Тема 02 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Дробно-рациональные неравенства

Неравенства: метод интервалов. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Произведение нескольких скобок меняет знак только там, где одна из скобок обращается в ноль. Значит, достаточно отметить на прямой эти «опасные» точки и узнать знак на каждом куске между ними. Это и есть метод интервалов.

Найти корни $x_{1} < x_{2}$ трёхчлена $a x^{2} + b x + c$ и посмотреть на ветви параболы. При $a > 0$ :

$a x^{2} + b x + c < 0$ — между корнями: $x_{1} < x < x_{2}$ ;
$a x^{2} + b x + c > 0$ — вне отрезка: $x < x_{1}$ или $x > x_{2}$ .

Особые случаи: $(x - p)^{2} > 0$ — все $x$ , кроме $p$ ; $(x - p)^{2} \leq 0$ — только $x = p$ ; при $D < 0$ трёхчлен имеет знак старшего коэффициента при всех $x$ .

Найдите сумму целых решений: $- 2 x^{2} + 5 x + 7 > 0$ .

Умножим на $- 1$ , знак меняется: $2 x^{2} - 5 x - 7 < 0$ .
$D = 25 + 56 = 81$ , корни $x = \frac{5 \pm 9}{4}$ : $- 1$ и $3, 5$ .
Решение: $- 1 < x < 3, 5$ . Целые: $0, 1, 2, 3$ ; сумма $6$ .

Умножая неравенство на отрицательное число, меняйте знак неравенства. Так в примере $- 3 x^{2} - 7 x + 6 > 0$ превращается в $3 x^{2} + 7 x - 6 < 0$ : корни $- 3$ и $\frac{2}{3}$ , наибольшее целое решение — $0$ .

Метод интервалов

Перенести всё в одну часть, разложить на множители (группировка, формулы, замена $t = x^{2}$ ).
Отметить корни всех множителей на прямой.
Знак в крайнем правом промежутке — по знаку старшего коэффициента.
Двигаясь влево: через корень нечётной кратности знак меняется, через корень чётной — нет.
Выбрать промежутки нужного знака; при нестрогом знаке добавить сами корни.

(x - 2) (x + 4) (x - 6)^{2}

: через

x = 6

(квадрат) знак не меняется

Сумма целых решений $(x - 2) (x + 4) (x - 6)^{2} \leq 0$ .

По рисунку « $\leq 0$ »: $[- 4; 2]$ и отдельная точка $x = 6$ (там произведение равно нулю).
Целые: $- 4, \dots, 2$ дают сумму $- 7$ ; плюс $6$ . Ответ: $- 1$ .

Сколько целых решений $x^{3} + 4 x^{2} - 49 x - 196 \geq 0$ на отрезке $[- 10; 10]$ ?

$x^{2} (x + 4) - 49 (x + 4) = (x + 4) (x - 7) (x + 7)$ .
Корни $- 7, - 4, 7$ ; знаки справа налево: $+, -, +, -$ .
Решение: $[- 7; - 4] \cup [7; + \infty)$ . На $[- 10; 10]$ : $- 7, - 6, - 5, - 4$ и $7, 8, 9, 10$ — всего $8$ .

Множитель $(a - x)$ замените на $- (x - a)$ и поменяйте знак неравенства. Трёхчлен с $D < 0$ и положительным старшим коэффициентом всегда больше нуля — его просто отбрасывают.

Дробно-рациональные неравенства

$\frac{A}{B} \lor 0$ решают как $A \cdot B \lor 0$ , но нули знаменателя выколоты всегда; нули числителя входят только при нестрогом знаке.

Сначала всё переносят в одну часть и приводят к общему знаменателю. Умножать на знаменатель нельзя: его знак неизвестен.

Сумма целых решений $\frac{( x + 7 ) ( x + 1 )}{( x - 6 ) ( x - 5 )} < 0$ .

Точки $- 7, - 1, 5, 6$ (все выколоты). Знаки справа налево: $+, -, +, -, +$ .
Решение: $(- 7; - 1) \cup (5; 6)$ .
Целые: $- 6, - 5, - 4, - 3, - 2$ (в $(5; 6)$ целых нет). Сумма $- 20$ .

Ошибка — «перенести знаменатель вправо»: $\frac{A}{B} < 0 \neq \Rightarrow A < 0$ . Так теряется половина решений.

Неравенства с параметром

$a x^{2} + b x + c > 0$ при всех $x$

a > 0

D < 0

$a x^{2} + b x + c < 0$ при всех $x$

a < 0

D < 0

$x^{2} + b x + c \leq 0$ — одно решение

D = 0

Наименьшее целое $a$ , при котором $(a + 1) x^{2} - 4 x + (a + 1) > 0$ при всех $x$ .

При $a = - 1$ получаем $- 4 x > 0$ — не при всех $x$ . Этот случай отдельно отброшен.
Нужно $a + 1 > 0$ и $D = 16 - 4 (a + 1)^{2} < 0$ , то есть $(a + 1)^{2} > 4$ .
С учётом $a + 1 > 0$ : $a + 1 > 2$ , $a > 1$ . Наименьшее целое: $a = 2$ .

Наибольшее целое $a$ , при котором $(x - a) (x - 5) \leq 0$ имеет ровно 3 целых решения.

Решение — отрезок между $5$ и $a$ . Три целых числа: $5, 6, 7$ (или $3, 4, 5$ ).
Для $[5; a]$ нужно $7 \leq a < 8$ . Наибольшее целое: $a = 7$ .

Если старший коэффициент зависит от параметра, случай, когда он равен нулю, разбирают отдельно: неравенство становится линейным.

Системы, модуль и корень

$∣ A ∣ \leq c$

- c \leq A \leq c

$∣ A ∣ \geq c$

A \leq - c

или

A \geq c

$f (x) g (x) www.reknow.ru \leq 0$

g (x) = 0

или

{g (x) > 0 f (x) \leq 0

Решение системы — общая часть решений всех неравенств; удобно отмечать их на одной прямой штриховкой.

Число целых решений $(x - 5) x + 3 www.reknow.ru \leq 0$ .

$x + 3 www.reknow.ru = 0$ : $x = - 3$ — решение.
$x > - 3$ и $x - 5 \leq 0$ : $- 3 < x \leq 5$ .
Вместе $[- 3; 5]$ — $9$ целых чисел.

Наибольшее целое решение $(x + 4) x - 4 www.reknow.ru \leq 0$ .

$x = 4$ — корень равен нулю, подходит.
При $x > 4$ множитель $x + 4 > 0$ , произведение положительно — не подходит. Ответ: $4$ .

Не забывайте область определения корня ( $g (x) \geq 0$ ) и точки, где корень равен нулю: они подходят при любом $f (x)$ .

Система с параметром

Решают неравенство без параметра, а потом смотрят, как с найденным отрезком пересекается луч или отрезок, зависящий от параметра.

При каком $a$ система ${x^{2} + x \leq 0 x \geq a$ имеет единственное решение?

$x (x + 1) \leq 0$ : $- 1 \leq x \leq 0$ .
Луч $[a; + \infty)$ задевает отрезок $[- 1; 0]$ ровно в одной точке, только если начинается в его правом конце: $a = 0$ .

Система ${4 \leq x \leq 8 x \geq a$ не имеет решений, когда $a > 8$ ; наименьшее целое такое $a$ — $9$ .

Серия: 0

Дробно-рациональные неравенства

Простыми словами

Метод интервалов

Дробно-рациональные неравенства

Неравенства с параметром

Системы, модуль и корень

Система с параметром

Примеры заданий