1.5. Импеданс: комплексный метод

Комплексный метод и обобщённый закон Ома, мощность и коэффициент мощности, RC-фильтры и их АЧХ и ФЧХ, векторные диаграммы, многозвенные фильтры, резонансные контуры, эквивалентный генератор.

≈ 59 мин чтения · пунктирное подчёркивание — наведите или нажмите, чтобы увидеть пояснение

В этом разделе много математики. Выкладки при первом чтении можно пробегать глазами, но выделенные итоговые формулы нужны дальше постоянно — их стоит понять и запомнить.

Пока в схеме одни резисторы, её поведение от частоты не зависит. Стоит добавить конденсатор или катушку — и коэффициент деления «делителя» начинает меняться с частотой. Мы уже видели и другое следствие: такие схемы искажают форму прямоугольных импульсов.

Вместе с тем конденсатор и катушка — элементы линейные: удвойте амплитуду входного сигнала любой формы, и выход удвоится. А из линейности, как мы выяснили в разделе 1.2, вытекает главное: синусоида проходит через линейную схему, оставаясь синусоидой той же частоты, — меняются лишь амплитуда и фаза. Поэтому о любой RLC-схеме стоит прежде всего спросить: во сколько раз она меняет амплитуду синусоиды и насколько сдвигает её фазу на каждой частоте? Ответ полезен, даже если работать схеме предстоит совсем не с синусоидами — ведь любой сигнал можно разложить на синусоиды.

Зависимость отношения выход/вход от частоты — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) — универсальный паспорт схемы. Пример на графике ниже: АЧХ наушников («выход» здесь — звуковое давление). В идеале она ровная во всём звуковом диапазоне, на деле — с завалами по краям и подъёмом в середине. Если включить перед наушниками фильтр с обратной АЧХ (эквалайзер), неровности взаимно скомпенсируются.

АЧХ наушников и выравнивающего фильтра: в сумме — ровная линия

Мы увидим, что закон Ома остаётся в силе и здесь, если заменить сопротивление полным сопротивлением, или импедансом; в таком виде он верен для любой схемы из линейных пассивных элементов. О словах: конденсаторы и катушки обладают реактивным сопротивлением (реактансом), резисторы — активным; импеданс объединяет оба.

На практике слова употребляют свободнее: «импеданс конденсатора» — это его реактанс на данной частоте, а «выходным импедансом» источника часто называют и чисто активное эквивалентное сопротивление.

Всюду ниже схема питается синусоидой одной частоты. Для сигналов другой формы понадобились бы дифференциальные уравнения или разложение сигнала в сумму синусоид (ряд Фурье); на практике до этого доходит нечасто.

1.5.1Комплексный метод: импеданс

≈ 20 мин5 упр.

Главное

Импедансы: $Z_{R} = R$ , $Z_{C} = 1/ jω C$ , $Z_{L} = jω L$ ; с ними действует обычный закон Ома $\dot{U} = \dot{I} Z$ .
Ток конденсатора опережает напряжение на 90°, поэтому в среднем конденсатор мощности не берёт.
Средняя мощность $\overset{ˉ}{P} = Re (\dot{U} \dot{I}^{*}) = U_{эфф} I_{эфф} cos φ$ ; $cos φ$ — коэффициент мощности.
Делитель из импедансов: $\dot{U}_{вых} = \dot{U}_{вх} Z_{2} / (Z_{1} + Z_{2})$ .

Подключим к генератору синусоиды $U (t) = U_{0} sin ω t$ конденсатор (схема ниже) и посмотрим на ток. По уравнению конденсатора

I (t) = C \frac{d U}{d t} = C ω U_{0} cos ω t .

Две вещи бросаются в глаза. Амплитуда тока

I_{0} = U_{0} ω C

— пропорциональна напряжению, как у резистора с сопротивлением

1/ ω C

. Но косинус вместо синуса означает, что ток опережает напряжение на четверть периода, то есть на 90°.

Значит, с точки зрения амплитуд конденсатор — это «резистор», сопротивление которого падает с частотой, но с одной особенностью: ток в нём сдвинут по фазе (график рядом). Пример: через конденсатор 1 мкФ, включённый в сеть 230 В, 50 Гц, течёт эффективный ток $I = 230 \cdot 2 π \cdot 50 \cdot 1 0^{- 6} \approx 72$ мА.

Конденсатор, питаемый синусоидой

Максимум тока приходится на четверть периода раньше максимума напряжения

Зачем комплексные числа. В линейной схеме под синусоидальным напряжением все токи и напряжения — синусоиды той же частоты, пропорциональные по амплитуде источнику, но со своими фазами. Хочется закон Ома, который учитывал бы и то и другое.

Описать синусоиду заданной частоты одним вещественным числом нельзя — нужны два: амплитуда и фаза. Можно таскать их явно, например $U (t) = 23, 7 sin (377 t + 0, 38)$ , но складывать такие выражения мучительно. Комплексное число как раз и состоит из двух частей; оказывается, сложение синусоид превращается в обычное сложение комплексных чисел. Договоримся так (частота $ω$ фиксирована):

Каждому напряжению и току сопоставляем комплексное число $\dot{U}$ или $\dot{I}$ . Синусоиде $U_{0} cos (ω t + φ)$ соответствует число $U_{0} e^{j φ}$ , где, напомним, $e^{j θ} = cos θ + j sin θ$ и $j = - 1$ .
Обратный переход — умножить на $e^{jω t}$ и взять действительную часть: $U (t) = Re (\dot{U} e^{jω t})$ , $I (t) = Re (\dot{I} e^{jω t})$ .

Мнимую единицу в электронике обозначают буквой $j$ : буква $i$ занята током. Раскрыв произведение, получаем

U (t) = Re (\dot{U} e^{jω t}) = Re (\dot{U}) cos ω t - Im (\dot{U}) sin ω t .

Например, числу

\dot{U} = 5 j

отвечает

U (t) = Re (5 j cos ω t - 5 sin ω t) = - 5 sin ω t

: чисто мнимое число — это синусоида, сдвинутая на 90° относительно косинуса.

Реактансы конденсатора и катушки. В этих обозначениях для конденсатора выполняется закон Ома с комплексным сопротивлением $X_{C} = - j / ω C$ — это и есть реактивное сопротивление конденсатора на частоте $ω$ .

почему

X_{C} = - j / ω C

Пусть $U (t) = Re (U_{0} e^{jω t}) = U_{0} cos ω t$ . Из $I = C d U / d t$

I (t) = - U_{0} C ω sin ω t = Re (\frac{U _{0} e ^{jω t}}{- j / ω C})

(проверьте:

1/ (- j) = j

, а

Re (j U_{0} e^{jω t}) = - U_{0} sin ω t

). Получилось

\dot{I} = \dot{U} / X_{C}

X_{C} = - \frac{j}{ω C} — реактивное сопротивление конденсатора на частоте ω .

3183 Ом1 мкФ на 50 Гц

0,16 Ом1 мкФ на 1 МГц

∞конденсатор при постоянном токе

72 мАток 1 мкФ в сети 230 В

Числа для ориентировки: 1 мкФ на 50 Гц — это $- 3183 j$ Ом, на 1 МГц — всего $- 0, 16 j$ Ом, а на постоянном токе — бесконечность. Тот же вывод для катушки даёт

X_{L} = jω L .

Схема, собранная из одних конденсаторов и катушек, всегда имеет чисто мнимый импеданс: ток и напряжение у неё сдвинуты ровно на 90°, она чисто реактивна. Резисторы добавляют действительную часть. Строго говоря, реактансом называют только мнимую часть импеданса.

Закон Ома для переменного тока. Теперь закон Ома записывается как обычно: $\dot{U} = \dot{I} Z$ , $\dot{I} = \dot{U} / Z$ , — синусоидальное напряжение $\dot{U}$ на схеме с импедансом $Z$ вызывает ток $\dot{I}$ . И импедансы соединяются по тем же правилам, что сопротивления:

Z = Z_{1} + Z_{2} + Z_{3} + \dots (последовательно),

Z = \frac{1}{1/ Z _{1} + 1/ Z _{2} + 1/ Z _{3} + \dots} (параллельно) .

