Тема 03 · Геометрия · Глава VI «Четырёхугольники» · подтема 6 из 7

▲ Прямоугольник и равенство диагоналей

Прямоугольник, ромб, квадрат. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «▲ Прямоугольник и равенство диагоналей»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Прямоугольник, ромб и квадрат — это параллелограммы «с бонусом». У прямоугольника все углы прямые, у ромба все стороны равны, а квадрат получил оба бонуса сразу. Поэтому у них есть все свойства параллелограмма плюс свои особенные.

ПрямоугольникПараллелограмм, все углы которого прямые.

РомбПараллелограмм, все стороны которого равны.

КвадратПрямоугольник, у которого все стороны равны (он же ромб).

Прямоугольник

Свойство: диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $O A = OB = OC = O D$ .
Признак: если диагонали параллелограмма равны, он — прямоугольник.

$A C = 42$ ⇒ $BO = \frac{42}{2} = 21$ .

$∠ B A C = 4 8^{\circ}$ . Найти $∠ A OB$ .

$O A = OB$ ⇒ $△ A OB$ равнобедренный, $∠ A BO = 4 8^{\circ}$ .
$∠ A OB = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 4 8^{\circ} = 8 4^{\circ}$ .

$A B = 25$ , $B D = 65$ : $A D = 6 5^{2} - 2 5^{2} www.reknow.ru = 60$ , $P = 2 (25 + 60) = 170$ .

Участок в $4$ раза длиннее, чем шире, забор $100$ м: $2 (4 x + x) = 100$ , $x = 10$ , длина $40$ м.

Ромб и квадрат

Диагонали ромба перпендикулярны;

A C

делит

∠ A

пополам

Свойство ромба: диагонали взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Признак: если диагонали параллелограмма перпендикулярны, он — ромб.
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба: диагонали равны, перпендикулярны и делят углы на $4 5^{\circ}$ .

Периметр ромба $72$ ⇒ сторона $18$ . $∠ A = 11 0^{\circ}$ ⇒ угол между $A C$ и $A B$ равен $5 5^{\circ}$ .

$∠ B A D = 4 0^{\circ}$ . Найти $∠ A B D$ .

$A B = A D$ ⇒ $△ A B D$ равнобедренный.
$∠ A B D = \frac{18 0 ^{\circ} - 4 0 ^{\circ}}{2} = 7 0^{\circ}$ . Обратно: $∠ A B D = 3 5^{\circ}$ ⇒ $∠ B A D = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ .

«Если диагонали четырёхугольника равны, то это прямоугольник» — неверно: нужен именно параллелограмм (контрпример — равнобедренная трапеция).

Симметрия

Точки $A$ и $A_{1}$ симметричны относительно прямой $a$ , если $a$ проходит через середину $A A_{1}$ и перпендикулярна ему. Точки симметричны относительно точки $O$ , если $O$ — середина $A A_{1}$ .

Симметрия	Точка $(x; y)$ переходит в
относительно оси $O x$	$(x; - y)$
относительно оси $O y$	$(- x; y)$
относительно начала координат	$(- x; - y)$
относительно точки $M (a; b)$	$(2 a - x; 2 b - y)$

$A (- 1; 5)$ относительно начала координат $\to (1; - 5)$ , ордината $- 5$ .

Фигура	Осей симметрии	Центр симметрии
параллелограмм (общий)	0	точка пересечения диагоналей
прямоугольник	2 (через середины сторон)	есть
ромб	2 (диагонали)	есть
квадрат	4	есть

Диагональ прямоугольника — не ось симметрии (если это не квадрат), а диагональ ромба — ось.

