Тема 05 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 5 из 5
Уравнения со степенями и корнями
Корень n-й степени и степень с рациональным показателем. 100 заданий.
0
Решено
0
Правильно
0%
Точность
Простыми словами
Кубик объёмом 27см3 имеет ребро 3 см, потому что 33=27. Число 3 — кубический корень из 27. Корень n-й степени отвечает на вопрос: «какое число надо возвести в степень n, чтобы получить a?»
na=b⟺bn=a, где n≥2 — показатель корня, a — подкоренное выражение. При чётном n берут a≥0 и b≥0 (арифметический корень).
n нечётноеКорень есть из любого числа: 3−8=−2, 5−32=−2.
n чётноеТолько из a≥0, и результат ≥0: 481=3, а 4−16 не существует.
Наибольшее целое, не превосходящее 3131: 53=125<131<216=63, значит, 5<3131<6. Ответ: 5.
Свойства корней
Свойство
Пример
na⋅nb=nab
34⋅32=38=2
na:nb=na:b
448:43=416=2
mna=mna
364=664=2
вынесение множителя
354=327⋅2=332
nan=∣a∣, n чётное
(−4)2=4
nan=a, n нечётное
5(−5)5=−5
Свойства для чётного n верны при a,b≥0.
36x6−23x3 при x=−1: 3∣x∣−2x=3+2=5.
(410+420)(410−420)=10−20 (разность квадратов), затем (10−20)(10+20)=10−20=−10.
4x4=x при x<0: корень чётной степени даёт модуль. А 3x3=x всегда.
Корни разных степеней сравнивают, приводя к общему показателю (НОК): 3=627, 35=625, значит, 3>35.
Степень с рациональным показателем
anm=nam,a>0
m — целое, n — натуральное, n≥2; знаменатель дроби — показатель корня
Отрицательный показатель — «перевернуть»: a−r=ar1. Действуют все свойства степеней:
ar⋅as=ar+s,ar:as=ar−s,(ar)s=ars,(ab)r=arbr.
832=(38)2=4; 16−43=(416)31=81.
8−32+24353=41+(5243)3=0,25+27=27,25.
(356)65:3=31:3=1.
«Сначала корень, потом степень»: извлекать корень из маленького основания проще — 2732=32=9, а не 3729.
Выражения с дробными показателями
Формулы сокращённого умножения работают и для дробных степеней — удобно обозначить a=a21:
a−b=(a21−b21)(a21+b21)
a23+b23=(a21+b21)(a−a21b21+b)
a−b=(a31−b31)(a32+a31b31+b32)
x+2x21+1=(x21+1)2
x21+6x−36=x21+6(x21−6)(x21+6)=x21−6; при x=81: 9−6=3.
a21+b21a23+b23−(ab)21=a−2ab+b=(a−b)2; при a=64, b=4: (8−2)2=36.
Сначала упростите, потом подставляйте числа — так меньше вычислений и ошибок.
Уравнения xn=a
Прямая y=a при a>0 пересекает y=x2 дважды, а y=x3 — один раз
n нечётноеВсегда один корень: x=na. x5=−243 ⇒ x=−3.
n чётноеa>0 — два корня ±na; a=0 — один (x=0); a<0 — корней нет.
Сколько различных корней у (x4−81)(x3−27)=0?
x4=81 ⇒ x=±3; x3=27 ⇒ x=3.
Корень 3 повторяется, различных — {−3;3}, ответ: 2.
Ещё приёмы: x32=4 ⇒ x≥0, x=423=8; x6−9x3+8=0 — замена t=x3: t=1 или t=8, x=1 или x=2.
Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.
Решите уравнение:
x⁵ = −243
Показать ответ
Ответ: -3 Решение. Нечётная степень: корень единственный, x = ⁵√(−243) = −3, x = −3.
Сколько различных корней имеет уравнение?
(x⁴ − 81)(x³ − 27) = 0
Показать ответ
Ответ: 2 Решение. 1) Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. 2) x⁴ = 81: x = ±3; x³ = 27: x = 3. 3) Различных корней: −3, 3 — всего 2.
Ответ: 0 Решение. 1) Замена t = x³: t² − 64 = 0, t = −8 или t = 8. 2) x³ = −8 ⇒ x = −2; x³ = 8 ⇒ x = 2. 3) Сумма корней: 0.
Сколько корней имеет уравнение?
x⁸ − 97x⁴ + 1296 = 0
Показать ответ
Ответ: 4 Решение. 1) Замена t = x⁴: t² − 97t + 1296 = 0, t = 81 или t = 16. 2) x⁴ = 81 ⇒ x = ±3; x⁴ = 16 ⇒ x = ±2. 3) Корней: 4.
Мы используем cookies и сервисы аналитики, чтобы понимать, какие темы нужнее и где сайт работает плохо. Продолжая пользоваться сайтом, вы соглашаетесь с этим. Мы используем cookies. Подробнее