▲ Вписанная и описанная окружность прямоугольного треугольника

Простыми словами

Из треугольного куска фанеры нужно выпилить самый большой круг — он коснётся всех трёх сторон: это вписанная окружность. А самая маленькая круглая скатерть, накрывающая треугольный стол целиком (для не тупоугольного стола), пройдёт через все углы — это описанная окружность.

Окружности треугольника

• остроугольный треугольник — центр внутри;
• прямоугольный — центр в середине гипотенузы, $R=\frac{c}{2}$, медиана к гипотенузе равна $R$;
• тупоугольный — центр вне треугольника.

Отрезки касательных из одной вершины равны; от вершины $A$ до точки касания — $p-BC$.

Прямоугольный и равносторонний треугольники

В равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, поэтому центры обеих окружностей совпадают с точкой пересечения медиан. Она делит высоту $h$ в отношении $2:1$ от вершины:

Вписанный четырёхугольник

Поэтому из параллелограммов описать окружность можно только около прямоугольника ($R$ — половина диагонали), из трапеций — только около равнобедренной.

Описанный четырёхугольник

• из параллелограммов вписать окружность можно только в ромб (и квадрат); высота ромба $=2r$, сторона квадрата $=2r$;
• в трапеции: сумма оснований = сумме боковых сторон, высота $=2r$;
• площадь любого описанного многоугольника $S=p\cdot r$.

Углы с центрами окружностей

• Центр описанной $O$: $OA=OB=OC$, треугольники $AOB$, $BOC$, $COA$ равнобедренные. Центральный угол вдвое больше вписанного: $\angle AOB=2\angle C$ (в остроугольном), отсюда $\angle OAB=\angle OBA=90^{\circ }-\angle C$. При $\angle C=46^{\circ }$: $\angle OAB=44^{\circ }$; при $\angle OBA=42^{\circ }$: $\angle C=48^{\circ }$.
• В прямоугольном треугольнике $O$ — середина гипотенузы, $OC=OB$: $\angle OCB=\angle B=90^{\circ }-\angle A$, а $\angle BOC=2\angle A$ ($\angle A=65^{\circ }$ ⇒ $130^{\circ }$).
• Центр вписанной $I$ лежит на биссектрисах: $\angle IAC=\frac{\angle A}{2}$, $\angle BIC=90^{\circ }+\frac{\angle A}{2}$, $\angle AIB=90^{\circ }+\frac{\angle C}{2}$. Если $\angle AIB=117^{\circ }$, то $\angle C=54^{\circ }$.
• Где центр описанной окружности — по наибольшему углу: меньше $90^{\circ }$ — внутри, равен — на середине стороны, больше — снаружи. Центр вписанной всегда внутри.

Радиусы: ещё формулы и приёмы

• Описанная около равнобедренного треугольника с основанием $b$ и высотой $h$: центр на высоте, $(h-R{)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2=R^2$. Основание $24$, высота $5$: $(5-R{)}^2+144=R^2$ ⇒ $R=16,9$ (центр вне треугольника).
• Вписанная в равнобедренный: $r=\frac{S}{p}$. Стороны $45,45,54$: $h=36$, $S=972$, $p=72$, $r=13,5$.
• Отрезки касательных: от вершины $A$ до точки касания — $p-a$, где $a$ — противолежащая сторона. $DE=15$, $EF=20$, $FD=19$, $p=27$: $EM=p-FD=8$. Если $CP=3$ и $AB=6$, то $P=2(6+3)=18$.
• Прямоугольный треугольник: $a+b=2r+c=2r+2R$. При $r=9$, $R=37,5$: $a+b=93$, $P=168$. Точка касания делит гипотенузу на отрезки $x$ и $y$: катеты $x+r$ и $y+r$.
• Ромб: $r=\frac{h}{2}$, $h=a\sin \alpha$. Сторона $15$, угол $30^{\circ }$: $h=7,5$, $r=3,75$. По площади: $r=\frac{S}{2a}$.
• Трапеция с вписанной окружностью: $a+b=c+d$, поэтому средняя линия равна полусумме боковых сторон, $P=2(a+b)$; в равнобедренной боковая сторона $=\frac{a+b}{2}$ (основания $12$ и $27$ ⇒ $19,5$). Высота $=2r$; при основаниях $9$ и $16$: боковая $12,5$, высота $\sqrt{12,5^2-3,5^2}=12$, $r=6$.
• Вписанный четырёхугольник через вписанные углы: $\angle BAD=180^{\circ }-22^{\circ }-48^{\circ }=110^{\circ }$, $\angle BCD=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$. Внешний угол при $G$ равен внутреннему углу при противоположной вершине $E$.
• Прямоугольник в окружности: диагональ — диаметр. Диаметр $40$, сторона $32$ ⇒ другая сторона $24$.