Тема 07 · Геометрия · Глава VIII «Подобные треугольники» · подтема 6 из 6

▲ Отношение периметров и площадей (k и k²)

Определение подобных треугольников. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «▲ Отношение периметров и площадей (k и k²)»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Фотография и её увеличенная копия: все углы те же, а все размеры выросли в одно и то же число раз. Такие фигуры называют подобными, а это число — коэффициентом подобия.

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC

k = \frac{8}{4} = \frac{6}{3} = 2

Пропорциональные отрезки

Отношение отрезков $A B$ и $C D$ — отношение их длин $A B : C D$ (в одних единицах). Отрезки $A B$ и $C D$ пропорциональны отрезкам $A_{1} B_{1}$ и $C_{1} D_{1}$ , если

\frac{A B}{A _{1} B _{1}} = \frac{C D}{C _{1} D _{1}} \Leftrightarrow A B \cdot C_{1} D_{1} = C D \cdot A_{1} B_{1}

в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних

Параллельные прямые отсекают на сторонах угла отрезки $3$ и $x$ на одной стороне, $4$ и $8$ на другой: $\frac{3}{x} = \frac{4}{8}$ , $x = 6$ .

Масштаб $1 : 50000$ : $1$ см на карте — $50000$ см $= 500$ м на местности.

Определение подобия

Треугольники подобны, если их углы соответственно равны и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. Сходственные стороны лежат против равных углов.

\frac{A _{1} B _{1}}{A B} = \frac{B _{1} C _{1}}{BC} = \frac{C _{1} A _{1}}{C A} = k

k

— коэффициент подобия; запись

△ A_{1} B_{1} C_{1} \sim △ A BC

Против большей стороны лежит больший угол, поэтому сходственны наименьшая с наименьшей, наибольшая с наибольшей.

$A B = 29$ , $BC = 19$ , $A_{1} B_{1} = 87$ : $k = \frac{87}{29} = 3$ , $B_{1} C_{1} = 19 \cdot 3 = 57$ .

$A_{1} B_{1} : A B = 21 : 5$ , $A_{1} B_{1} - A B = 48$ . Найти $A B$ .

$A_{1} B_{1} = 21 x$ , $A B = 5 x$ : $16 x = 48$ , $x = 3$ , $A B = 15$ .

Периметры и площади

\frac{P _{1}}{P} = k, \frac{S _{1}}{S} = k^{2}

периметры — как

k

, площади — как квадрат

k

Сходственные высоты, медианы, биссектрисы тоже относятся как $k$ . Если площади относятся как $9 : 25$ , то $k = 3 : 5$ .

$A B = 16$ , $A_{1} B_{1} = 32$ , $P_{A BC} = 55$ : $k = 2$ , $P_{1} = 110$ .
$A B = 12$ , $A_{1} B_{1} = 30$ , $S_{A BC} = 40$ : $k = 2, 5$ , $S_{1} = 40 \cdot 6, 25 = 250$ .

Площадь увеличивается не в $k$ , а в $k^{2}$ раз: стороны вдвое длиннее — площадь вчетверо больше.

Свойство биссектрисы треугольника

\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{BC}

B D

— биссектриса

△ A BC

: делит

A C

на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам

$A B = 4$ , $BC = 8$ , $A C = 6$ . Найти $A D$ .

$A D : D C = 4 : 8 = 1 : 2$ , то есть $A D = t$ , $D C = 2 t$ .
$3 t = 6$ , $A D = 2$ .

Удобный приём: $A D = A B \cdot t$ , $D C = BC \cdot t$ — к отрезку «прилипает» соседняя сторона.

Отношения, масштаб и сходственные стороны

Отношение отрезков находят в одних единицах: $A B = 2, 2$ дм $= 22$ см, $C D = 88$ см, $A B : C D = 22 : 88 = 1 : 4$ .
Деление в отношении: $PQ : QR : RS = 3 : 5 : 5$ , всего $13$ частей, $PS = 52$ ⇒ часть $4$ , $QR = 20$ . Если $PT : TQ = 3 : 4$ и $TQ$ длиннее на $2$ , то одна часть равна $2$ , $PT = 6$ .
Масштаб карты $1 : 1000000$ : 1 см на карте — $1000000$ см $= 10$ км. 21 км на местности — $2, 1$ см на карте. Обратно: $6, 5$ см при $1 : 250000$ — это $6, 5 \cdot 2, 5 = 16, 25$ км.
Увеличение фото, план, чертёж: все размеры умножаются на одно число. Фото $16 \times 6$ , длинная сторона стала $48$ ( $k = 3$ ) ⇒ короткая $18$ .

Сходственные стороны лежат против равных углов, и порядок букв в названии треугольников может не совпадать. Если $∠ K = ∠ R$ , $∠ L = ∠ P$ , $∠ M = ∠ Q$ , то $K L \leftrightarrow RP$ , $L M \leftrightarrow PQ$ , $M K \leftrightarrow QR$ . Из $K L = 5$ , $RP = 3$ , $L M = 7$ : $PQ = 7 \cdot \frac{3}{5} = 4, 2$ . Если углы не даны, сопоставляют наименьшую с наименьшей, среднюю со средней, наибольшую с наибольшей.

Задачи на k и k²

Сумма или разность периметров: стороны $3 : 5$ , сумма периметров $64$ ⇒ $P_{1} = 3 t$ , $P_{2} = 5 t$ , $8 t = 64$ , $P_{1} = 24$ , $P_{2} = 40$ .
По площадям — $k$ : площади $2$ и $32$ ⇒ $k^{2} = 16$ , $k = 4$ . Площади $16$ и $81$ ⇒ $k = \frac{9}{4}$ ; периметр большего $36$ ⇒ меньшего $16$ .
Сходственные медианы (высоты) $10$ и $16$ ⇒ $k = 1, 6$ , площади отличаются в $2, 56$ раза.
План и площадь: при масштабе $1 : 1000$ площадь на местности в $100 0^{2}$ раз больше: $13 см^{2} \cdot 1 0^{6} = 13 \cdot 1 0^{6} см^{2} = 1300 м^{2}$ .
Отсечённый треугольник: $D E ∥ BC$ , $A D : A B = 2 : 7$ ⇒ $△ A D E \sim △ A BC$ с $k = \frac{2}{7}$ , $S_{A D E} = S_{A BC} \cdot \frac{4}{49}$ .

Биссектриса: ещё случаи

По периметру: $A K = 7$ , $K B = 10$ , $P = 51$ ⇒ $A B = 17$ , $A C + BC = 34$ и $A C : BC = 7 : 10$ , значит $A C = 14$ , $BC = 20$ .
Отрезки отличаются на $d$ : $B L : L C = A B : A C$ ; обозначьте $B L = A B \cdot t$ , $L C = A C \cdot t$ , из разности найдите $t$ .
Биссектриса прямого угла делит гипотенузу в отношении катетов: $A C = 42$ , $BC = 56$ , гипотенуза $70$ , отрезки $70 \cdot \frac{3}{7} = 30$ и $40$ .
Равнобедренный треугольник с основанием $A C = 4$ и боковыми $6$ : биссектриса $A D$ делит $BC$ в отношении $A B : A C = 6 : 4$ , $B D = 3, 6$ , $D C = 2, 4$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Подобие треугольников Средняя линия треугольника

Серия: 0