1.4. Катушки и трансформаторы

Индуктивность: U = L dI/dt, энергия магнитного поля, сердечники; трансформатор: отношение витков, напряжений, токов и сопротивлений, изоляция от сети.

≈ 12 мин чтения · пунктирное подчёркивание — наведите или нажмите, чтобы увидеть пояснение

1.4.1Индуктивности

≈ 6 мин2 упр.

Главное

$U = L d I / d t$ : напряжение определяет скорость изменения тока; ток через катушку мгновенно измениться не может.
Энергия $W = \frac{1}{2} L I^{2}$ хранится в магнитном поле; если ток резко прервать, она вырывается высоким напряжением.
Катушка — зеркальный двойник конденсатора; её постоянная времени с резистором — $L / R$ .

Если конденсатор понятен, катушка индуктивности поймётся почти даром — достаточно поменять ролями ток и напряжение. У конденсатора ток задаёт, как быстро меняется напряжение. У катушки, наоборот, приложенное напряжение задаёт, как быстро меняется ток:

Уравнение катушки

U = L \frac{d I}{d t}

Обозначения:

L

d I / d t

U

Вольт на генри — это ампер в секунду.

Генри — единица крупная; на практике встречаются миллигенри (мГн) и микрогенри (мкГн). Смысл уравнения легко почувствовать: подадим на катушку постоянное напряжение — и ток через неё начнёт расти по прямой, ровно так же, как напряжение на конденсаторе растёт под действием постоянного тока. Катушка в 1 Гн под напряжением 1 В разгоняет ток со скоростью 1 А в секунду. Механическая аналогия — инерция: напряжение как сила, ток как скорость, индуктивность как масса. Сила не меняет скорость мгновенно, она её разгоняет.

Как и у конденсатора, ток катушки не пропорционален напряжению, и мощность $U I$ не уходит в тепло, а запасается — на этот раз в магнитном поле. Получить её обратно можно, прервав ток. И делается это порой с неприятной бурностью: как защищаться от индуктивного выброса, разобрано в разделе 1.6.

Энергия, запасённая катушкой

W = \frac{1}{2} L I^{2}

Обозначения:

W

L

I

Катушка без сердечника

Катушка с магнитным сердечником

Пока приложено постоянное напряжение, ток растёт по прямой: dI/dt = U/L

На схемах катушку рисуют несколькими витками — и простейшая катушка действительно всего лишь моток провода. Чтобы индуктивность была большой при разумном числе витков, провод наматывают на сердечник из магнитного материала: набор тонких пластин из железного сплава, прессованный порошок или феррит — керамику на основе оксидов железа, твёрдую, хрупкую и не проводящую ток.

Магнитный материал увеличивает индуктивность во много раз. Формы сердечников разнообразны: стержень, кольцо (тороид), Ш-образные пластины, а также «чашки» — броневые сердечники из двух половинок, которые смыкаются вокруг катушки, полностью закрывая её.

Чаще всего катушки встречаются в радиочастотной технике: дроссели, не пропускающие ВЧ в цепи питания, и резонансные контуры. В импульсных источниках питания катушка — главный накопитель энергии (глава 6). Две катушки на общем сердечнике образуют трансформатор, о котором следующий пункт. А в каком точном смысле индуктивность противоположна ёмкости, станет ясно с введением комплексного сопротивления (раздел 1.5).

Конденсатор и катушка: зеркальные свойства
	Конденсатор	Катушка
Уравнение	$I = C d U / d t$	$U = L d I / d t$
Что не меняется скачком	напряжение	ток
При постоянном токе после переходного процесса	разрыв цепи	короткое замыкание (провод)
Запасённая энергия	$\frac{1}{2} C U^{2}$	$\frac{1}{2} L I^{2}$
Постоянная времени с резистором	$RC$	$L / R$
Последовательное соединение	как параллельные резисторы	как последовательные резисторы

123

Катушка с сопротивлением R под постоянным напряжением: ток выходит на U/R с постоянной L/R

Что здесь что (3)

Начальный наклон. Сразу после включения тока нет и падения на R нет: всё напряжение приложено к индуктивности, $d I / d t = U / L$ .
t = L/R. Ток достиг 63 % конечного — та же экспонента, что и у RC-цепи.
Установившийся ток. $U / R$ : для постоянного тока катушка — просто провод с сопротивлением обмотки.

