В треугольнике STU угол T прямой. Где находится центр описанной около него окружности? Варианты: в середине стороны UT; в середине стороны SU; в вершине T; в середине стороны ST.

в середине стороны SU

В треугольнике STU угол U прямой. Где находится центр описанной около него окружности? Варианты: в середине стороны TU; в середине стороны SU; в середине стороны TS; в вершине U.

в середине стороны TS

Тема 12 · Геометрия · Глава IX «Окружность» · подтема 3 из 8

Угол, опирающийся на диаметр

Центральные и вписанные углы. 160 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Представим круглую сцену. Прожектор в центре видит кусок края под одним углом, а зритель на краю сцены — тот же кусок под углом вдвое меньше. И где бы зритель ни сел на краю (по ту же сторону), угол будет одинаковым.

Центральный

∠ A OB = 12 0^{\circ}

, вписанный

∠ A CB = 6 0^{\circ}

— оба опираются на дугу

A B

Две точки делят окружность на две дуги, их сумма $36 0^{\circ}$ ; полуокружность — $18 0^{\circ}$ .
Центральный угол (вершина в центре) равен дуге, на которую опирается.
Вписанный угол (вершина на окружности, стороны — хорды) равен половине дуги, на которую опирается.

Следствия о вписанных углах

На одну дугуВписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

На диаметрВписанный угол, опирающийся на полуокружность (диаметр), — прямой:

9 0^{\circ}

Центральный и вписанныйНа одну дугу: центральный вдвое больше вписанного.

$A B$ — диаметр, $∠ C A B = 7 1^{\circ}$ . Найти $∠ A BC$ .

$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ — опирается на диаметр.
$∠ A BC = 9 0^{\circ} - 7 1^{\circ} = 1 9^{\circ}$ .

$O$ — центр, вписанный $∠ A CB = 6 9^{\circ}$ . Найти $∠ O A B$ .

Центральный $∠ A OB = 2 \cdot 6 9^{\circ} = 13 8^{\circ}$ .
$O A = OB$ (радиусы), $△ A OB$ равнобедренный: $∠ O A B = \frac{18 0 ^{\circ} - 13 8 ^{\circ}}{2} = 2 1^{\circ}$ .
Обратно: $∠ O A B = 1 6^{\circ}$ ⇒ $∠ A OB = 14 8^{\circ}$ ⇒ $∠ A CB = 7 4^{\circ}$ .

$A, B, C, D$ на окружности, $D$ на дуге $BC$ , $∠ B A C = 6 1^{\circ}$ , $∠ A D B = 7 8^{\circ}$ . Найти $∠ A BC$ .

$∠ A CB = ∠ A D B = 7 8^{\circ}$ — опираются на одну дугу $A B$ .
$∠ A BC = 18 0^{\circ} - 6 1^{\circ} - 7 8^{\circ} = 4 1^{\circ}$ .

Если $C$ лежит на меньшей дуге $A B$ , вписанный угол опирается на большую дугу: $∠ A CB = \frac{36 0 ^{\circ} - ∠ A OB}{2}$ .

Касательная, хорды, секущие

Где вершина угла	Чему равен угол
на окружности: касательная и хорда	$\frac{1}{2}$ дуги, заключённой внутри угла
внутри круга (две хорды)	$\frac{1}{2}$ суммы дуги угла и дуги вертикального ему угла
вне круга (две секущие)	$\frac{1}{2}$ разности дальней и ближней дуг

∠ P = \frac{⌣ _{дальн} - ⌣ _{ближн}}{2}

угол между секущими из точки

P

вне круга

Дуги $16 1^{\circ}$ и $2 9^{\circ}$ : $∠ P = \frac{16 1 ^{\circ} - 2 9 ^{\circ}}{2} = 6 6^{\circ}$ . Дуги $13 5^{\circ}$ и $12 3^{\circ}$ : $\frac{1 2 ^{\circ}}{2} = 6^{\circ}$ .

Хорды $A C$ и $B D$ пересекаются в $P$ , $∠ B A C = 3 2^{\circ}$ , $∠ A B D = 2 1^{\circ}$ . В $△ A BP$ : $∠ A PB = 18 0^{\circ} - 3 2^{\circ} - 2 1^{\circ} = 12 7^{\circ}$ .

Отрезки пересекающихся хорд

A P \cdot PB = CP \cdot P D

хорды

A B

C D

пересекаются в точке

P

Доказательство: $△ A PC \sim △ D PB$ (углы при $P$ вертикальные, $∠ C A B = ∠ C D B$ — на одну дугу).

$A P = 24$ , $PB = 11$ , $CP = 12$ : $P D = \frac{24 \cdot 11}{12} = 22$ .

$A P = 22$ , $PB = 18$ , $C D = 45$ . Найти меньший из $CP$ и $P D$ .

$CP = x$ , $P D = 45 - x$ : $x (45 - x) = 22 \cdot 18 = 396$ .
$x^{2} - 45 x + 396 = 0$ , $x = 12$ или $x = 33$ . Меньший — $12$ .

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. А «половина» — ключевое слово темы: вписанный угол, касательная с хордой, хорды и секущие — везде половина дуг.

