1.3. Конденсатор и переменный ток

Конденсатор и его уравнение I = C dU/dt; RC-цепи во времени: постоянная времени, заряд и разряд, задержка; дифференцирующие и интегрирующие цепи, генератор пилы.

≈ 33 мин чтения · пунктирное подчёркивание — наведите или нажмите, чтобы увидеть пояснение

Резистор безразличен ко времени: какое напряжение — такой и ток. Теперь, когда сигналы начали меняться, на сцену выходят два элемента, которые при постоянном токе ничего интересного не делают, — конденсатор и катушка индуктивности. Вместе с резисторами они составляют пассивные линейные цепи, и почти вся аналоговая схемотехника стоит на этих трёх китах.

Конденсатор — самый «вездесущий» из них. Тактовый генератор микроконтроллера, фильтр в блоке питания, развязка по питанию у каждой микросхемы, разделение постоянной и переменной составляющих между каскадами, интеграторы и дифференциаторы, фильтры, вытаскивающие слабый сигнал из помех, — всюду конденсаторы.

Без математики конденсатор не описать, но пугаться не нужно: если какое-то преобразование покажется тёмным, запомните результат и двигайтесь дальше. Понимание придёт с практикой, а производные и интегралы при желании легко освежить по любому учебнику анализа.

1.3.1Конденсаторы

≈ 10 мин3 упр.

Главное

$Q = C U$ , а главное — $I = C d U / d t$ : ток определяет скорость, с которой меняется напряжение.
1 мА на 1 мкФ — это 1000 В/с; мгновенно напряжение на конденсаторе измениться не может.
Параллельные ёмкости складываются, последовательные — по формуле параллельных резисторов.
Энергия $W = \frac{1}{2} C U^{2}$ хранится в электрическом поле и отдаётся обратно при разряде.

Начнём с опыта. Подключим разряженный конденсатор к источнику, дающему постоянный ток 1 мА. Резистор в такой ситуации просто установил бы на себе какое-то напряжение. Конденсатор ведёт себя иначе: напряжение на нём начинает расти, и растёт тем быстрее, чем больше ток и чем меньше ёмкость. Отключите ток — рост остановится, и напряжение останется, пока его что-нибудь не разрядит.

Это следствие определения. Конденсатор — двухвыводной элемент, у которого заряд пропорционален напряжению: при ёмкости $C$ фарад и напряжении $U$ вольт на одной обкладке находится заряд $Q = C U$ кулон, на другой — $- Q$ . Ток — это скорость, с которой заряд приносится на обкладку, так что, продифференцировав $Q = C U$ по времени, получаем главное уравнение:

Уравнение конденсатора

Q = C U \Rightarrow I = C \frac{d U}{d t}

Обозначения:

Q

C

U

d U / d t

Ток определяется не самим напряжением, а тем, как быстро оно меняется.

1 Ф · 1 В/с= 1 А

1 мА → 1 мкФ1000 В/с

мкФ, нФ, пФпривычные ёмкости

Значит, конденсатор — элемент другого рода, чем резистор: напряжение задаёт не ток, а его интеграл, или, наоборот, ток определяется скоростью изменения напряжения. Конденсатор в 1 Ф, напряжение на котором растёт на 1 В в секунду, пропускает ток 1 А. Отсюда важное практическое следствие: напряжение на конденсаторе не может измениться скачком — для этого понадобился бы бесконечный ток.

Фарада — очень крупная единица. В схемах встречаются микрофарады (мкФ), нанофарады (нФ) и пикофарады (пФ); на чертежах единицу нередко опускают, и её приходится угадывать из контекста («100» у керамического конденсатора — скорее 100 пФ, «100» у электролита — 100 мкФ). Числа для ощущения масштаба: ток 1 мА заряжает 1 мкФ со скоростью 1000 В/с, так что импульс тока длиной 10 мс прибавит к напряжению 10 В (график ниже).

Условное обозначение конденсатора

Пока течёт ток 1 мА, напряжение на 1 мкФ растёт линейно; ток пропал — напряжение замерло

Не путайте эту картинку с законом Ома. Напряжение не «следует» за током — оно накапливает ток. Это делает конденсатор похожим на ведро, в которое льют воду: уровень (напряжение) растёт со скоростью, пропорциональной напору струи (току), и обратно пропорциональной площади дна (ёмкости).

Полезна и другая, более «инженерная» точка зрения: в первом приближении конденсатор — это сопротивление, зависящее от частоты; медленные изменения он почти не пропускает, быстрые — пропускает легко. Из конденсаторов и резисторов собирают делители, коэффициент деления которых зависит от частоты. Для многих применений (развязка по питанию, разделительные конденсаторы между каскадами) этого понимания вполне хватает. Фильтры, резонансные контуры, накопители энергии потребуют большего. Скажем, конденсатор не рассеивает мощность, хотя ток через него течёт: ток и напряжение на нём сдвинуты по фазе на 90° (подробно — в разделе 1.5).

