}$ — частота среза задаётся только им
Выход. сглаженный сигнал; остаток такта 10–25 мВ

Три неприятных свойства

Теперь об обратной стороне. Все три недостатка связаны с тем, что схема работает тактами.

Проникание такта. На выходе всегда присутствует составляющая тактовой частоты (обычно 10–25 мВ), не зависящая от сигнала. Чаще всего она не мешает — такт далеко за полосой сигнала, а если мешает, её легко убрать простой RC-цепочкой на выходе.

Наложение спектров: всё, что на входе лежит в пределах

\pm f_{c}

от тактовой частоты (и её гармоник), появляется на выходе внутри полосы пропускания.

Ловушка. Следите, чтобы во входном сигнале не было составляющих около тактовой частоты. Если они возможны, поставьте на входе простой RC-предфильтр — благо такт обычно далеко от полосы.

Модель: куда попадёт помеха на выходе фильтра на переключаемых конденсаторах

ФНЧ без ошибки по постоянному току

Как и у любой линейной схемы (в том числе у трёхоперационных аналогов), у этих фильтров есть обычные грехи усилителей: напряжение смещения на выходе и низкочастотный шум $1/ f$ . Это неприятно, когда ФНЧ должен пропустить слабый сигнал, в котором важна точная постоянная составляющая, — например, сигнал тензодатчика весов.

Изящный выход нашла фирма Linear Technology: в ИС LTC1062 (и в аналоге MAX280 с меньшим смещением) фильтр вообще убран из пути постоянного тока. Низкие частоты идут на выход через пассивную RC-цепь, а микросхема подключена к нижнему выводу конденсатора и работает только на верхних частотах, отводя их на общий провод. Ошибки по постоянному току нет совсем, а характерный шум переключаемых конденсаторов появляется лишь около частоты среза.

123

ФНЧ без ошибки по постоянному току: постоянная составляющая проходит по пассивной RC-цепи, микросхема только отводит верхние частоты (включение упрощено).

Что здесь что (3)

R. постоянный ток идёт по пассивной RC-цепи — ошибки по постоянному току нет
C. нижний конец не на земле, а на ИС
LTC1062. работает только на верхних частотах: шунтирует сигнал на землю выше среза

Фильтры на переключаемых конденсаторах выпускают многие фирмы. Как правило, частоту среза (или центр полосы) выбирают тактом в широких пределах — от долей герца до десятков килогерц: она равна такту, делённому на постоянное число, обычно 50 или 100.

Чаще всего это ФНЧ, полосовые и режекторные фильтры. ФВЧ тоже бывают, но для них остаток такта и ступеньки дискретизации особенно досадны — они попадают прямо в полосу пропускания.

Упражнение 5.2.12

ФНЧ на переключаемых конденсаторах с $f_{c} = f_{такт} /50$ настроен на $f_{c} = 2$ кГц. Рядом работает импульсный источник питания, наводка от которого — 101,5 кГц — попадает на вход фильтра. На какой частоте она появится на выходе? Какого наименьшего порядка нужен входной предфильтр Баттерворта со срезом 10 кГц, чтобы ослабить её не меньше чем на 50 дБ?

f на выходе =кГцпорядок =

Решение

$f_{такт} = 50 \cdot 2 = 100$ кГц. Наводка отстоит от такта на $101, 5 - 100 = 1, 5$ кГц, и это попадает в полосу 0–2 кГц: на выходе появятся 1,5 кГц, неотличимые от полезного сигнала.

Предфильтр: на $f / f_{c} = 101, 5/10 = 10, 15$ Баттерворт ослабляет на $10 l g (1 + 10, 1 5^{2 n})$ дБ: при $n = 2$ — 40,3 дБ (мало), при $n = 3$ — 60,4 дБ. Наименьший порядок — 3. На краю полезной полосы (2 кГц, $x = 0, 2$ ) такой предфильтр почти ничего не ослабляет.