Упражнение 1.4.1

Электромагнитный замок двери имеет обмотку с индуктивностью 250 мГн и сопротивлением провода 48 Ом; его включают от источника 24 В. (а) С какой скоростью растёт ток в первый момент? (б) Каков ток через 2 мс? (в) Каков установившийся ток и сколько энергии запасено в магнитном поле?

dI/dt =А/сI(2 мс) =мАI_уст =АW =мДж

Решение

(а) В момент включения ток нулевой, на сопротивлении ничего не падает, и всё напряжение приложено к индуктивности: $d I / d t = U / L = 24/0, 25 = 96$ А/с.
(б) Из $U = L d I / d t + I R$ получается то же уравнение, что для RC-цепи: $I (t) = \frac{U}{R} (1 - e^{- tR / L})$ , постоянная времени $L / R = 0, 25/48 \approx 5, 2$ мс. $I (2 мс) = 0, 5 (1 - e^{- 0, 384}) \approx 0, 159$ А. (Если бы ток рос с начальной скоростью, было бы 0,19 А: экспонента уже заметно отстаёт от прямой.)
(в) $I_{уст} = U / R = 0, 5$ А, $W = \frac{1}{2} L I^{2} = 0, 5 \cdot 0, 25 \cdot 0, 25 \approx 31$ мДж. Замок срабатывает не мгновенно: сила электромагнита растёт вместе с током, и полную силу он набирает лишь через несколько постоянных времени, около 20–25 мс.

Упражнение 1.4.2

Ток 0,5 А в обмотке того же замка (250 мГн) выключает транзисторный ключ, который закрывается за 5 мкс. Оцените напряжение на обмотке, считая, что ток падает до нуля равномерно.

U =кВ

Решение

$U = L Δ I /Δ t = 0, 25 \cdot 0, 5/ (5 \cdot 1 0^{- 6}) = 25000$ В. Транзистор, рассчитанный на десятки вольт, такого не переживёт: напряжение «упрётся» в его пробой, и он погибнет, а с механическим контактом проскочит искра, которая постепенно выжжет контакт. Поэтому катушки, ток которых выключают, всегда снабжают защитой — простейшая из них, диод параллельно обмотке, описана в разделе 1.6.

Модель: включение катушки

1.4.2Трансформаторы

≈ 6 мин2 упр.

Главное

Напряжения относятся как числа витков, токи — обратно; мощность на входе и выходе почти одинакова.
Сопротивление пересчитывается в $n^{2}$ раз: нагрузка $R_{н}$ со стороны первичной обмотки выглядит как $n^{2} R_{н}$ .
В аппаратуре трансформатор понижает сетевое напряжение и, что не менее важно, изолирует схему от сети.

Намотаем на один сердечник две катушки. Переменный ток в одной создаёт в сердечнике переменный магнитный поток, и этот поток наводит напряжение во второй. Это трансформатор: катушку, на которую подают энергию, называют первичной обмоткой, ту, с которой снимают, — вторичной. Каждый виток охватывает один и тот же поток, поэтому напряжение на обмотке пропорционально числу её витков. Отсюда главное правило: напряжения на обмотках относятся как числа витков. А раз потерь почти нет, мощность на выходе равна мощности на входе, и токи относятся обратно. Если первичная обмотка имеет $w_{1}$ витков, а вторичная — $w_{2}$ , и коэффициент трансформации $n = w_{1} / w_{2}$ , то

Идеальный трансформатор

\frac{U _{2}}{U _{1}} = \frac{w _{2}}{w _{1}} = \frac{1}{n}, \frac{I _{2}}{I _{1}} = n, U_{1} I_{1} \approx U_{2} I_{2}

Обозначения:

w_{1}, w_{2}

n

U_{1}, I_{1}

U_{2}, I_{2}

Нагрузка

R_{н}

со стороны первичной обмотки выглядит как

n^{2} R_{н}

Ниже — условное обозначение трансформатора с сердечником из стальных пластин. Такие трансформаторы рассчитаны на сетевую частоту 50 или 60 Гц.

12345

Сетевой трансформатор с нагрузкой: U₂ = U₁·w₂/w₁

Что здесь что (5)

Сеть. Переменное напряжение $U_{1}$ , например 230 В 50 Гц.
Первичная обмотка. $w_{1}$ витков; без нагрузки берёт из сети лишь небольшой ток намагничивания.
Сердечник. Стальные пластины — для 50/60 Гц; для высоких частот — феррит.
Вторичная обмотка. $w_{2}$ витков, $U_{2} = U_{1} w_{2} / w_{1}$ . С первичной обмоткой она связана только магнитным полем — отсюда изоляция от сети.
Нагрузка $R_{н}$ . Со стороны сети она выглядит как $n^{2} R_{н}$ .