Как устроен конденсатор. В простейшем виде это два проводника, разделённые тонким промежутком. Ёмкость растёт с площадью обкладок и падает с увеличением зазора. Поэтому промежуток заполняют тонким слоем изолятора — диэлектрика — и сворачивают обкладки в рулон или складывают стопкой: например, металлизированную полиэфирную плёнку сворачивают в цилиндр.

1234

Плоский конденсатор в разрезе: обкладки и слой диэлектрика

Что здесь что (4)

Первая обкладка. Проводник, на котором при напряжении $U$ собирается заряд $+ Q = C U$ .
Диэлектрик. Изолятор между обкладками; чем он тоньше, чем выше его проницаемость и чем больше площадь, тем больше ёмкость.
Вторая обкладка. На ней $- Q$ . «Ток через конденсатор» — это перетекание заряда с одной обкладки на другую по внешней цепи.
Зазор d. Ёмкость обратно пропорциональна толщине диэлектрика.

В аппаратуре чаще всего встречаются керамические, электролитические (у алюминиевых и танталовых диэлектриком служит тончайшая оксидная плёнка на металле), плёночные и слюдяные конденсаторы. Ориентир для выбора: для некритичных мест — керамика и полиэфирная плёнка; когда нужно много ёмкости в маленьком корпусе — танталовые; для сглаживающих фильтров блоков питания — алюминиевые электролиты. Подробнее — в таблице ниже.

Соединения конденсаторов: всё наоборот по сравнению с резисторами

	Параллельно	Последовательно
Что общее	напряжение	заряд
Ёмкость	$C = C_{1} + C_{2} + \dots$	$1/ C = 1/ C_{1} + 1/ C_{2} + \dots$
Аналог у резисторов	последовательное соединение	параллельное соединение
Оценка	больше наибольшей	меньше наименьшей; напряжения обратно пропорциональны ёмкостям

Соединения конденсаторов. При параллельном включении напряжение $U$ у всех конденсаторов общее, а заряды складываются:

C U = Q = Q_{1} + Q_{2} + \dots = C_{1} U + C_{2} U + \dots = (C_{1} + C_{2} + \dots) U,

следовательно,

C = C_{1} + C_{2} + \dots

— ёмкости суммируются, как сопротивления в последовательной цепочке. При последовательном включении, наоборот, работает формула для параллельных резисторов:

C = \frac{1}{1/ C _{1} + 1/ C _{2} + \dots}, для двух : C = \frac{C _{1} C _{2}}{C _{1} + C _{2}} .

И ещё о мощности. Ток зарядки $I = C d U / d t$ переносит мощность $U I$ , но в отличие от резистора конденсатор не превращает её в тепло: энергия запасается в электрическом поле между обкладками и целиком возвращается при разряде. Вспомним об этом, когда будем считать мощность в цепях переменного тока (раздел 1.5).

Энергия заряженного конденсатора

W = \frac{1}{2} C U^{2}

Обозначения:

W

C

U

Например, 2200 мкФ при 16 В — около 0,28 Дж.

Типы конденсаторов: что выбрать
Тип	Ёмкости	Сильные стороны	Слабые стороны
Керамический (класс 1, NP0/C0G)	1 пФ — 0,1 мкФ	стабильны, малые потери, ВЧ	малые ёмкости
Керамический (X7R, Y5V)	100 пФ — 100 мкФ	дёшевы, малы, хороши для развязки	ёмкость зависит от температуры и напряжения
Полиэфирный (лавсан)	1 нФ — 10 мкФ	дёшевы, хороши для связи и фильтров	умеренная стабильность
Полипропиленовый, полистирольный	100 пФ — 10 мкФ	очень малы утечка и диэлектрическая абсорбция	крупнее, дороже
Слюдяной	1 пФ — 10 нФ	стабильны, точны — для радиочастот	малые ёмкости, дороги
Танталовый	0,1 — 1000 мкФ	большая ёмкость в малом объёме	полярны, боятся бросков тока
Алюминиевый электролитический	1 мкФ — 1 Ф	огромная ёмкость — фильтры питания	полярны, большой допуск и утечка, стареют
Ионистор (двойной слой)	0,1 — 1000 Ф	резервное питание памяти и часов	низкое напряжение, большое внутреннее сопротивление

Упражнение 1.3.1 задача

Для высоковольтного узла часто ставят несколько конденсаторов последовательно, чтобы распределить между ними напряжение. Выведите формулу ёмкости цепочки из $n$ конденсаторов и частный случай двух. С чего начать: что можно сказать о заряде проводника, соединяющего два соседних конденсатора, если к нему больше ничего не подключено?