Закон Ома с импедансами

\dot{U} = \dot{I} Z, Z_{R} = R, Z_{C} = - \frac{j}{ω C} = \frac{1}{jω C}, Z_{L} = jω L

Обозначения:

\dot{U}, \dot{I}

Z

j

ω

Три пассивных элемента под синусоидой

	Резистор	Конденсатор	Катушка
Импеданс	$R$	$1/ jω C$	$jω L$
Модуль	$R$	$1/ ω C$ — уменьшается с частотой	$ω L$ — растёт с частотой
Фаза тока относительно напряжения	совпадает	опережает на 90°	отстаёт на 90°
Постоянный ток	$R$	разрыв	короткое замыкание
Средняя мощность	$I^{2} R$	0	0

Итог стоит того: любую схему переменного тока (при одной частоте) можно считать методами, привычными по постоянному току, — законом Ома, формулами соединений, теоремой об эквивалентном источнике. Формула делителя и прочие результаты сохраняют вид, только величины в них комплексные.

Законы Кирхгофа тоже выполняются для комплексных величин: сумма комплексных напряжений вдоль замкнутого контура и сумма комплексных токов в узле равны нулю. Как следствие, в последовательной цепи комплексный ток одинаков всюду.

Упражнение 1.5.1 задача

Проверим метод на знакомом результате. Из правил соединения импедансов получите ёмкость двух конденсаторов $C_{1}$ , $C_{2}$ , соединённых (а) параллельно и (б) последовательно, и сравните с формулами из раздела 1.3. Сделайте то же для двух катушек $L_{1}$ , $L_{2}$ , не связанных магнитно.

Решение

(а) Параллельно: $1/ Z = jω C_{1} + jω C_{2} = jω (C_{1} + C_{2})$ — импеданс одного конденсатора ёмкостью $C = C_{1} + C_{2}$ .
(б) Последовательно: $Z = \frac{1}{jω C _{1}} + \frac{1}{jω C _{2}} = \frac{1}{jω} (\frac{1}{C _{1}} + \frac{1}{C _{2}})$ — это $\frac{1}{jω C}$ при $1/ C = 1/ C_{1} + 1/ C_{2}$ .
Катушки: последовательно $Z = jω (L_{1} + L_{2})$ , то есть $L = L_{1} + L_{2}$ ; параллельно $1/ Z = \frac{1}{jω} (1/ L_{1} + 1/ L_{2})$ , $L = L_{1} L_{2} / (L_{1} + L_{2})$ . Катушки соединяются как резисторы, конденсаторы — наоборот, в полном согласии с прежними выводами.

Опробуем метод на одиночном конденсаторе, потом разберёмся с мощностью в реактивных цепях — последним недостающим кирпичом — и перейдём к самому полезному применению, RC-фильтрам.

Конденсатор 1 мкФ включён в сеть 230 В, 50 Гц. Какой течёт ток? Импеданс $Z = - j / ω C$ , ток $\dot{I} = \dot{U} / Z$ . Начальную фазу напряжения выбираем как удобно: пусть $\dot{U} = A$ — действительное число, то есть $U (t) = A cos ω t$ с $A = 2302 \approx 325$ В. Тогда $\dot{I} = jω C A \approx 0, 102 j$ А и $I (t) = Re (0, 102 j e^{jω t}) = - 0, 102 sin ω t$ : амплитуда 102 мА (эффективное значение 72 мА), и ток опережает напряжение на 90° — тот же результат, что получился выше «вручную».

Совет. Когда нужна лишь амплитуда, без фазы, комплексная арифметика сводится к модулям: если

A = B / C

, то

∣ A ∣ = ∣ B ∣/∣ C ∣

, и так же для произведения (задача ниже). Здесь сразу

∣ I ∣ = ∣ U ∣/∣ Z ∣ = ω C ∣ U ∣

Любопытная деталь: этот конденсатор, хотя через него и течёт ток 72 мА, электросчётчик не крутит. Почему — объясняет следующий кусок.

Упражнение 1.5.2 вывод

Докажите, что модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей: если $A = BC$ , то $∣ A ∣ = ∣ B ∣ ∣ C ∣$ ; и что для частного $∣ B / C ∣ = ∣ B ∣/∣ C ∣$ . Что при этом происходит с аргументами (фазами)?

Решение

Запишем числа в показательной форме: $B = ∣ B ∣ e^{j β}$ , $C = ∣ C ∣ e^{jγ}$ . Тогда $BC = ∣ B ∣∣ C ∣ e^{j (β + γ)}$ , а так как $∣ e^{j θ} ∣ = cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ , то $∣ BC ∣ = ∣ B ∣∣ C ∣$ . Точно так же $B / C = (∣ B ∣/∣ C ∣) e^{j (β - γ)}$ . Фазы при умножении складываются, при делении вычитаются — это будет главным инструментом при расчёте фазовых характеристик фильтров.

Мощность в цепях с реактивностью. Мгновенная мощность в любом элементе по-прежнему $P = U I$ . Но когда ток и напряжение сдвинуты по фазе, их произведение ведёт себя непривычно — оно то положительно, то отрицательно (график ниже).

Разберём конденсатор по четвертям периода. На отрезках A и C модуль напряжения растёт, $P > 0$ : конденсатор забирает энергию и запасает её в поле. На отрезках B и D модуль напряжения падает, $P < 0$ : энергия возвращается источнику. За целый период приход и расход в точности равны, и средняя мощность — ноль. То же верно для катушек и любых комбинаций реактивных элементов: они берут энергию взаймы и возвращают её.

1234

Мгновенная мощность конденсатора меняет знак дважды за период; в среднем — ноль

Что здесь что (4)

A: заряд. Напряжение по модулю растёт, $P > 0$ — энергия уходит в поле конденсатора.
B: возврат. Модуль напряжения убывает, $P < 0$ — энергия возвращается источнику.
C: заряд. Снова приём энергии — теперь при обратной полярности.
D: возврат. Снова отдача. Положительная и отрицательная площади равны.

Упражнение 1.5.3 задача

Найдите среднюю за период мощность в элементе, на котором напряжение $U = U_{0} cos ω t$ , а ток $I = I_{0} cos (ω t + φ)$ сдвинут на произвольный угол $φ$ . Убедитесь, что при сдвиге 90° она равна нулю.

Решение

Произведение косинусов раскладываем в сумму:

\overset{ˉ}{P} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} U_{0} I_{0} cos ω t cos (ω t + φ) d t = \frac{U _{0} I _{0}}{2 T} \int_{0}^{T} [cos φ + cos (2 ω t + φ)] d t = \frac{U _{0} I _{0}}{2} cos φ .

Второе слагаемое — косинус двойной частоты, его интеграл за период равен нулю. При

φ = \pm 90°

cos φ = 0

\overset{ˉ}{P} = 0

. Через эффективные значения (

U_{эфф} = U_{0} / 2

I_{эфф} = I_{0} / 2

\overset{ˉ}{P} = U_{эфф} I_{эфф} cos φ

В общем случае среднюю мощность можно найти «в лоб», усредняя произведение за период $T$ :

\overset{ˉ}{P} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} U (t) I (t) d t .

Но с комплексными величинами всё гораздо проще:

Средняя мощность через комплексные величины

\overset{ˉ}{P} = Re (\dot{U} \dot{I}^{*}) = Re (\dot{U}^{*} \dot{I})

Обозначения:

\dot{U}, \dot{I}

^{*}

\overset{ˉ}{P}

Здесь $\dot{U}$ и $\dot{I}$ — комплексные эффективные значения, звёздочка означает комплексное сопряжение. Для нашего конденсатора при эффективном напряжении 1 В: $\dot{U} = 1$ , $\dot{I} = \dot{U} / (- j / ω C) = jω C$ , $\overset{ˉ}{P} = Re (\dot{U} \dot{I}^{*}) = Re (- jω C) = 0$ — как и должно быть.

Возьмём теперь конденсатор и резистор последовательно (схема ниже):

Z = R - \frac{j}{ω C}, \dot{I} = \frac{U ˙}{Z} = \frac{U ˙}{R - j / ω C} = \frac{U ˙ ( R + j / ω C )}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}}, \overset{ˉ}{P} = Re (\dot{U} \dot{I}^{*}) = \frac{U ^{2} R}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}} .

(Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, мы умножили числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю число.) Средняя мощность оказалась меньше, чем произведение модулей

∣ U ∣∣ I ∣

. Отношение этих величин называют коэффициентом мощности:

Коэффициент мощности последовательной RC-цепи

cos φ = \frac{P ˉ}{∣ U ∣∣ I ∣} = \frac{R}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}}

Обозначения:

φ

\overset{ˉ}{P}

∣ U ∣∣ I ∣

0 — чисто реактивная нагрузка, 1 — чисто активная.

Как и следует из предыдущей задачи, это косинус угла сдвига фаз между током и напряжением. Он лежит в пределах от 0 до 1; всё, что меньше единицы, говорит о реактивной составляющей нагрузки.

Конденсатор и резистор последовательно под синусоидой

Упражнение 1.5.4

Чтобы паяльник не перегревался в паузах, его нагреватель сопротивлением 470 Ом включают в сеть 230 В, 50 Гц через конденсатор 4,7 мкФ. Покажите, что вся средняя мощность выделяется в нагревателе (вычислите $∣ I ∣^{2} R$ и сравните с $\overset{ˉ}{P}$ ). Найдите эту мощность, коэффициент мощности и угол сдвига фаз.

P =Втcos φ =φ =°

Решение

$∣ I ∣^{2} = \frac{U ^{2}}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}}$ , и $∣ I ∣^{2} R = \frac{U ^{2} R}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}}$ — ровно $\overset{ˉ}{P}$ : конденсатор энергию не потребляет, греется только резистор.
Числа: $X_{C} = 1/ (2 π \cdot 50 \cdot 4, 7 \cdot 1 0^{- 6}) \approx 677$ Ом, $∣ Z ∣ = 47 0^{2} + 67 7^{2} \approx 824$ Ом, $∣ I ∣ = 230/824 \approx 0, 279$ А, $P = ∣ I ∣^{2} R \approx 36, 6$ Вт (без конденсатора было бы $23 0^{2} /470 \approx 113$ Вт). $cos φ = 470/824 \approx 0, 57$ , ток опережает напряжение на $arctan (677/470) \approx 55°$ . Сеть отдаёт 64 В·А полной мощности, из которых полезно расходуется 36,6 Вт.

Для энергосистем коэффициент мощности — дело серьёзное. Реактивный ток не приносит потребителю никакой пользы, но течёт по проводам генераторов, трансформаторов и линий и греет их, ведь нагрев пропорционален $I^{2} R$ полного тока.

Поэтому бытовой счётчик учитывает только активную мощность $Re (\dot{U} \dot{I}^{*})$ , а промышленные потребители платят и за реактивную. Заводы с множеством асинхронных двигателей (индуктивная нагрузка) ставят батареи конденсаторов, компенсирующие реактанс моторов.

Упражнение 1.5.5

Двигатель вентилятора в первом приближении — последовательная RL-цепь: $R = 25$ Ом, $L = 0, 12$ Гн, сеть 230 В, 50 Гц. Каков его коэффициент мощности? (а) Какой конденсатор нужно включить последовательно, чтобы коэффициент мощности стал равен единице? Покажите, что $C = 1/ ω^{2} L$ . (б) Какой конденсатор нужен при включении параллельно двигателю (как делают на практике)?

cos φ без C =C_посл =мкФC_пар =мкФ

Решение

Реактанс катушки $ω L = 314, 2 \cdot 0, 12 \approx 37, 7$ Ом, поэтому без компенсации $cos φ = R / R^{2} + ω^{2} L^{2} = 25/45, 2 \approx 0, 55$ : из сети берётся почти вдвое больший ток, чем нужно для той же активной мощности.
(а) $Z = R + jω L + \frac{1}{jω C} = R + j (ω L - 1/ ω C)$ . Мнимая часть исчезает при $ω L = 1/ ω C$ , то есть $C = 1/ ω^{2} L = 1/ (314, 2^{2} \cdot 0, 12) \approx 84$ мкФ. (Это условие последовательного резонанса — о нём ниже в этом разделе.)
(б) Проводимость RL-ветви $Y = \frac{1}{R + jω L} = \frac{R - jω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ , конденсатор добавляет $+ jω C$ . Мнимая часть обнуляется при $ω C = \frac{ω L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}}$ : $C = \frac{L}{R ^{2} + ω ^{2} L ^{2}} = \frac{0 , 12}{625 + 1421} \approx 59$ мкФ. Параллельная компенсация удобнее: конденсатор не стоит на пути тока двигателя и не меняет напряжение на нём.

Делитель с импедансами. Вспомним делитель из двух резисторов (раздел 1.1) и заменим одно или оба плеча конденсатором, катушкой или любой их комбинацией с резисторами (схема ниже, $Z_{1}$ и $Z_{2}$ — произвольные импедансы). Расчёт не меняется ни на йоту:

\dot{I} = \frac{U ˙ _{вх}}{Z _{полн}}, Z_{полн} = Z_{1} + Z_{2}, \dot{U}_{вых} = \dot{I} Z_{2} = \dot{U}_{вх} \frac{Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} .

Только теперь коэффициент деления — комплексное число, зависящее от частоты. Вместо того чтобы разглядывать общую формулу, рассмотрим самые важные частные случаи.

Делитель из импедансов

\dot{U}_{вых} = \dot{U}_{вх} \frac{Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}

Обозначения:

Z_{1}

Z_{2}

Знакомая формула делителя — только с комплексными величинами.

123

Делитель из двух произвольных импедансов

Что здесь что (3)

$Z_{1}$ . Если $Z_{1}$ — резистор, а $Z_{2}$ — конденсатор, получится фильтр нижних частот; если наоборот — фильтр верхних.
$Z_{2}$ . Выходное напряжение — падение на нём: $\dot{I} Z_{2}$ .
Выход. Коэффициент передачи зависит от частоты — это и есть фильтр (следующий пункт).

1.5.2RC-фильтры

≈ 16 мин4 упр.

Главное

ФВЧ: C последовательно, R на землю; ФНЧ: R последовательно, C на землю. Точка −3 дБ у обоих $f = 1/2 π RC$ .
За изломом наклон 20 дБ/декада (6 дБ/октава); фаза уходит от 0 к ∓90°, на изломе ∓45°.
Разделительный конденсатор — тот же ФВЧ; срез ставят ниже самой низкой полезной частоты.
Нагрузка фильтра должна быть много больше $R$ , а источник — легко работать на $R$ .

Импеданс конденсатора $Z_{C} = - j / ω C$ меняется с частотой, а значит, делитель из R и C можно настроить так, чтобы одни частоты он пропускал, а другие давил. Этим фильтрам — самым простым и самым ходовым — мы будем возвращаться всю дорогу; фильтры посложнее описаны в главе 5.

Фильтр высоких частот. Поставим конденсатор последовательно, а резистор — с выхода на землю (схема ниже). Комплексный закон Ома даёт ток и напряжение на резисторе, а амплитуду выхода находим как модуль:

U_{вых} = (\dot{U}_{вых} \dot{U}_{вых}^{*})^{1/2} = \frac{R}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}} U_{вх} .

ток и выход с учётом фазы

\dot{I} = \frac{U ˙ _{вх}}{Z _{полн}} = \frac{U ˙ _{вх}}{R - j / ω C} = \frac{U ˙ _{вх} ( R + j / ω C )}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}},

выход — падение на резисторе:

\dot{U}_{вых} = \dot{I} R = \frac{U ˙ _{вх} ( R + j / ω C ) R}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}} .

Обычно фаза интересна меньше, чем амплитуда; модуль этого выражения и даёт формулу выше.

Сравните с резистивным делителем $U_{вых} = U_{вх} R_{2} / (R_{1} + R_{2})$ : на месте суммы сопротивлений стоит модуль полного импеданса $∣ Z ∣ = R^{2} + 1/ ω^{2} C^{2}$ . На комплексной плоскости (рисунок справа) импеданс RC-цепи $Z = R - j / ω C$ — вектор с проекциями $R$ и $- 1/ ω C$ ; его длина и есть $∣ Z ∣$ , а угол $φ = arctan (- 1/ ω CR)$ .