230 → 12 Втипичный сетевой

10–50 Вобычные вторичные напряжения

$n^{2}$ пересчёт сопротивлений

Потери в хорошем трансформаторе малы — выходная мощность почти равна входной. Поэтому трансформатор, повышающий напряжение в десять раз, во столько же раз уменьшает ток: бесплатной энергии не бывает.

Из тех же соотношений следует свойство, которое пригодится нам не раз: трансформатор с коэффициентом $n$ пересчитывает сопротивления в $n^{2}$ раз. Нагрузка $R_{н}$ на вторичной обмотке выглядит со стороны первичной как $n^{2} R_{н}$ . Проверим: $U_{1} / I_{1} = n U_{2} / (I_{2} / n) = n^{2} U_{2} / I_{2} = n^{2} R_{н}$ . А если вторичная обмотка вообще ничем не нагружена, первичная потребляет совсем небольшой ток — только ток намагничивания, нужный для создания потока в сердечнике.

У трансформатора в электронной аппаратуре две главные работы:

превратить сетевое напряжение в то, которое нужно схеме (как правило, меньшее);
изолировать схему от сети: обмотки связаны только магнитным полем, электрического соединения между ними нет. Без этого любая доступная пальцам точка схемы могла бы оказаться под сетевым потенциалом.

Силовые трансформаторы выпускают для сетей 110, 127, 220–230 В с вторичными обмотками от вольта до тысяч вольт и на токи от миллиампер до сотен ампер; в обычной электронике чаще всего нужны 10–50 В при 0,1–5 А.

Помимо силовых, есть трансформаторы звуковой частоты (согласующие и разделительные в звуковых трактах), резонансные радиочастотные, трансформаторы для линий передачи и импульсные трансформаторы современных блоков питания, работающие на десятках и сотнях килогерц.

Конструкция сердечника сильно зависит от частоты. На высоких частотах важно снизить потери в самом сердечнике, поэтому применяют ферриты и особые конструкции; сетевые трансформаторы на 50 Гц, наоборот, тяжелы и громоздки — им нужно много стали. Высокочастотный трансформатор на низкой частоте не заработает (сердечник насытится), а низкочастотный на высокой даст огромные потери: в общем случае они не взаимозаменяемы.

Ловушка. Сетевой трансформатор изолирует схему от сети; автотрансформатор (ЛАТР, раздел 1.7) такой изоляции не даёт.

Первичная обмотка сетевого трансформатора находится под сетевым напряжением, и изоляция между обмотками — главное, что отделяет человека от сети. Трансформатор с повреждённой или подгоревшей изоляцией в дело не годится. И не путайте его с автотрансформатором (раздел 1.7): у того одна обмотка на всё, и выход электрически связан с сетью.

Упражнение 1.4.3

Трансформатор для зарядного устройства понижает 230 В до 9 В (эффективные значения), нагрузка потребляет 1,5 А. Найдите коэффициент трансформации, ток первичной обмотки (трансформатор идеальный) и амплитуду напряжения на вторичной обмотке.

n =I₁ =АU₂ ампл. =В

Решение

$n = 230/9 \approx 25, 6$ . Мощность сохраняется ( $9 \cdot 1, 5 = 13, 5$ Вт с обеих сторон), поэтому $I_{1} = I_{2} / n = 1, 5/25, 6 \approx 59$ мА. Амплитуда вторичного напряжения $92 \approx 12, 7$ В — именно до этого уровня (за вычетом падения на диодах) зарядится конденсатор выпрямителя (раздел 1.6), а вовсе не до 9 В.

Упражнение 1.4.4

В трансляционной сети здания громкоговорители подключают к линии 100 В через согласующие трансформаторы. Динамик сопротивлением 16 Ом должен получать 5 Вт. Каким должно быть отношение витков $w_{1} / w_{2}$ ? Какую мощность получит динамик 8 Ом, если его по ошибке подключить к тому же трансформатору?

w₁/w₂ =P′ =Вт

Решение

Со стороны линии 100 В нагрузка на 5 Вт должна выглядеть как $R = U^{2} / P = 10 000/5 = 2$ кОм. Трансформатор пересчитывает сопротивление в $n^{2}$ раз: $n^{2} = 2000/16 = 125$ , $n \approx 11, 2$ .
Динамик 8 Ом будет виден как $125 \cdot 8 = 1$ кОм, и мощность станет $10 000/1000 = 10$ Вт — вдвое больше расчётной. Динамик может перегреться, а усилитель линии — перегрузиться, если таких ошибок много.

Модель: трансформатор