Решение

Средние обкладки двух соседних конденсаторов вместе с проводом между ними образуют изолированный кусок металла. Заряд взяться ему неоткуда, он равен нулю и остаётся нулём. Значит, если на правой обкладке первого конденсатора $- Q$ , то на левой обкладке второго $+ Q$ ; то же повторяется дальше по цепочке — все конденсаторы несут одинаковый заряд $Q$ . Напряжения складываются:

U = \frac{Q}{C _{1}} + \frac{Q}{C _{2}} + \dots + \frac{Q}{C _{n}} = Q (\frac{1}{C _{1}} + \dots + \frac{1}{C _{n}}) .

Ёмкость цепочки

C = Q / U

, то есть

1/ C = \sum 1/ C_{k}

; для двух конденсаторов

C = C_{1} C_{2} / (C_{1} + C_{2})

. На практике параллельно каждому конденсатору цепочки ставят ещё и выравнивающий резистор: токи утечки у экземпляров разные и иначе разделили бы напряжение непредсказуемо.

Упражнение 1.3.2

В снабберной цепи импульсного блока питания конденсаторы 100 нФ и 47 нФ включены последовательно на напряжение 400 В. Найдите общую ёмкость, заряд и напряжение на каждом конденсаторе.

C =нФQ =мкКлU₁ (100 нФ) =ВU₂ (47 нФ) =В

Решение

$C = 100 \cdot 47/147 \approx 32, 0$ нФ. Заряд у обоих одинаков: $Q = C U = 31, 97 нФ \cdot 400 В \approx 12, 8$ мкКл. $U_{1} = Q / C_{1} = 12, 79/0, 1 \approx 128$ В, $U_{2} = Q / C_{2} = 12, 79/0, 047 \approx 272$ В. Напряжение распределяется обратно пропорционально ёмкостям: на меньшем конденсаторе — бо́льшая часть. Если оба рассчитаны на 250 В, второй будет пробит, хотя «в сумме» запас вроде бы есть.

Упражнение 1.3.3

Часы реального времени при отключении питания живут от ионистора 1 Ф, заряженного до 5 В, и потребляют постоянный ток 10 мкА; работают они до тех пор, пока напряжение не упадёт до 2 В. Какую энергию запасает ионистор и сколько часов проработают часы?

W =Джt =ч

Решение

$W = \frac{1}{2} C U^{2} = 0, 5 \cdot 1 \cdot 25 = 12, 5$ Дж. При постоянном токе напряжение убывает линейно со скоростью $I / C = 1 0^{- 5}$ В/с, и на 3 В уйдёт $t = C Δ U / I = 1 \cdot 3/1 0^{- 5} = 3 \cdot 1 0^{5}$ с, то есть около 83 часов — трое с половиной суток. Использована, кстати, не вся энергия: при 2 В в ионисторе ещё остаётся $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 4 = 2$ Дж. Такой же расчёт «постоянный ток — линейный спад» понадобится для оценки пульсаций в выпрямителях (раздел 1.6).

1.3.2RC-цепи во времени: заряд и разряд

≈ 11 мин3 упр.

Главное

Разряд $U = U_{0} e^{- t / RC}$ , заряд $U = U_{вх} (1 - e^{- t / RC})$ ; произведение $RC$ — постоянная времени.
За $RC$ пройдено 63 % пути, за $5 RC$ — 99 %; время нарастания $2, 2 RC$ .
Сложную схему сводят к простой RC-цепи эквивалентным источником: $τ = R_{экв} C$ .
RC-задержка логического фронта около $0, 7 RC$ , но точное значение зависит от порога элемента.

Поведение цепей с меняющимися сигналами можно описывать двумя путями: следить за $U$ и $I$ во времени или выяснять, как цепь передаёт синусоиды разных частот. Оба взгляда полезны и дополняют друг друга. В этом разделе мы держимся времени, а частотный подход появится в разделе 1.5.

Самый простой случай: конденсатор, заряженный до $U_{0}$ , в момент $t = 0$ замыкают на резистор (схема ниже). Ток, вытекающий из конденсатора, — это ток через резистор:

C \frac{d U}{d t} = I = - \frac{U}{R} .

Получилось дифференциальное уравнение: скорость убывания напряжения пропорциональна самому напряжению. Такому условию удовлетворяет экспонента,

U = A e^{- t / RC},

и константа

A

— начальное напряжение

U_{0}

. Чем меньше осталось напряжения, тем меньше ток и тем медленнее идёт разряд: конденсатор разряжается всё медленнее и медленнее, никогда формально не доходя до нуля.