Фильтр высоких частот (ФВЧ)

Импеданс последовательной RC-цепи как вектор на комплексной плоскости

Итак, без учёта фазы передача ФВЧ такова (график ниже):

АЧХ фильтра высоких частот

\frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{R}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}} = \frac{ω RC}{1 + ω ^{2} R ^{2} C ^{2}}

Обозначения:

ω

RC

При

ω ≫ 1/ RC

передача близка к 1, при

ω ≪ 1/ RC

— к нулю.

Тот же результат получается сразу как отношение модулей (по правилу из задачи выше): модуль импеданса нижнего плеча $R$ , делённый на модуль импеданса всей цепочки. На высоких частотах, $ω ≫ 1/ RC$ , конденсатор почти закоротка, и выход почти равен входу; на низких он почти разрыв, и выход стремится к нулю. Отсюда и название — фильтр высоких частот (ФВЧ): высокие частоты он пропускает.

Применения на каждом шагу. Например, режим «закрытого входа» осциллографа (связь по переменному току) — это ФВЧ со срезом около 10 Гц: он отрезает большую постоянную составляющую и позволяет растянуть на весь экран крошечную переменную, скажем пульсации на шине питания.

Фильтр (как и любую схему, которая ведёт себя как фильтр) принято характеризовать частотой излома АЧХ — точкой −3 дБ, где выход составляет $1/ 2$ входа. Для RC-фильтра:

Частота среза RC-фильтра

f_{3 дБ} = \frac{1}{2 π RC}

Обозначения:

f_{3 дБ}

R

C

Одна формула для ФВЧ и ФНЧ: 1 кОм и 0,01 мкФ — 15,9 кГц; 10 кОм и 1 мкФ — 15,9 Гц.

АЧХ фильтра высоких частот в линейном масштабе

На нулевой частоте передача ФВЧ — ноль: постоянный ток через конденсатор не проходит.

Это свойство делает конденсатор незаменимым разделительным элементом. Почти все межкаскадные связи в усилителях идут через конденсаторы: каждый каскад работает при своём постоянном напряжении, и передавать его дальше нельзя. Хороший звуковой усилитель ставит разделительные конденсаторы на все входы — заранее неизвестно, с каким постоянным смещением придёт сигнал от источника. Номиналы R и C выбирают так, чтобы весь нужный диапазон (для звука — 20 Гц…20 кГц) проходил без потерь.

Конструируя фильтры, постоянно приходится прикидывать импеданс конденсатора или катушки на какой-то частоте. Для этого удобен график $∣ Z ∣ = 1/2 π f C$ и $∣ Z ∣ = 2 π f L$ в логарифмическом масштабе (ниже): в нём все декады одинаковы, и по нему легко «прочитать» любое сочетание ёмкости или индуктивности с частотой.

Номограмма реактансов: конденсаторы (падающие линии, 1/2πfC) и катушки (растущие, оранжевые, 2πfL)

Практический пример — ФВЧ на схеме ниже: $1/ (2 π \cdot 1 кОм \cdot 0, 01 мкФ) = 15, 9$ кГц. Два условия его правильной работы. Во-первых, то, что подключено к выходу, должно иметь импеданс много больше 1 кОм, иначе нагрузка ляжет параллельно резистору и сдвинет срез. Во-вторых, источник должен без труда работать на 1 кОм: на высоких частотах фильтр для него — просто резистор $R$ на землю, и слабый источник «просядет».

1234

ФВЧ со срезом 15,9 кГц

Что здесь что (4)

Источник. Должен выдерживать нагрузку 1 кОм: выше среза фильтр для него — просто резистор.
C = 0,01 мкФ. Отрезает постоянную составляющую; на 15,9 кГц его реактанс равен 1 кОм.
R = 1 кОм. Вместе с C задаёт $f_{3 дБ} = 1/2 π RC = 15, 9$ кГц.
Нагрузка. Её импеданс должен быть много больше 1 кОм, иначе характеристика сместится.

Правило. Нагрузка фильтра — хотя бы в 10 раз больше его

R

; выходное сопротивление источника — хотя бы в 10 раз меньше

R

. Иначе фильтр и его соседи искажают друг друга.

Фильтр низких частот. Переставим R и C: резистор последовательно, конденсатор с выхода на землю (схема ниже). Поведение зеркальное:

АЧХ и фаза фильтра низких частот

\frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{1}{1 + ω ^{2} R ^{2} C ^{2}}, φ = - arctan ω RC

Обозначения:

ω RC

φ

Это фильтр низких частот (ФНЧ), и его точка −3 дБ — та же $f = 1/2 π RC$ . ФНЧ стоят повсюду: перед АЦП, чтобы на вход не прошли частоты выше половины частоты выборки; на входах звуковых усилителей и датчиков, чтобы излучение радиостанций, мобильных телефонов и импульсных блоков питания (от сотен килогерц до гигагерц) не детектировалось и не превращалось в слышимый шум.

Два RC-фильтра с одной частотой среза

1/2 π RC

	ФВЧ	ФНЧ
Последовательно	C	R
На землю	R	C
$U_{вых} / U_{вх}$	$ω RC / 1 + ω^{2} R^{2} C^{2}$	$1/ 1 + ω^{2} R^{2} C^{2}$
Фаза выхода	опережает: от +90° до 0	отстаёт: от 0 до −90°
Постоянный ток	не проходит	проходит без ослабления
Во времени	дифференцирует	интегрирует
Где встречается	разделительный конденсатор, «закрытый вход»	защита от ВЧ-помех, сглаживание перед АЦП

Фильтр низких частот (ФНЧ)

АЧХ ФНЧ: ровно до излома, потом спад

Упражнение 1.5.6 вывод

Получите комплексный коэффициент передачи ФНЧ, а из него — амплитуду и фазу выхода. Каковы они на частоте среза?

Решение

По формуле делителя $\dot{U}_{вых} = \dot{U}_{вх} \frac{Z _{C}}{R + Z _{C}} = \dot{U}_{вх} \frac{1/ jω C}{R + 1/ jω C} = \frac{U ˙ _{вх}}{1 + jω RC}$ (числитель и знаменатель умножили на $jω C$ ). Домножив на сопряжённое: $\frac{U ˙ _{вых}}{U ˙ _{вх}} = \frac{1 - jω RC}{1 + ω ^{2} R ^{2} C ^{2}}$ . Модуль $1/ 1 + ω^{2} R^{2} C^{2}$ , фаза $φ = - arctan ω RC$ — выход отстаёт, от 0 на низких частотах до −90° на высоких. На частоте среза ( $ω RC = 1$ ) модуль $1/ 2$ (−3 дБ), фаза −45°.

Выход ФНЧ сам является источником сигнала для следующего каскада; каков его внутренний импеданс? Пусть фильтр питается от идеального источника (с нулевым импедансом). Чтобы найти выходной импеданс, мысленно закоротим источник — для приращений его импеданс нулевой — и получим $R$ параллельно $C$ . На низких частотах конденсатор почти разрыв, и выходной импеданс близок к $R$ ; на высоких конденсатор шунтирует выход, и импеданс стремится к нулю.

А для источника, который питает фильтр, тот является нагрузкой: на низких частотах — $R$ плюс то, что подключено к выходу, а на высоких — просто $R$ .

На следующем графике АЧХ ФНЧ построена так, как это принято у инженеров: в логарифмическом масштабе по обеим осям. По вертикали фактически отложены децибелы, по горизонтали — декады (октавы), и равные отрезки отвечают равным отношениям. Под ним — фаза: линейная шкала градусов при логарифмической шкале частот.

Логарифмический масштаб хорош тем, что на нём видна и область сильного ослабления (в главе 5 таких графиков будет много). Далеко за изломом АЧХ становится прямой с наклоном −20 дБ на декаду, что то же самое, что −6 дБ на октаву (второе выражение инженеры любят больше). Фаза плавно уходит от 0 (много ниже излома) к −90° (много выше), проходя −45° точно на частоте −3 дБ.