Углы и расстояния в прямоугольнике и ромбе

Угол между диагоналями прямоугольника: $△ A OB$ равнобедренный, поэтому если диагональ образует со стороной угол $α$ , то угол между диагоналями $2 α$ или $18 0^{\circ} - 2 α$ . Угол $4 6^{\circ}$ между диагоналями ⇒ с большей стороной $2 3^{\circ}$ .
$∠ A OB = 6 0^{\circ}$ ⇒ $△ A OB$ равносторонний: $A B = O A = \frac{B D}{2}$ . Если $P_{A OB} = 39$ , то $A B = 13$ , $B D = 26$ .
Против угла $3 0^{\circ}$ : $∠ A D B = 3 0^{\circ}$ , $B D = 38$ ⇒ $A B = 19$ .
Расстояния от $O$ до сторон прямоугольника — половины соседних сторон. У квадрата расстояние до стороны — половина стороны: $P = 8 \cdot 16, 5 = 132$ .
Периметры треугольников: $P_{A O D} - P_{A OB} = A D - A B$ , так как $O A = OB = O D$ .
Биссектриса угла прямоугольника отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник: $B K = A B$ . Если биссектрисы углов $A$ и $D$ встречаются на $BC$ , то $BC = 2 A B$ , $P = 6 A B$ .
Ромб: диагональ делит угол пополам, поэтому угол «диагональ — сторона» равен половине угла ромба. Углы $7 : 2$ ⇒ $14 0^{\circ}$ и $4 0^{\circ}$ ; меньшая диагональ лежит против острого угла и образует со стороной угол $7 0^{\circ}$ . Угол между стороной и одной диагональю $7 7^{\circ}$ ⇒ с другой $1 3^{\circ}$ .
Ромб с острым углом $3 0^{\circ}$ : высота — половина стороны, $a = 2 h$ . С углом $6 0^{\circ}$ : меньшая диагональ равна стороне (треугольник равносторонний). Сторона $16$ и диагональ $16$ ⇒ углы $6 0^{\circ}$ и $12 0^{\circ}$ .
$P_{A B D} = 2 a + B D$ , $P_{A OB} = a + \frac{A C + B D}{2}$ .

Практика: рамки, заборы, проверка формы

Мастер проверяет раму: противоположные стороны равны — параллелограмм; если ещё равны диагонали — прямоугольник. Все стороны равны — ромб; если ещё равны диагонали — квадрат.
Рамка шириной $w$ : внешние размеры больше окна на $2 w$ по каждой стороне, внешний периметр больше на $8 w$ . Фото $48 \times 34$ в рамке шириной 5: внешний край $2 (58 + 44) = 204$ см.
Забор вдоль стены: огораживают только три стороны.
Столбики вокруг квадрата: на замкнутом контуре столбиков столько же, сколько промежутков: $28 \cdot 2, 5 = 70$ м — периметр, сторона $17, 5$ м.
Окантовка квадрата плитками: для поля $n \times n$ нужно $4 n + 4$ плитки вокруг. Если на окантовку ушло 144 плитки, внешний квадрат $37 \times 37$ , внутренний $35 \times 35$ .
Сторона квадрата больше на 8 — периметр больше на 32; сторона ромба меньше на 5 — периметр меньше на 20.

Симметрия: ещё правила

Точки $A (x_{1}; y)$ и $B (x_{2}; y)$ симметричны относительно прямой $x = \frac{x _{1} + x _{2}}{2}$ . Центр симметрии точек $A$ и $B$ — середина $A B$ .
Точка на расстоянии $d$ от прямой и её симметричная точка: $A A_{1} = 2 d$ .
Осей симметрии: у правильного $n$ -угольника — $n$ ; у равнобедренного (не равностороннего) треугольника — 1; у разностороннего — 0; у неразвёрнутого угла — 1 (биссектриса); у окружности — бесконечно много.
Центр симметрии есть у окружности, параллелограмма, правильного многоугольника с чётным числом сторон; у правильного пятиугольника и треугольника его нет.
Симметрия сохраняет расстояния: симметричный треугольник имеет тот же периметр.
Буквы: горизонтальная ось у В, Е, З, К, С, Э; вертикальная — у А, Д, М, П, Т, Ш; обе оси и центр — у Ж, Н, О, Х; только центр — у И; ни оси, ни центра — у Б, Г, Р, Я.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Площадь квадрата

Серия: 0