Заряд и разряд RC-цепи

U = U_{вх} (1 - e^{- t / RC}), U = U_{0} e^{- t / RC}

Обозначения:

RC

U_{вх}

U_{0}

e

1 RC63 % пути, 37 % осталось

0,69 RCполовина пути

2,2 RCнарастание от 10 до 90 %

5 RC99 % — практически всё

10 кОм · 100 нФ= 1 мс

Постоянная времени. Величина $RC$ называется постоянной времени цепи и измеряется в секундах. Удобно запомнить пару сочетаний: 1 кОм с 1 мкФ или 10 кОм со 100 нФ дают 1 мс. Если такой конденсатор заряжен до 1 В, в первый миг после подключения резистора 1 кОм потечёт ток 1 мА. За одну постоянную времени напряжение уменьшается в $e$ раз, то есть до 37 % начального.

Заряженный конденсатор отдаёт заряд в резистор

Разряд: каждые RC напряжение уменьшается в e раз

Теперь обратная ситуация: разряженный конденсатор в момент $t = 0$ через резистор подключают к батарее $U_{вх}$ (схема ниже). Напряжение растёт по закону $U = U_{вх} (1 - e^{- t / RC})$ — та же экспонента, только «перевёрнутая»: быстро в начале, когда разность $U_{вх} - U$ и ток велики, и всё медленнее под конец. Если вывод в свёрнутом блоке покажется трудным, просто примите результат на вооружение: дальше мы будем пользоваться им постоянно, без повторных выкладок.

вывод формулы заряда

Ток через резистор заряжает конденсатор:

I = C \frac{d U}{d t} = \frac{U _{вх} - U}{R} .

Общее решение этого уравнения

U = U_{вх} + A e^{- t / RC}

(проверьте подстановкой). В начальный момент конденсатор разряжен,

U (0) = 0

, откуда

A = - U_{вх}

U = U_{вх} (1 - e^{- t / RC}) .

Выход на установившийся режим. Через время, много большее $RC$ , напряжение практически равно $U_{вх}$ , ток прекращается, и конденсатор ведёт себя как разрыв цепи.

Правило. Пять постоянных времени — и переходный процесс можно считать законченным: остаётся меньше 1 % (

e^{- 5} = 0, 7 %

Если вход снова изменится — например, упадёт до нуля, — напряжение на конденсаторе поплывёт к новому значению по такой же экспоненте. Поэтому прямоугольный сигнал на входе превращается на конденсаторе в последовательность экспоненциальных «подъёмов» и «спадов»; как они выглядят при разных соотношениях $RC$ и периода, показывает график ниже.

В момент t = 0 ключ подключает RC-цепь к батарее

123

Заряд: быстро в начале, медленно под конец

Что здесь что (3)

Старт. Начальная скорость $U_{вх} / RC$ : если бы ток не уменьшался, конденсатор зарядился бы ровно за $RC$ .
t = RC. Пройдено 63 %, осталось 37 %.
t = 5RC. 99 %: процесс практически закончен.

Прямоугольник на входе (серый) и напряжение на конденсаторе (цветное) для двух частот

Упражнение 1.3.4 задача

На выходе RC-фильтра с конденсатором 1,5 нФ осциллограф показал время нарастания (между уровнями 10 и 90 %) 33 мкс. Докажите, что у RC-цепи время нарастания равно $2, 2 RC$ , найдите сопротивление резистора и предскажите время нарастания между уровнями 20 и 80 %.

Решение

При заряде $U / U_{вх} = 1 - e^{- t / RC}$ , и доля $k$ достигается в момент $t_{k} = - RC ln (1 - k)$ . Разность моментов:

t_{90} - t_{10} = RC [ln (1/0, 1) - ln (1/0, 9)] = RC ln 9 \approx 2, 197 RC .

Значит,

RC = 33/2, 197 \approx 15, 0

мкс и

R = 15 мкс /1, 5 нФ \approx 10

кОм.
Между 20 и 80 %:

t_{80} - t_{20} = RC ln \frac{0 , 8}{0 , 2} = RC ln 4 \approx 1, 386 RC \approx 20, 8

мкс. Попутно: время от нуля до половины перепада —

RC ln 2 \approx 0, 69 RC

; это число понадобится для задержек.