Правило. Для одного RC-звена фаза отличается от асимптот (0 и 90°) примерно на 6° на частотах

0, 1 f_{3 дБ}

10 f_{3 дБ}

; на изломе — ровно 45°.

0,707= −3 дБ на срезе

20 дБ/дек= 6 дБ/октава

±6°на 0,1 f и 10 f

3 дБнаибольшая ошибка асимптот

123

а) АЧХ ФНЧ в логарифмическом масштабе и её асимптоты

Что здесь что (3)

Полоса пропускания. Ниже излома ослабления нет: асимптота — 0 дБ.
Излом, −3 дБ. $f = 1/2 π RC$ ; здесь реальная кривая на 3 дБ ниже точки пересечения асимптот.
20 дБ на декаду. Частота выросла в 10 раз — выход упал ещё в 10 раз (6 дБ на каждую октаву).

б) Фаза ФНЧ: −45° точно на изломе

Упражнение 1.5.7 задача

Проверьте числа из правила выше: на сколько градусов фаза однозвенного ФНЧ отличается от асимптот (0 и −90°) на частотах $0, 1 f_{3 дБ}$ и $10 f_{3 дБ}$ ? Насколько там отличается АЧХ от своих асимптот в децибелах?

Решение

Фаза $φ = - arctan (f / f_{3 дБ})$ . При $f = 0, 1 f_{3 дБ}$ : $φ = - arctan 0, 1 = - 5, 71°$ , на 5,7° ниже нуля. При $f = 10 f_{3 дБ}$ : $φ = - arctan 10 = - 84, 29°$ , на те же 5,7° не доходя до −90° (симметрия следует из $arctan x + arctan (1/ x) = 90°$ ).
АЧХ: при $0, 1 f$ модуль $1/ 1, 01$ , это −0,043 дБ — от асимптоты 0 дБ не отличить; при $10 f$ — $1/ 101$ , −20,04 дБ против асимптоты −20 дБ. Самое большое расхождение — прямо на изломе, 3 дБ.

Возникает вопрос: можно ли построить фильтр с любой наперёд заданной АЧХ и одновременно с любой заданной фазовой характеристикой? Оказывается, нет. Любой физически реализуемый фильтр подчиняется принципу причинности — отклик не может появиться раньше воздействия, — и это связывает амплитуду и фазу жёсткими соотношениями. Для простейших фильтров (их называют минимально-фазовыми) АЧХ полностью определяет фазовую характеристику.

Дифференциаторы и интеграторы глазами частот. Дифференцирующая цепь из раздела 1.3 — это та же самая схема, что ФВЧ. Как её называть, зависит лишь от того, на что мы смотрим: на форму сигнала во времени или на частотную характеристику.

Условие хорошего дифференцирования ( $U_{вых} ≪ U_{вх}$ ) теперь можно сформулировать на языке частот: сигнал должен лежать много ниже точки −3 дБ. Проверка на синусоиде $U_{вх} = sin ω t$ :

U_{вых} = RC \frac{d}{d t} sin ω t = ω RC cos ω t,

и малость выхода означает

ω RC ≪ 1

, то есть

RC ≪ 1/ ω

— как раз «ниже среза».

Правило. Дифференциатор работает, если самые высокие частоты сигнала много ниже его точки −3 дБ. Интегратор (по сути ФНЧ) — если самые низкие частоты сигнала много выше его точки −3 дБ.

А если взять катушку? Из резистора и катушки тоже получаются ФНЧ и ФВЧ, но такие фильтры редки: катушки крупнее, дороже и дальше от идеала, чем конденсаторы. Когда есть выбор, выбирайте конденсатор.

Два важных исключения. Ферритовая бусина — крошечное колечко из феррита, надетое на провод. Провод становится слегка индуктивным, его импеданс на высоких частотах растёт и гасит паразитную генерацию и ВЧ-помехи, при этом, в отличие от RC-фильтра, не добавляя сопротивления для постоянного тока. Высокочастотный дроссель — несколько витков на ферритовом сердечнике — делает то же самое в радиосхемах.

Упражнение 1.5.8

Входное сопротивление гитарной педали эффектов 47 кОм. Какой разделительный конденсатор нужен, чтобы срез по уровню −3 дБ был не выше 5 Гц? Каково ослабление (в дБ) и фазовый сдвиг на 20 Гц, если поставить ближайший стандартный номинал 1 мкФ?

C_min =мкФослабление на 20 Гц =дБφ на 20 Гц =°

Решение

Разделительный конденсатор вместе с входным сопротивлением — это ФВЧ: $f = 1/2 π RC \leq 5$ Гц, отсюда $C \geq 1/ (2 π \cdot 47 \cdot 1 0^{3} \cdot 5) \approx 0, 68$ мкФ. С конденсатором 1 мкФ $f_{3 дБ} \approx 3, 4$ Гц. На 20 Гц: $x = 20/3, 39 \approx 5, 9$ , $K = x / 1 + x^{2} \approx 0, 986$ , то есть около −0,12 дБ — на слух незаметно. А вот фаза ещё сдвинута ощутимо: $arctan (1/ x) \approx 9, 6°$ . Если нужна фазовая точность на нижнем краю диапазона, срез ставят ещё ниже.

Упражнение 1.5.9

Перед АЦП с частотой выборки 400 кГц стоит ФНЧ: $R = 4, 7$ кОм, $C = 2, 2$ нФ. Найдите частоту среза, а также коэффициент передачи (в разах и в децибелах) и фазовый сдвиг на частоте 200 кГц — половине частоты выборки.

f_3дБ =кГцK =K =дБφ =°

Решение

$f_{3 дБ} = 1/ (2 π \cdot 4700 \cdot 2, 2 \cdot 1 0^{- 9}) \approx 15, 4$ кГц. На 200 кГц: $x = 200/15, 39 \approx 13, 0$ , $K = 1/ 1 + x^{2} \approx 0, 077$ ( $\approx - 22, 3$ дБ), $φ = - arctan 13 \approx - 85, 6°$ . Асимптота даёт почти то же: $l g 13 = 1, 11$ декады, $- 20 \cdot 1, 11 \approx - 22, 3$ дБ.
Для 12-разрядного АЦП (динамический диапазон около 72 дБ) такого подавления мало: помеха на 200 кГц «завернётся» в полосу полезного сигнала. Нужен фильтр с более крутым спадом — о многозвенных фильтрах чуть ниже.

Модель: АЧХ и ФЧХ RC-фильтров

1.5.3Векторные диаграммы

≈ 5 мин3 упр.

Главное

Импедансы и напряжения изображают стрелками: активная часть — по горизонтали, реактивная — по вертикали.
На $f = 1/2 π RC$ треугольник равнобедренный: выход составляет $1/ 2$ входа (−3 дБ, а не −6 дБ), сдвиг 45°.
Угол между стрелками входа и выхода — это сдвиг фаз.

Вот загадка, на которой спотыкается почти каждый. На частоте среза $f = 1/2 π RC$ реактанс конденсатора по модулю равен $R$ . Казалось бы, делитель из двух «одинаковых» плеч должен делить напряжение пополам, то есть ослаблять на 6 дБ. А RC-фильтр ослабляет там лишь на 3 дБ. Где ошибка в рассуждении? Её проще всего увидеть на картинке.

Векторная диаграмма — графический способ работы с комплексными величинами. По горизонтальной оси откладывают действительную (активную) часть импеданса, по вертикальной — мнимую (реактивную; у конденсатора она отрицательна и смотрит вниз). В последовательной цепи ток у всех элементов общий, поэтому напряжения пропорциональны импедансам, и ту же картинку можно читать как диаграмму напряжений.

Нарисуем RC-делитель на частоте, где $∣ X_{C} ∣ = R$ (рисунок ниже). Стрелка $R$ идёт вправо, стрелка реактанса той же длины — вниз; входное напряжение (на всей цепочке) пропорционально гипотенузе, выходное (на $R$ , это ФВЧ) — катету. Треугольник равнобедренный и прямоугольный, так что гипотенуза длиннее катета в $2$ раз, а не вдвое: напряжения на R и C сдвинуты на 90°, и складываются они как катеты, а не как числа. Отсюда и −3 дБ. А угол между гипотенузой и катетом — 45° — это сдвиг фаз: в точке −3 дБ выход ФВЧ опережает вход на 45°.

