Тема 08 · Геометрия · Глава VIII «Подобные треугольники» · подтема 6 из 6

▲ Подобие при параллельных прямых

Признаки подобия треугольников. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Чтобы доказать подобие, не нужно проверять все углы и все стороны. Достаточно одного из трёх «коротких» признаков — так же, как для равенства треугольников.

Признак	Что проверить
1-й — по двум углам	два угла одного равны двум углам другого
2-й — по двум сторонам и углу	$\frac{A B}{MN} = \frac{A C}{M K}$ и $∠ A = ∠ M$ — угол между этими сторонами
3-й — по трём сторонам	$\frac{A B}{MN} = \frac{BC}{N K} = \frac{C A}{K M}$

Первый признак: по двум углам

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, треугольники подобны (третьи углы тоже равны — сумма $18 0^{\circ}$ ).

D E ∥ A C

⇒

△ D BE \sim △ A BC

(соответственные углы равны)

$D E ∥ A C$ , $B D = 4$ , $D A = 5$ , $A C = 9$ . Найти $D E$ .

$△ D BE \sim △ A BC$ : $∠ B$ общий, $∠ B D E = ∠ B A C$ .
$k = \frac{B D}{B A} = \frac{4}{9}$ , $D E = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$ .

В пропорцию берут всю сторону $B A = B D + D A = 9$ , а не отрезок $D A$ .

Прямая ∥ сторонеОтсекает треугольник, подобный данному.

«Бабочка»

A B ∥ C D

, отрезки

A C

B D

пересекаются в

O

△ A OB \sim △ CO D

ПрямоугольныеПодобны, если у них равны острые углы.

«Бабочка»: $A O = 3$ , $OC = 9$ , $A B = 14$ : $k = 3$ , $C D = 42$ .

Второй и третий признаки

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключённые между этими сторонами, равны, — треугольники подобны.

$A B = 10$ , $A C = 14$ , $MN = 30$ , $M K = 42$ , $∠ A = ∠ M$ , $∠ B = 10 0^{\circ}$ . Найти $∠ N$ .

$\frac{A B}{MN} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$ , $\frac{A C}{M K} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$ , угол между ними равен ⇒ $△ A BC \sim △ MN K$ .
$∠ N = ∠ B = 10 0^{\circ}$ .

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого — треугольники подобны.

Подобны ли треугольники $12; 4; 11$ и $10; 32; 27, 5$ ?

Упорядочим: $4, 11, 12$ и $10; 27, 5; 32$ .
$\frac{10}{4} = 2, 5$ , $\frac{27 , 5}{11} = 2, 5$ , но $\frac{32}{12} \approx 2, 67$ — не подобны.

Сравнивайте наименьшую с наименьшей, среднюю со средней, наибольшую с наибольшей — все три отношения должны совпасть.

Параллельные прямые и алгоритм

Стороны угла $O$ пересечены параллельными $A C ∥ B D$ ; $O A = 9$ , $A B = 18$ , $OC = 5$ . $△ O A C \sim △ OB D$ , $k = \frac{27}{9} = 3$ : $O D = 15$ , $C D = 15 - 5 = 10$ .

Три параллельные прямые на двух секущих отсекают пропорциональные отрезки: $\frac{A B}{BC} = \frac{D E}{EF}$ ; $\frac{5}{20} = \frac{20}{EF}$ , $EF = 80$ .

Найти пару подобных треугольников и назвать признак.
Выписать соответствие вершин: против равных углов — сходственные стороны.
Составить пропорцию и найти неизвестное.

Где искать подобные треугольники

Конфигурация	Подобны	Пропорция
диагонали трапеции	$△ BOC \sim △ D O A$ (по двум углам)	$\frac{BO}{O D} = \frac{CO}{O A} = \frac{BC}{A D}$
высота к гипотенузе	$△ A C H \sim △ A BC \sim △ CB H$	$C H^{2} = A H \cdot H B$
высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$	$△ A A_{1} C \sim △ B B_{1} C$ (угол $C$ общий, прямые углы)	$\frac{C A _{1}}{C B _{1}} = \frac{A C}{BC}$
$∠ A C D = ∠ A BC$ , $D$ на $A B$	$△ A C D \sim △ A BC$ (угол $A$ общий)	$A C^{2} = A D \cdot A B$
перпендикуляр $M K$ к гипотенузе из точки катета	$△ A M K \sim △ A BC$ (угол $A$ общий, прямые углы)	$\frac{M K}{BC} = \frac{A M}{A B}$

Трапеция: $BO = 9$ , $O D = 36$ , $BC = 2$ ⇒ $k = 4$ , $A D = 8$ . Высоты: $A C = 26$ , $BC = 30$ , $C A_{1} = 20, 8$ ⇒ $C B_{1} = \frac{20 , 8 \cdot 30}{26} = 24$ . Угол $A C D$ : $A D = 12$ , $A B = 27$ ⇒ $A C = 324 www.reknow.ru = 18$ .

Если точки $D$ и $E$ на сторонах $A B$ и $A C$ , но $D E$ не параллельна $BC$ , проверьте «перевёрнутое» соответствие: $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ даёт $△ A D E \sim △ A CB$ . При $A B = 11$ , $A C = 10$ , $A D = 4$ , $A E = 4, 4$ : $k = 0, 4$ , $D E = 0, 4 \cdot BC$ .

Подбор данных и контрпримеры

Найти третью сторону, чтобы треугольники были подобны: стороны $3, 4, 5$ и две стороны $9$ и $15$ ⇒ $k = 3$ , третья $12$ .
Найти сторону для второго признака: $A B = 4$ , $A C = 12$ , $MN = 12$ , $∠ A = ∠ M$ ⇒ $k = 3$ , $M K = 36$ .
Найти угол для первого признака: у $△ A BC$ углы $11 7^{\circ}$ , $3 5^{\circ}$ , $2 8^{\circ}$ ; при $∠ M = 11 7^{\circ}$ нужен $∠ N = 3 5^{\circ}$ (или $2 8^{\circ}$ при другом соответствии).
Отношения периметров и площадей по трём сторонам: стороны $5, 5, 8$ и $12, 5; 12, 5; 20$ ⇒ $k = 2, 5$ , площадь больше в $6, 25$ раза. Если периметр больше в $2, 5$ раза, то и каждая сторона.
Прямоугольные треугольники подобны, если равны острые углы или катеты пропорциональны: $3, 4$ и $8, 5; 10$ не подобны ( $\frac{10}{4} \neq = \frac{8 , 5}{3}$ ).

Любые два равносторонних треугольника; равнобедренные с равными углами при вершине (например, $15 0^{\circ}$ ); прямоугольные равнобедренные. Не всегда: два равнобедренных, два прямоугольных, треугольники с одной парой равных углов или с двумя пропорциональными сторонами без равного угла между ними. Подобные треугольники не обязательно равны.

Посмотреть и посчитать

Модели

Подобие треугольников

Серия: 0