Логичный следующий вопрос: а как RC-цепь откликается на произвольный входной сигнал $U_{вх} (t)$ ? Формально нужно решить неоднородное дифференциальное уравнение (ответ — в свёрнутом блоке). Но смысл ответа понятен и без выкладок: напряжение на конденсаторе — это взвешенное среднее входного сигнала за прошлое. Значение, поданное $Δ t$ назад, входит в среднее с весом $e^{- Δ t / RC}$ : то, что было только что, учитывается почти полностью, а то, что было давно (за много постоянных времени до текущего момента), цепь уже «забыла».

отклик RC-цепи на произвольный сигнал

U (t) = \frac{1}{RC} \int_{- \infty}^{t} U_{вх} (τ) e^{- (t - τ) / RC} d τ .

В инженерной практике такие интегралы считают редко: проще разложить сигнал на частоты и посмотреть, что цепь делает с каждой (раздел 1.5). Но для многих схем временного описания вполне достаточно — вот несколько примеров.

Сведение к простой RC-цепи. Схему посложнее тоже можно описать дифференциальными уравнениями, но обычно незачем. Отделите конденсатор от остальной схемы, а всё остальное замените эквивалентным источником (раздел 1.1). Например, если конденсатор подключён к средней точке делителя (схема ниже), делитель превращается в источник $U_{экв}$ с резистором $R_{экв}$ — и перед нами снова та же простая RC-цепь.

Конденсатор на выходе делителя

Рецепт упрощения

Мысленно выньте конденсаторостанется двухполюсник из источников и резисторов
Замените его эквивалентомнайдите $U_{экв}$ и $R_{экв}$
Верните конденсаторполучилась простая RC-цепь: $τ = R_{экв} C$ , асимптота $U_{экв}$

Упражнение 1.3.5

Вывод сброса микроконтроллера подключён к делителю $R_{1} = 10$ кОм (к питанию), $R_{2} = 15$ кОм (к земле) с конденсатором 2,2 мкФ параллельно $R_{2}$ . Питание 5 В включается скачком, конденсатор вначале разряжен. Найдите установившееся напряжение на выводе, постоянную времени и напряжение через 10 мс после включения.

U(∞) =Вτ =мсU(10 мс) =В

Решение

Эквивалент делителя: $U_{экв} = 5 \cdot 15/25 = 3, 0$ В, $R_{экв} = 10∥15 = 6, 0$ кОм. Отсюда $τ = 6 кОм \cdot 2, 2 мкФ = 13, 2$ мс и

U (t) = 3, 0 (1 - e^{- t /13, 2 мс}) В; U (10 мс) = 3 (1 - e^{- 0, 758}) \approx 1, 59 В .

Если порог сброса около 1,5 В, микроконтроллер «проснётся» примерно через 10 мс после подачи питания — как раз за это время успеет установиться кварцевый генератор. Обратите внимание: постоянную времени задаёт параллельное соединение

R_{1}

R_{2}

, а не какой-то один резистор.

Пример: задержка цифрового сигнала. Вспомним логические уровни (раздел 1.2): элемент КМОП переключается, когда напряжение на входе переходит примерно половину питания. Поставим между двумя такими элементами RC-цепь (схема ниже), — и выходной фронт отстанет от входного. Треугольники на схеме — буферы КМОП: их выход высокий (почти напряжение питания), когда вход выше половины питания, и низкий в противном случае.

Первый буфер нужен для того, чтобы RC-цепь питалась от источника с малым выходным сопротивлением и не нагружала того, кто формирует входной сигнал. В точке B напряжение нарастает по экспоненте, и второй буфер срабатывает, когда оно доходит до половины питания, — через $RC ln 2 \approx 0, 7 RC$ после входного фронта.

Ловушка. Порог реального буфера — вовсе не ровно половина питания: он гуляет от экземпляра к экземпляру и с температурой, а с ним гуляют и задержка, и длительность выходного импульса. RC-задержкой иногда пользуются, чтобы придержать импульс до какого-то события, но в ответственных устройствах лучше задерживать сигнал тактируемыми схемами.

1234

Цифровая линия задержки на RC-цепи между двумя буферами

Что здесь что (4)

Первый буфер. Повторяет входной сигнал и питает RC-цепь от низкоомного выхода.
R = 22 кОм. Вместе с C даёт $RC \approx 15$ мкс.
C = 680 пФ. Напряжение на нём (точка B) меняется по экспоненте.
Второй буфер. Срабатывает, когда B переходит порог около половины питания, — через $0, 7 RC \approx 10$ мкс.

Сигналы в точках A, B и C: выход сдвинут на 0,7RC

Упражнение 1.3.6

В той же схеме задержки стоит конденсатор 4,7 нФ, а нужна задержка фронта 40 мкс. Какой резистор потребуется, если порог второго буфера ровно половина питания? Какой станет задержка нарастающего фронта с этим резистором, если реальный порог окажется 60 % питания? А задержка спадающего фронта?