Диаграммы особенно удобны в цепях с R, L и C, где хочется сразу видеть и амплитуды, и фазы. Из неё же за пару строк получается характеристика ФВЧ, которую мы вывели алгебраически, — это предлагается в задаче ниже.

1234

RC-цепь на частоте среза: равнобедренный прямоугольный треугольник

Что здесь что (4)

R. Активная часть — по горизонтали; напряжение на R пропорционально ей (выход ФВЧ).
−j/ωC. Реактанс конденсатора смотрит вниз; на этой частоте его длина равна R.
Гипотенуза $2 R$ . Полный импеданс, а с ним и входное напряжение: в $2$ раз больше выхода — это −3 дБ.
Угол 45°. Сдвиг фаз: выход ФВЧ опережает вход на 45°.

Те же стрелки как напряжения ФВЧ на произвольной частоте

Упражнение 1.5.10 задача

Не прибегая к алгебре, по векторной диаграмме найдите для ФВЧ отношение $U_{вых} / U_{вх}$ и сдвиг фаз на произвольной частоте.

Решение

Ток один на оба элемента. Напряжение на резисторе — стрелка длины $I R$ вдоль горизонтали, на конденсаторе — стрелка длины $I / ω C$ , повёрнутая на −90°. Вход — их сумма, гипотенуза: $U_{вх} = I R^{2} + 1/ ω^{2} C^{2}$ ; выход — катет $I R$ . Значит,

\frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{R}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}} .

Угол между гипотенузой и катетом

R

tan φ = (1/ ω C) / R

, то есть

φ = arctan (1/ ω RC)

; выход опережает вход — почти на 90° на низких частотах и почти на 0 на высоких.

Упражнение 1.5.11

Сглаживающий ФНЧ датчика: $R = 2, 2$ кОм, $C = 47$ нФ. На какой частоте он ослабляет сигнал на 40 дБ (в 100 раз) и каков там фазовый сдвиг? До какой частоты (в долях $f_{3 дБ}$ ) ослабление не превышает 1 дБ?

f (−40 дБ) =кГцφ =°f (−1 дБ)/f_3дБ =

Решение

$f_{3 дБ} = 1/ (2 π \cdot 2200 \cdot 47 \cdot 1 0^{- 9}) \approx 1539$ Гц. Условие $1/ 1 + x^{2} = 0, 01$ даёт $x = 9999 \approx 100$ : $f \approx 154$ кГц — ровно две декады выше среза, как и обещает асимптота 20 дБ/декада. Фаза $- arctan 100 \approx - 89, 4°$ — почти предельные −90°.
Для −1 дБ: $1 + x^{2} = 1 0^{0, 1} = 1, 259$ , $x = 0, 259 \approx 0, 51$ . На векторной диаграмме это треугольник, в котором катет $R$ вдвое короче катета $1/ ω C$ . Вывод: «ровная» полоса однозвенного фильтра с точностью 1 дБ кончается уже на половине частоты среза — фильтр пологий.

Упражнение 1.5.12 задача

Тем же графическим способом получите АЧХ и фазу ФНЧ.

Решение

Треугольник тот же, но выход снимается с конденсатора — это катет длиной $I / ω C$ . Отношение

\frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{1/ ω C}{R ^{2} + 1/ ω ^{2} C ^{2}} = \frac{1}{1 + ω ^{2} R ^{2} C ^{2}} .

Угол между гипотенузой и этим катетом:

tan ψ = R / (1/ ω C) = ω RC

; выход отстаёт на

ψ = arctan ω RC

В следующей главе векторная диаграмма подскажет красивую схему: фазовращатель, который сдвигает фазу синусоиды, не меняя её амплитуды (раздел 2.2).

1.5.4Крутизна спада и «полюсы»

≈ 4 мин1 упр.

Главное

Одно RC-звено даёт спад 6 дБ/октава (20 дБ/декада); $n$ звеньев — $6 n$ дБ/октава, « $n$ -полюсный» фильтр.
Звенья без развязки нагружают друг друга, и излом АЧХ «расплывается».
Средство — делать каждое следующее звено высокоомнее, а лучше ставить буферы (активные фильтры).

Пример с АЦП показал, что одного RC-звена часто не хватает: спад за изломом слишком пологий. Посмотрим на него количественно. Правее излома выход ФНЧ убывает как $1/ f$ . Значит, при удвоении частоты — изменении на одну октаву, как говорят музыканты, — амплитуда падает вдвое, на 6 дБ. Простой RC-фильтр имеет спад 6 дБ на октаву, или, что то же, 20 дБ на декаду.

1 звено6 дБ/октава

2 звена12 дБ/октава

3 звена18 дБ/октава

Поставим звенья цепочкой — каждое добавит свои 6 дБ/октава: два звена дадут 12 дБ/октава, три — 18 дБ/октава. Именно так обычно и описывают поведение фильтра за полосой пропускания.

Фильтр из трёх RC-звеньев часто называют «трёхполюсным». Слово пришло из анализа цепей с помощью передаточной функции на комплексной плоскости частот (у инженеров она зовётся $s$ -плоскостью): каждое RC-звено вносит в неё один «полюс». Сам этот аппарат нам пока не понадобится, а вот слово стоит запомнить.

Но есть подвох. Формулу RC-звена мы выводили, считая, что источник идеален (нулевой импеданс), а нагрузка бесконечна. В цепочке это не так: каждое следующее звено нагружает предыдущее (особенно если они одинаковые), и итоговая АЧХ уже не равна произведению АЧХ звеньев.

Три способа собрать многозвенный фильтр

Одинаковые звенья подрядвторое нагружает первое: на $ω = 1/ RC$ вместо −6 дБ получается −9,5 дБ
Каждое следующее звено высокоомнее $10 R$ и $C /10$ — почти как с развязкой (−6,4 дБ)
Буферы между звеньямиактивные фильтры на транзисторах или ОУ — звенья перестают влиять друг на друга

Чтобы взаимное влияние стало пренебрежимым, можно делать импеданс каждого следующего звена много больше импеданса предыдущего. Ещё лучше — разделить звенья буферами на транзисторах или операционных усилителях; так устроены активные фильтры (глава 5).

1234

Два одинаковых RC-звена подряд, без развязки

Что здесь что (4)

Первое звено. Отдельно взятое — ФНЧ со срезом $1/2 π RC$ .
Средний узел. Сюда подключено второе звено, и его импеданс шунтирует первый конденсатор.
Второе звено. Его вход — нагрузка для первого; чтобы не мешать, оно должно быть намного высокоомнее.
Выход. Далеко за изломом спад 12 дБ/октава в любом варианте.

Двухзвенный ФНЧ: 12 дБ/октава за изломом, но сам излом зависит от развязки

Упражнение 1.5.13

Двухзвенный ФНЧ собран из одинаковых звеньев $R = 4, 7$ кОм, $C = 33$ нФ без развязки. Найдите его передачу (в дБ) на частоте вдвое выше частоты среза одного звена, то есть при $ω = 2/ RC$ ( $f \approx 2, 05$ кГц). Сравните с вариантом, где звенья разделены идеальным буфером, и с вариантом, где второе звено в 10 раз высокоомнее ( $10 R$ , $C /10$ , постоянная времени та же).

без буфера =дБс буфером =дБвторое ×10 =дБ

Решение

Обозначим $x = ω RC$ . Запишем законы Кирхгофа для среднего узла $U_{1}$ и для выхода $U_{2}$ (второе звено — $R_{2}$ и $C_{2}$ ):

\frac{U _{вх} - U _{1}}{R} = jω C U_{1} + \frac{U _{1} - U _{2}}{R _{2}}, \frac{U _{1} - U _{2}}{R _{2}} = jω C_{2} U_{2} .

