Тема 06 · Геометрия · Глава VII «Площадь» · подтема 8 из 10

▲ Пифагоровы тройки и нахождение стороны

Теорема Пифагора. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «▲ Пифагоровы тройки и нахождение стороны»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Из угла прямоугольного поля 160 × 300 м можно идти вдоль двух сторон, а можно по диагонали. Насколько диагональ короче? Ответ даёт теорема Пифагора: она связывает три стороны любого прямоугольного треугольника.

Диагональ: $16 0^{2} + 30 0^{2} www.reknow.ru = 115600 www.reknow.ru = 340$ м, путь по сторонам $460$ м — экономия $120$ м.

Теорема Пифагора

Катеты 3 и 4, гипотенуза 5:

9 + 16 = 25

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c^{2} = a^{2} + b^{2}

a, b

— катеты,

c

— гипотенуза (сторона против прямого угла)

Отсюда гипотенуза $c = a^{2} + b^{2} www.reknow.ru$ , катет $a = c^{2} - b^{2} www.reknow.ru$ . Гипотенуза — самая длинная сторона.

Диагональ прямоугольникаДелит его на два прямоугольных треугольника:

d^{2} = a^{2} + b^{2}

Сторона ромбаДиагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам:

a^{2} = (\frac{d _{1}}{2})^{2} + (\frac{d _{2}}{2})^{2}

Сторона ромба 10, диагональ $A C = 12$ . Найти $B D$ .

Половина $A C$ равна 6; в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 10 второй катет $100 - 36 www.reknow.ru = 8$ .
Это половина $B D$ , поэтому $B D = 16$ .

Катет ищут вычитанием: $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ . Частая ошибка — сложить квадраты, когда гипотенуза уже дана.

Обратная теорема и пифагоровы тройки

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный; прямой угол лежит против большей стороны.

Если $c$ — большая сторона: $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ — треугольник остроугольный, $c^{2} > a^{2} + b^{2}$ — тупоугольный.

Пифагоровы тройки — целые стороны прямоугольных треугольников: $3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ и их кратные ( $6, 8, 10$ ; $9, 12, 15$ ; $10, 24, 26$ …). Треугольник $3 : 4 : 5$ называют египетским: верёвкой с 12 равными промежутками между узлами строили прямой угол.

Гипотенуза 17, катеты отличаются на 7. Найти больший катет.

$x^{2} + (x + 7)^{2} = 289$ , $2 x^{2} + 14 x - 240 = 0$ , $x^{2} + 7 x - 120 = 0$ .
$x = 8$ (отрицательный корень $- 15$ не подходит), больший катет $8 + 7 = 15$ . Тройка $8, 15, 17$ .

Площадь прямоугольного треугольника 120, катет $A C = 24$ . Второй катет $\frac{2 \cdot 120}{24} = 10$ , гипотенуза $2 4^{2} + 1 0^{2} www.reknow.ru = 26$ .

Сначала проверьте, не тройка ли это (или кратное тройки): $30, 40 \to 50$ ; $1, 3$ и $0, 5 \to 1, 2$ (тройка $5, 12, 13$ , делённая на 10).

Формула Герона

S = p (p - a) (p - b) (p - c) www.reknow.ru, p = \frac{a + b + c}{2}

a, b, c

— стороны треугольника,

p

— полупериметр

Высота к стороне $a$ : $h_{a} = \frac{2 S}{a}$ .

Стороны $13, 14, 15$ : $p = 21$ , $S = 21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 www.reknow.ru = 7056 www.reknow.ru = 84$ .

Стороны $11, 11, 12$ . Найти $S^{2}$ .

$p = 17$ ; $p - a = 6$ , $p - b = 6$ , $p - c = 5$ .
$S^{2} = 17 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 5 = 3060$ .

Стороны $20, 26, 26$ , высота к стороне 20. Треугольник равнобедренный — высота делит основание пополам: $h = 2 6^{2} - 1 0^{2} www.reknow.ru = 24$ .

Пифагор в других фигурах

Ищем прямой угол: высота трапеции или параллелограмма, стена и земля, мачта, стороны поля. Наклонный предмет (лестница, трос, скат) — гипотенуза.

Равнобедренная трапеция: $BC = 27$ , $A D = 47$ , $A B = 26$ . Найти площадь.

Высота $B H$ отсекает $A H = \frac{47 - 27}{2} = 10$ .
$B H = 2 6^{2} - 1 0^{2} www.reknow.ru = 24$ .
$S = \frac{27 + 47}{2} \cdot 24 = 888$ .

Параллелограмм: $A B = 20$ , $A D = 42$ , высота $B H = 16$ . Найти $B D$ .