R =кОмt_з↑ при 60 % =мксt_з↓ при 60 % =мкс

Решение

На нарастающем фронте доля $k$ питания достигается через $t = RC ln \frac{1}{1 - k}$ . При $k = 0, 5$ : $t = 0, 693 RC$ , значит $R = 40 мкс / (0, 693 \cdot 4, 7 нФ) \approx 12, 3$ кОм (ближайший из ряда E24 — 12 кОм).
При пороге 60 %: $t = RC ln (1/0, 4) = 0, 916 RC \approx 52, 9$ мкс — на треть больше задуманного.
На спадающем фронте напряжение должно опуститься со 100 % до 60 %: $t = RC ln (1/0, 6) = 0, 511 RC \approx 29, 5$ мкс. Фронты задерживаются по-разному, поэтому длительность выходного импульса тоже искажается — здесь на $52, 9 - 29, 5 \approx 23$ мкс.

1.3.3Дифференцирующие цепи

≈ 6 мин2 упр.

Главное

Конденсатор последовательно, резистор на землю: при малом $RC$ выход $U \approx RC d U_{вх} / d t$ .
Прямоугольник на входе даёт короткие пики на фронтах — так выделяют моменты переключения.
Нежданные пики или «продифференцированный» прямоугольник говорят о паразитной ёмкости или плохом контакте.

Как получить сигнал, пропорциональный не самому напряжению, а скорости его изменения? Возьмём конденсатор последовательно со входом, а с выхода — резистор на землю (схема ниже). На конденсаторе напряжение $U_{вх} - U$ , и ток через него идёт в резистор:

I = C \frac{d}{d t} (U_{вх} - U) = \frac{U}{R} .

Пусть

R

C

настолько малы, что выход остаётся маленьким и меняется гораздо медленнее входа,

d U / d t ≪ d U_{вх} / d t

. Тогда

d U / d t

в левой части можно отбросить, и выход оказывается пропорционален производной входного сигнала:

Дифференцирующая цепь

U (t) \approx RC \frac{d U _{вх} ( t )}{d t}

Обозначения:

RC

d U_{вх} / d t

Работает, пока выход много меньше входа:

d U / d t ≪ d U_{вх} / d t

Итак, нужно малое $RC$ . Но уменьшать сопротивление резистора до бесконечности нельзя: в момент скачка на входе напряжение на конденсаторе измениться не успевает, и на мгновение резистор оказывается подключён к источнику напрямую — он нагружает источник. Количественно, при каких частотах цепь дифференцирует хорошо, скажет частотный анализ (раздел 1.5). А на прямоугольный вход дифференцирующая цепь отвечает короткими экспоненциальными пиками в моменты фронтов — положительными на переднем и отрицательными на заднем.

Дифференцирующая RC-цепь: C последовательно, R на землю

Прямоугольник на входе — пики на выходе

123

Формирователь короткого импульса по переднему фронту

Что здесь что (3)

C = 220 пФ. Пропускает лишь перепады: постоянный уровень в точку B не проходит.
R = 4,7 кОм. Возвращает B к нулю; пик затухает с постоянной $RC \approx 1$ мкс.
Выходной буфер. Положительный пик превращает в короткий прямоугольный импульс; отрицательный пик гасит защитный диод на его входе.

На выходе — короткий импульс в момент переднего фронта

Одни и те же R и C — два противоположных действия

	Дифференцирующая	Интегрирующая
Последовательно со входом	C	R
С выхода на землю	R	C
Выход ≈	$RC d U_{вх} / d t$	$\frac{1}{RC} \int U_{вх} d t$
Требование	малое $RC$	большое $RC$
Ответ на меандр	пики на фронтах	почти треугольник

Главное применение дифференцирующих цепей — выделение фронтов. В цифровой технике часто встречается вариант, показанный выше: RC-цепь формирует пики в моменты переключения, а следующий буфер превращает положительный пик в аккуратный короткий импульс. Отрицательный пик буфер не замечает: его срезает защитный диод, встроенный во вход микросхемы (о диодах — раздел 1.6).

Дифференцирование, которого никто не заказывал. Бывает, что схема дифференцирует сама собой, и на осциллографе появляются странные сигналы вроде показанных ниже.

Короткие пики на линии, по которой вообще не должно ничего идти, — классическая ёмкостная наводка. Соседний проводник несёт прямоугольный сигнал, а паразитная ёмкость между проводниками и сопротивление нагрузки линии образуют дифференцирующую цепь. Лечение: проверьте, есть ли у линии нагрузочный резистор (возможно, он забыт); уменьшите выходное сопротивление того, что линию питает; ослабьте связь — разнесите проводники или проложите между ними экран.