Исключив

U_{1}

, для одинаковых звеньев (

R_{2} = R

C_{2} = C

) получим

\frac{U _{2}}{U _{вх}} = \frac{1}{1 - x ^{2} + 3 j x},

а для

R_{2} = 10 R

C_{2} = C /10

\frac{U _{2}}{U _{вх}} = \frac{1}{1 - x ^{2} + 2 , 1 j x} .

При

x = 2

: без развязки

∣ H ∣ = 1/∣ - 3 + 6 j ∣ = 1/6, 71

(−16,5 дБ); с буфером

∣ H ∣ = (1/ 1 + 4)^{2} = 0, 2

(−14,0 дБ); вариант «×10» —

1/∣ - 3 + 4, 2 j ∣ = 1/5, 16

(−14,3 дБ), почти как с буфером. Далеко за изломом все три кривые идут параллельно, 12 дБ/октава, но у одинаковых звеньев излом «размазан» и полоса пропускания уже.

1.5.5Резонансные контуры и активные фильтры

≈ 8 мин3 упр.

Главное

Резонанс LC-контура: $f_{0} = 1/2 π L C$ — реактансы L и C равны по модулю и противоположны по знаку.
Параллельный контур даёт пик (импеданс → ∞), последовательный — провал, «ловушку» (импеданс → 0).
Добротность $Q = f_{0} /Δ f$ : для параллельного контура $Q = ω_{0} RC$ , для последовательного $Q = ω_{0} L / R$ .

Радиоприёмник должен выделить одну станцию из сотен, работающих на соседних частотах. Пологий склон RC-фильтра для этого не годится — нужна АЧХ с острым пиком на одной частоте. Такую дают либо сочетания конденсаторов с катушками, либо конденсаторы в особых схемах с усилителями — активные фильтры. Здесь — знакомство с LC-цепями; подробный разговор об обоих видах фильтров ждёт в главе 5.

Начнём с параллельного контура (схема ниже): катушка и конденсатор включены параллельно, а сигнал подаётся через резистор $R$ . Импеданс контура на частоте $f$ :

\frac{1}{Z _{L C}} = \frac{1}{Z _{L}} + \frac{1}{Z _{C}} = \frac{1}{jω L} + jω C, Z_{L C} = \frac{j}{1/ ω L - ω C} .

Вместе с

R

получается делитель. Катушка и конденсатор реагируют на частоту противоположно: реактанс одной растёт, другого падает. На частоте, где они равны по модулю, знаменатель обращается в ноль — это резонансная частота. Импеданс параллельного контура здесь стремится к бесконечности, контур перестаёт шунтировать выход, и на АЧХ появляется острый пик (график рядом со схемой).

Резонансная частота LC-контура

f_{0} = \frac{1}{2 π L C}

Обозначения:

f_{0}

L

C

2,2 мкГн и 100 пФ — 10,7 МГц; 10 мГн и 7 нФ — 19 кГц.

Реактансы катушки и конденсатора: пересечение — резонанс

Параллельный LC-контур — полосовой (избирательный) фильтр

123

Пик на резонансной частоте; ширина по −3 дБ — f0/Q

Что здесь что (3)

Резонанс $f_{0}$ . Импеданс контура бесконечен — на выход проходит весь входной сигнал.
Полоса по −3 дБ. Ширина пика $Δ f$ ; добротность $Q = f_{0} /Δ f$ .
Вдали от резонанса. Контур почти закоротка: на низких частотах — катушкой, на высоких — конденсатором.

В реальной схеме пик не бесконечно острый: его скругляют потери в катушке и конденсаторе. В хороших деталях они малы, а если пик нужно нарочно сделать шире, параллельно контуру ставят резистор, понижая добротность $Q$ .

Параллельный резонансный контур — основа избирательных цепей радиотехники: делая L или C переменными, контур перестраивают на нужную станцию. Острота пика зависит от того, чем контур питается: резонанс получается тем острее, чем больше сопротивление источника. Поэтому контуры обычно питают чем-то близким к источнику тока, например коллектором транзистора.

Добротность — мера остроты: резонансная частота, делённая на ширину пика по уровню −3 дБ. Для параллельной RLC-цепи $Q = ω_{0} RC$ .

Если же включить L и C последовательно (схема ниже), получится противоположный эффект. Импеданс такой цепочки $Z = j (ω L - 1/ ω C)$ на той же частоте $f_{0} = 1/2 π L C$ обращается в ноль: контур замыкает сигнал на землю. Это режекторный фильтр, или «ловушка», — провал на АЧХ (график рядом). Для последовательной RLC-цепи $Q = ω_{0} L / R$ . Применяют такие ловушки тоже в основном в радиотехнике и при подавлении помех известной частоты.

Добротность

Q = \frac{f _{0}}{Δ f _{3 дБ}}, Q_{∥} = ω_{0} RC, Q_{посл} = \frac{ω _{0} L}{R}

Обозначения:

Δ f_{3 дБ}

Q_{∥}

Q_{посл}

Для параллельного контура удобно

Q = R / X_{0}

, где

X_{0} = ω_{0} L = 1/ ω_{0} C

Два резонансных контура

	Параллельный LC	Последовательный LC
Импеданс на $f_{0}$	→ ∞	→ 0
АЧХ делителя	пик — полосовой фильтр	провал — режекторный фильтр, «ловушка»
Добротность	$Q = ω_{0} RC$	$Q = ω_{0} L / R$
Острее, если	сопротивление источника больше	сопротивление источника меньше
Что мешает	потери в L и C скругляют пик	глубина провала ограничена: $r / (R + r)$

1234

Последовательный LC-контур на землю — режекторный фильтр

Что здесь что (4)

R. Сопротивление источника — верхнее плечо делителя; от него зависит $Q = ω_{0} L / R$ .
L. Реактанс $+ jω L$ .
C. Реактанс $- j / ω C$ ; на $f_{0}$ два реактанса гасят друг друга.
Выход. На $f_{0}$ контур закорачивает его на землю — провал АЧХ.

Провал на резонансной частоте

Упражнение 1.5.14 задача

Найдите АЧХ делителя с последовательным LC-контуром в нижнем плече. Затем учтите сопротивление провода катушки $r$ : какой окажется глубина провала на резонансе? Как связана ширина провала с $Q = ω_{0} L / R$ ?

Решение

Плечи делителя: $Z_{1} = R$ , $Z_{2} = jω L + 1/ jω C = j (ω L - 1/ ω C)$ .

\frac{U ˙ _{вых}}{U ˙ _{вх}} = \frac{j ( ω L - 1/ ω C )}{R + j ( ω L - 1/ ω C )}, \frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{∣ ω L - 1/ ω C ∣}{R ^{2} + ( ω L - 1/ ω C ) ^{2}} .

На

ω_{0} = 1/ L C

числитель равен нулю — идеальный контур подавляет эту частоту бесконечно. Вдали от резонанса передача стремится к единице. Края провала (−3 дБ) — там, где

∣ ω L - 1/ ω C ∣ = R

. Вблизи

ω_{0}

ω L - 1/ ω C \approx 2 L Δ ω

, поэтому полная ширина провала

2Δ ω = R / L

, и

Q = ω_{0} / (2Δ ω) = ω_{0} L / R

.
С потерями

Z_{2} = r + j (ω L - 1/ ω C)

, и на резонансе остаётся делитель

∣ H ∣ = r / (R + r)

: глубину провала ограничивает отношение сопротивления катушки к сопротивлению источника.

Упражнение 1.5.15

Контур УПЧ радиоприёмника: $L = 2, 2$ мкГн, $C = 100$ пФ, включён параллельно и питается через $R = 2, 2$ кОм. Найдите резонансную частоту, добротность и полосу пропускания по уровню −3 дБ.

f₀ =МГцQ =Δf =кГц

Решение

$f_{0} = 1/ (2 π 2, 2 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 1 0^{- 10}) \approx 10, 73$ МГц — стандартная промежуточная частота FM-приёмников. Реактанс любого из элементов на резонансе $X_{0} = ω_{0} L \approx 148$ Ом, и $Q = R / X_{0} = 2200/148 \approx 14, 8$ (то же, что $ω_{0} RC$ ). Полоса $Δ f = f_{0} / Q \approx 723$ кГц — для FM-сигнала с полосой около 200 кГц даже с запасом; чтобы сузить полосу, контур питают от источника с большим сопротивлением.