$A H = 2 0^{2} - 1 6^{2} www.reknow.ru = 12$ , значит $HD = 42 - 12 = 30$ .
$B D = 1 6^{2} + 3 0^{2} www.reknow.ru = 34$ .

Длина отрезка: сдвиг на $m$ клеток по горизонтали и $n$ по вертикали даёт $m^{2} + n^{2} www.reknow.ru$ (сдвиг 3 и 4 — длина 5). Площадь: если стороны идут по линиям сетки — считаем клетки и применяем формулу; иначе достраиваем до прямоугольника и вычитаем лишние прямоугольные треугольники. Если клетка $5 \times 5$ мм, площадь в клетках умножаем на $25$ мм².

Практические задачи по Пифагору

Лестница сползла: длина $13$ , низ в $7, 8$ м от стены ⇒ верх на высоте $169 - 60, 84 www.reknow.ru = 10, 4$ . Если верх опустился на $Δ$ , найдите новую высоту и новое расстояние от стены по той же гипотенузе.
Сломанное дерево высотой $H$ , верхушка коснулась земли в $d$ от основания. Обломок стоит высотой $x$ , отломанная часть $H - x$ — гипотенуза: $x^{2} + d^{2} = (H - x)^{2}$ . Для $H = 27$ , $d = 9$ : $81 = 729 - 54 x$ , $x = 12$ .
Течение сносит: ширина реки — катет, путь относительно берега — гипотенуза, снос — второй катет: $12 5^{2} - 12 0^{2} www.reknow.ru = 35$ м.
Тросы мачты: трос от вершины до земли — гипотенуза, высота мачты и расстояние до основания — катеты. Сколько бы ни было одинаковых тросов, длина одного считается так же, затем умножается на их число.
Поместится ли палка на дно коробки: самое длинное положение — по диагонали, $2 7^{2} + 3 6^{2} www.reknow.ru = 45 < 46$ — не поместится.
Два столба высотой $14$ и $7$ на расстоянии $24$ : разность высот $7$ — катет, $2 4^{2} + 7^{2} www.reknow.ru = 25$ .
Крыша: половина ширины дома и высота конька — катеты, скат — гипотенуза.
Проверка прямого угла рамы: при сторонах $30$ и $40$ диагональ должна быть ровно $50$ (обратная теорема). Землемеры: верёвка с узлами $3 + 4 + 5 = 12$ частей.

Прежде чем проверять «прямоугольный ли треугольник», проверьте, существует ли он: каждая сторона меньше суммы двух других. Стороны $8$ , $26$ , $17$ : $8 + 17 = 25 < 26$ — такого треугольника нет.

Ещё типовые расчёты

Отношение катетов $21 : 20$ и гипотенуза $58$ : $(21 t)^{2} + (20 t)^{2} = (29 t)^{2} = 5 8^{2}$ ⇒ $t = 2$ , $P = 42 + 40 + 58 = 140$ .
Катет и «гипотенуза на $d$ больше другого катета»: $6 0^{2} + x^{2} = (x + 50)^{2}$ ⇒ $3600 = 100 x + 2500$ , $x = 11$ .
Прямоугольник: по периметру и стороне — вторая сторона, затем диагональ; по площади и стороне — так же. Стороны $3 : 4$ , диагональ $15$ ⇒ стороны $9$ и $12$ , $S = 108$ .
Равнобедренный треугольник по периметру: $P = 36$ , основание $10$ ⇒ боковые по $13$ , высота $12$ , $S = 60$ .
Диагональ равнобедренной трапеции: $B D^{2} = B H^{2} + H D^{2}$ , где $HD = \frac{A D + BC}{2}$ . Прямоугольная трапеция: большая боковая сторона — гипотенуза, разность оснований — катет, высота (меньшая боковая сторона) — второй катет.
Высота к наибольшей стороне: найдите площадь (по Герону или заметив тройку), затем $h = \frac{2 S}{a}$ . Стороны $14, 48, 50$ — тройка, $S = 336$ , $h = \frac{672}{50} = 13, 44$ .
Стороны треугольника $36$ , $48$ , $x$ ( $x$ — наибольшая): прямоугольный при $x = 60$ ; при $48 < x < 60$ — остроугольный.

Посмотреть и посчитать

Модели

Теорема Пифагора

Калькуляторы

Теорема Пифагора

Серия: 0

▲ Пифагоровы тройки и нахождение стороны

Простыми словами

Теорема Пифагора

Обратная теорема и пифагоровы тройки

Формула Герона

Пифагор в других фигурах

Практические задачи по Пифагору

Ещё типовые расчёты

Примеры заданий