Прямоугольник, превратившийся в пары пиков там, где ему положено быть прямоугольником, обычно означает разорванный контакт — например, в щупе осциллографа. Крошечная ёмкость в месте разрыва вместе с входным сопротивлением осциллографа и даёт дифференцирующую цепь.

Совет. Если схема внезапно «дифференцирует», ищите паразитную ёмкость (наводка с соседнего проводника) или плохой контакт — например, в щупе осциллографа.

а) Пики, наведённые на линию через паразитную ёмкость

б) Прямоугольник после разорванного контакта

Упражнение 1.3.7

Чтобы получить из треугольного сигнала прямоугольный, его подали на дифференцирующую цепь $R = 22$ кОм, $C = 10$ нФ. Треугольник симметричный, размах 4 В, частота 500 Гц. Какова форма и амплитуда выходного сигнала? Хорошо ли выполнено условие дифференцирования?

U_вых (амплитуда) =В

Решение

Полупериод 1 мс, за него вход меняется на 4 В: $d U_{вх} / d t = \pm 4000$ В/с. $RC = 22 кОм \cdot 10 нФ = 220$ мкс, выход $U = RC d U_{вх} / d t = \pm 0, 88$ В — прямоугольник амплитудой 0,88 В.
Условие выполнено посредственно: 0,88 В — уже заметная доля входного размаха, и каждый переход выходного прямоугольника растянется экспонентой с постоянной 220 мкс, а это 22 % полупериода. Чтобы фронты стали крутыми, $RC$ придётся уменьшить в 5–10 раз — и выход уменьшится во столько же раз. Обычная плата за дифференцирование пассивной цепью.

Упражнение 1.3.8

Шина 3,3 В с временем нарастания фронта 2 нс проходит рядом с соседним проводником; паразитная ёмкость между ними 1 пФ. Оцените амплитуду пика, наведённого на соседний проводник, если он нагружен на землю (а) подтягивающим резистором 4,7 кОм; (б) линией с сопротивлением 50 Ом. Фронт считайте линейным.

а =Вб =В

Решение

Снова дифференцирующая цепь, теперь с $C = 1$ пФ. На линейном фронте скорость $S = 3, 3 В /2 нс = 1, 65 \cdot 1 0^{9}$ В/с; ток через ёмкость стремится к $CS$ , а напряжение на резисторе — к $RCS$ , приближаясь к нему по экспоненте: $U (t) = RCS (1 - e^{- t / RC})$ . К концу фронта

U = RCS (1 - e^{- 2 нс / RC}) .

(а)

RC = 4, 7

нс:

U = 7, 76 \cdot (1 - e^{- 0, 426}) \approx 2, 7

В — намного выше порога 3,3-вольтовой логики (около 1,65 В)! Условие дифференцирования нарушено (

RC

больше длительности фронта), и линия почти повторяет соседнюю.
(б)

RC = 0, 05

нс, много меньше 2 нс:

U \approx RCS \approx 0, 08

В — ничтожно. Вывод: линия с низкоомной нагрузкой (или низкоомным источником) намного устойчивее к ёмкостным наводкам, чем «висящая» на высокоомной подтяжке.

1.3.4Интегрирующие цепи

≈ 6 мин2 упр.

Главное

Резистор последовательно, конденсатор на землю: при большом $RC$ выход $\approx \frac{1}{RC} \int U_{вх} d t$ .
Ошибка RC-интегратора растёт со временем, примерно как $t / (2 RC)$ : он хорош, пока выход мал по сравнению со входом.
Конденсатор, заряжаемый постоянным током, даёт идеальную пилу: $U = I t / C$ .

Поменяем R и C местами: резистор последовательно, конденсатор с выхода на землю (схема ниже). Теперь на резисторе напряжение $U_{вх} - U$ , и его ток заряжает конденсатор:

I = C \frac{d U}{d t} = \frac{U _{вх} - U}{R} .

Пусть на этот раз

RC

велико, и выход остаётся малым:

U ≪ U_{вх}

. Тогда в правой части

U

можно отбросить,

C d U / d t \approx U_{вх} / R

, и после интегрирования:

Интегрирующая цепь

U (t) \approx \frac{1}{RC} \int^{t} U_{вх} (t) d t + const

Обозначения:

RC

U_{вх}

Работает при

U ≪ U_{вх}

: тогда ток заряда пропорционален входному напряжению.

Цепь накапливает входной сигнал — интегрирует его по времени. Если подать на вход скачок, выходом будет уже знакомая экспонента заряда (график ниже). Её самое начало, где выход ещё мал, почти совпадает с прямой — интегралом постоянного напряжения. Чем больше $RC$ , тем меньший кусочек экспоненты используется и тем ближе выход к идеальной пиле, но и тем меньше его амплитуда.