Упражнение 1.5.16

В FM-стереоприёмнике пилот-тон 19 кГц нужно убрать из звукового сигнала «ловушкой»: $L = 10$ мГн, $C = 7$ нФ, источник с сопротивлением 1 кОм. Найдите частоту провала и реальное подавление на ней (в дБ), если сопротивление провода катушки 12 Ом. Какова добротность ловушки?

f₀ =кГцK(f₀) =дБQ =

Решение

$f_{0} = 1/ (2 π 1 0^{- 2} \cdot 7 \cdot 1 0^{- 9}) \approx 19, 0$ кГц. На резонансе реактансы взаимно уничтожаются, остаётся делитель $r / (R + r) = 12/1012 \approx 0, 0119$ , то есть −38,5 дБ. Идеальная катушка дала бы бесконечное подавление — глубину реальной ловушки задают потери.
Добротность $Q = ω_{0} L / R = 2 π \cdot 19000 \cdot 0, 01/1000 \approx 1, 2$ : провал широкий и заденет верхние звуковые частоты (на 15 кГц ослабление уже около 6 дБ, на 10 кГц — 1,4 дБ). Поднять $Q$ можно, понизив сопротивление источника или взяв большую $L$ при меньшей $C$ .

Модель: LC-контуры — пик и провал

Модель: реактивные сопротивления и резонанс

1.5.6Другие работы для конденсатора

≈ 3 мин1 упр.

Главное

Шунтирование: конденсатор параллельно участку цепи «замыкает» переменную составляющую.
Фильтр источника питания — большой конденсатор после выпрямителя.
Времязадание: конденсатор, заряжаемый током, даёт пилу, задержки, развёртки, интервалы АЦП.

Фильтры, резонансные контуры, дифференциаторы и интеграторы — это ещё не всё. Есть несколько применений, которые встретятся буквально в каждой схеме; подробно о них поговорим позже, а пока коротко.

Где работают конденсаторы

Фильтры

Дифференцирование и интегрирование

Шунтирование

Фильтры питания

Времязадание

123

Шунтирующий конденсатор: на резисторе остаётся только постоянное напряжение

Что здесь что (3)

Шунтируемый резистор. На нём должно быть только постоянное (или медленно меняющееся) напряжение.
Конденсатор. На частотах сигнала его импеданс мал по сравнению с сопротивлением резистора — переменная составляющая уходит через него.
Остальная схема. Постоянный режим по-прежнему задают резисторы: конденсатор на постоянном токе — разрыв.

Шунтирование. Часто нужно, чтобы на каком-то участке схемы — обычно на резисторе — было только постоянное или медленно меняющееся напряжение, без переменной составляющей. Решение — подключить параллельно ему конденсатор: импеданс конденсатора падает с частотой, и на частотах сигнала он «закорачивает» переменную составляющую, не трогая постоянного режима.

Правило. Ёмкость шунта выбирают так, чтобы на самой низкой частоте подавляемого сигнала импеданс конденсатора был раз в 10 меньше шунтируемого сопротивления. Примеров впереди множество — от эмиттерных резисторов до цепей питания.

Фильтры блоков питания. Фильтрующий конденсатор блока питания обычно описывают как накопитель энергии, хотя по сути и он шунтирует. Схемам нужно постоянное напряжение, а получают его выпрямлением переменного (раздел 1.6).

После выпрямителя в напряжении остаются пульсации — составляющие удвоенной сетевой частоты и её гармоник. Их гасят конденсаторами большой ёмкости — теми самыми крупными цилиндрами, которые сразу бросаются в глаза, если открыть почти любой прибор. Об источниках питания — дальше в этой главе и в главе 6.

Времязадание и генерация сигналов. Конденсатор, заряжаемый постоянным током, даёт линейно растущее напряжение — на этом построены генераторы пилы и линейно меняющихся сигналов, функциональные генераторы, развёртки осциллографов, интегрирующие АЦП и схемы задержки. RC-цепи задают длительность импульсов одновибраторов в цифровой технике. Всему этому посвящены отдельные разделы в главах о полевых транзисторах, генераторах, цифровой логике и преобразовании сигналов.

Упражнение 1.5.17

Эмиттерный резистор 470 Ом в каскаде звукового усилителя должен работать только по постоянному току. Каким должен быть шунтирующий конденсатор, чтобы на нижней звуковой частоте 20 Гц его импеданс был не больше десятой доли сопротивления резистора?

C =мкФ

Решение

Условие $1/ (2 π f C) \leq 47$ Ом при $f = 20$ Гц: $C \geq 1/ (2 π \cdot 20 \cdot 47) \approx 169$ мкФ — на практике ставят 220 мкФ. На более высоких частотах шунтирование только лучше: импеданс конденсатора падает пропорционально частоте. Обратите внимание, как быстро растёт ёмкость при низкоомном резисторе и низкой частоте — отсюда и электролиты в эмиттерных цепях.

1.5.7Эквивалентный источник для переменного тока

≈ 3 мин1 упр.

Главное

Любой двухполюсник из R, L, C и источников сигнала снаружи — это один источник $\dot{U}_{экв}$ и один комплексный импеданс $Z_{экв}$ .
$\dot{U}_{экв} = \dot{U}_{хх}$ , $Z_{экв} = \dot{U}_{хх} / \dot{I}_{кз}$ ; оба зависят от частоты.

Теорема Тевенина из раздела 1.1 переносится на переменный ток без изменений — нужно лишь заменить сопротивления импедансами. Любой двухполюсник из резисторов, конденсаторов, катушек и источников синусоидального сигнала одной частоты эквивалентен одному источнику сигнала, включённому последовательно с одним комплексным импедансом. Находят их по-прежнему: по напряжению холостого хода и току короткого замыкания, теперь комплексным.

Эквивалентный источник для синусоидальных сигналов

\dot{U}_{экв} = \dot{U}_{хх}, Z_{экв} = \frac{U ˙ _{хх}}{I ˙ _{кз}}

Обозначения:

\dot{U}_{хх}

\dot{I}_{кз}

Z_{экв}

1234

Выход ФНЧ как источник: э.д.с. U_вх/(1 + jωRC) и импеданс R‖Z_C

Что здесь что (4)

R. Если замкнуть выход, весь ток пойдёт через R: $\dot{I}_{кз} = \dot{U}_{вх} / R$ .
C. Без нагрузки выход — напряжение на C: $\dot{U}_{хх} = \dot{U}_{вх} / (1 + jω RC)$ .
$\dot{U}_{экв}$ . Комплексная величина: и амплитуда, и фаза зависят от частоты.
$Z_{экв}$ . $R / (1 + jω RC) = R ∥ Z_{C}$ : на низких частотах ≈ R, на высоких → 0.

Упражнение 1.5.18

ФНЧ из $R = 10$ кОм и $C = 10$ нФ питается от идеального источника синусоиды амплитудой 1 В с угловой частотой $ω = 20000$ рад/с ( $f \approx 3, 2$ кГц). Найдите модуль и фазу эквивалентного импеданса выхода и амплитуду эквивалентной э.д.с.

|Z_экв| =Омarg Z_экв =°|U_экв| =В

Решение

$ω RC = 20000 \cdot 1 0^{4} \cdot 1 0^{- 8} = 2$ . Холостой ход: $\dot{U}_{хх} = \frac{1}{1 + jω RC} = \frac{1}{1 + 2 j}$ , модуль $1/ 5 \approx 0, 447$ В, фаза −63,4°. При коротком замыкании выхода конденсатор закорочен, и $\dot{I}_{кз} = 1/ R$ . Значит, $Z_{экв} = \dot{U}_{хх} / \dot{I}_{кз} = \frac{R}{1 + 2 j} = \frac{10 000 ( 1 - 2 j )}{5} = 2000 - 4000 j$ Ом: модуль 4,47 кОм, фаза −63,4°. Это ровно $R ∥ Z_{C}$ — источник, заменённый коротким замыканием, как и в резистивных схемах. Нагрузка, подключённая к такому выходу, должна быть много больше 4,5 кОм, иначе она сама начнёт менять характеристику фильтра.