Интегрирующая RC-цепь: R последовательно, C на землю

Ответ на скачок: экспонента начинается как прямая, но отстаёт всё сильнее

В чём причина ошибки? Условие $U ≪ U_{вх}$ нужно для того, чтобы ток заряда зависел только от входа. Значит, будь на входе не напряжение, а сразу ток $I (t)$ , интегратор был бы идеальным. Источником тока в первом приближении может служить резистор большого сопротивления, на котором падает большое напряжение, — этим приёмом пользуются часто.

Позже, освоив операционные усилители и обратную связь, мы построим интегратор, которому малость выхода не нужна: он точен в широких пределах частот и напряжений. Интеграторы — рабочие лошадки аналоговой техники: регуляторы в системах управления, схемы с обратной связью, аналого-цифровые преобразователи, генераторы сигналов.

Генератор пилы. Самый наглядный интегратор — конденсатор, заряжаемый постоянным током (схема ниже). Из $I = C d U / d t$ при $I = const$ сразу следует линейный рост напряжения. Такие генераторы задают интервалы времени, формируют развёртку осциллографа, работают внутри АЦП.

Линейный заряд постоянным током

U (t) = \frac{I}{C} t

Обозначения:

I

C

I / C

Рост продолжается, пока источник тока способен поддерживать свой ток, — то есть до верхней границы его рабочего диапазона. На графике рядом для сравнения показан заряд от источника напряжения через резистор, подобранный так, чтобы в начальный момент (при нулевом выходе) ток был тем же. Обе кривые стремятся к одному пределу, но RC-цепь подходит к нему по экспоненте, а источник тока — по прямой, с резким изломом в конце. Сравнение честное: у реального источника тока выход тоже ограничен его напряжением питания. Простые транзисторные источники тока появятся в главе 2, а более совершенные — в главах об операционных усилителях и полевых транзисторах.

123

Источник тока заряжает конденсатор — напряжение растёт по прямой

Что здесь что (3)

Источник тока. Держит ток $I$ , пока выходное напряжение не подойдёт к пределу рабочего диапазона (около $+ U$ ).
Конденсатор. При постоянном токе $d U / d t = I / C$ — постоянная скорость.
Выход. Пила: идеальный интеграл постоянного тока.

Прямая от источника тока и экспонента RC-цепи с тем же начальным током

Упражнение 1.3.9

В таймере источник тока 2 мА заряжает конденсатор 0,47 мкФ от нуля. Компаратор срабатывает при 10 В. Через какое время это произойдёт и какова скорость нарастания напряжения?

t =мсdU/dt =В/с

Решение

Из $U = I t / C$ : $t = C U / I = 0, 47 \cdot 1 0^{- 6} \cdot 10/ (2 \cdot 1 0^{- 3}) = 2, 35$ мс. Скорость нарастания $I / C = 2 \cdot 1 0^{- 3} /0, 47 \cdot 1 0^{- 6} \approx 4260$ В/с. Время прямо пропорционально ёмкости и обратно — току, поэтому таймеры перестраивают либо переключением конденсаторов (грубо), либо током (плавно).

Упражнение 1.3.10

Цепь $R = 47$ кОм, $C = 2, 2$ мкФ используется как интегратор; на вход подан скачок 2 В. Каким было бы напряжение через 5 мс у идеального интегратора и какое оно у RC-цепи? Найдите относительную ошибку. Через сколько миллисекунд ошибка дорастёт до 5 %?

U_ид =ВU_RC =Вошибка =%t (5 %) =мс

Решение

$RC = 47 кОм \cdot 2, 2 мкФ = 103, 4$ мс, $x = t / RC = 0, 0484$ . Идеальный интегратор: $U = 2 x \approx 0, 0967$ В. RC-цепь: $U = 2 (1 - e^{- x}) \approx 0, 0944$ В. Ошибка $1 - (1 - e^{- x}) / x \approx 2, 4 %$ .
Разложив экспоненту, $1 - e^{- x} \approx x - x^{2} /2$ , видим, что относительная ошибка примерно равна $x /2 = t / (2 RC)$ — растёт пропорционально времени. Точное уравнение $1 - (1 - e^{- x}) / x = 0, 05$ даёт $x \approx 0, 1035$ , то есть $t \approx 10, 7$ мс. Мораль: RC-цепь интегрирует хорошо только на интервалах, малых по сравнению с $RC$ , — пока выход мал по сравнению со входом.

Модель: меандр через RC-цепь — интегрирование и дифференцирование

Модель: заряд и разряд конденсатора