Дуги: части, отношения, часы

Две точки делят окружность на дуги, сумма которых $36 0^{\circ}$ : если меньшая дуга $5 0^{\circ}$ , большая — $31 0^{\circ}$ (не $13 0^{\circ}$ ).
Дуги в отношении $a : b : c$ : вся окружность — $a + b + c$ частей. Дуги $6 : 8 : 1$ : одна часть $36 0^{\circ} : 15 = 2 4^{\circ}$ , дуги $14 4^{\circ}$ , $19 2^{\circ}$ , $2 4^{\circ}$ .
Если одна дуга на $d$ больше другой: $x + (x + d) = 36 0^{\circ}$ , $x = \frac{36 0 ^{\circ} - d}{2}$ .
Точки делят окружность на $n$ равных дуг: каждая дуга $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ . Угол $A_{1} O A_{k}$ охватывает $k - 1$ дуг: при $n = 24$ угол $A_{1} O A_{5} = 4 \cdot 1 5^{\circ} = 6 0^{\circ}$ . Так же считают углы между спицами колеса и кабинками колеса обозрения.
Часы: минутная стрелка проходит $6^{\circ}$ в минуту, часовая — $3 0^{\circ}$ в час ( $0, 5^{\circ}$ в минуту), секундная — $6^{\circ}$ в секунду. В 8:30 часовая стрелка посередине между 8 и 9, минутная — на 6: угол $2, 5 \cdot 3 0^{\circ} = 7 5^{\circ}$ .

Если $A B = R$ , треугольник $A OB$ равносторонний, поэтому $∠ A OB = 6 0^{\circ}$ : меньшая дуга $6 0^{\circ}$ , большая $30 0^{\circ}$ . Вписанный угол на большей дуге — $3 0^{\circ}$ , на меньшей — $\frac{30 0 ^{\circ}}{2} = 15 0^{\circ}$ . И наоборот: дуга $6 0^{\circ}$ ⇒ хорда равна радиусу.

В треугольнике $A OB$ стороны $O A = OB$ — радиусы, поэтому углы при основании равны: $∠ O A B = \frac{18 0 ^{\circ} - ∠ A OB}{2}$ .

Вписанный угол на диаметре: задачи

Если $A B$ — диаметр, то $△ A BC$ прямоугольный с гипотенузой $A B$ . Отсюда:

острые углы в сумме $9 0^{\circ}$ ; $∠ A BC = \frac{1}{2} ⌣ A C$ ;
теорема Пифагора: $A B = 26$ , $A C = 24$ ⇒ $BC = 2 6^{2} - 2 4^{2} www.reknow.ru = 10$ ;
катет против угла $3 0^{\circ}$ равен половине гипотенузы, то есть радиусу: $∠ A BC = 3 0^{\circ}$ , $A C = 17$ ⇒ $R = 17$ ;
центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы;
два диаметра $A B$ и $C D$ — диагонали прямоугольника $A CB D$ : $A D = CB$ , $A C^{2} + A D^{2} = (2 R)^{2}$ .

Вершину прямого угла угольника приложили к краю круга, стороны пересекли край на расстояниях 42 и 56 см. Диаметр — гипотенуза: $4 2^{2} + 5 6^{2} www.reknow.ru = 70$ см.

Касательные и секущие из одной точки

Угол между касательной и хордой равен половине дуги внутри угла: $∠ M A B = 3 3^{\circ}$ ⇒ дуга $6 6^{\circ}$ . Если дан центральный угол $A OB = 6 8^{\circ}$ , то $∠ M A B = 3 4^{\circ}$ . Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен углу между касательной и хордой.
Две касательные $P A$ , $PB$ : в четырёхугольнике $O A PB$ углы $A$ и $B$ прямые, поэтому $∠ A PB = 18 0^{\circ} - ⌣ A B$ (меньшей дуги). $∠ A PB = 7 3^{\circ}$ ⇒ дуга $10 7^{\circ}$ .
Касательная и секущая из точки $P$ : угол равен полуразности дальней и ближней дуг, как у двух секущих: дуги $19 6^{\circ}$ и $6 0^{\circ}$ дают $\frac{19 6 ^{\circ} - 6 0 ^{\circ}}{2} = 6 8^{\circ}$ .
Из формулы для секущих находят и дугу: угол $1 6^{\circ}$ , дальняя дуга $14 8^{\circ}$ ⇒ ближняя $14 8^{\circ} - 2 \cdot 1 6^{\circ} = 11 6^{\circ}$ .

Хорда, диаметр и радиус

Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Это даёт два частых приёма.

Хорда $24$ , высота сегмента (наибольшая ширина отколотого куска) $9$ . Найти $R$ .

Половина хорды $12$ , расстояние от центра до хорды $R - 9$ .
Пифагор: $R^{2} = 1 2^{2} + (R - 9)^{2}$ ⇒ $0 = 144 - 18 R + 81$ ⇒ $R = 12, 5$ .

По теореме о хордах для диаметра $A B ⊥ C D$ : $CP \cdot P D = A P \cdot PB$ , и $CP = P D$ , значит $C P^{2} = 49 \cdot 25$ , $CP = 35$ , $C D = 70$ .

Хорда через точку $P$ внутри круга, $OP = d$ : проведём через $P$ диаметр, его отрезки $R - d$ и $R + d$ , поэтому $CP \cdot P D = R^{2} - d^{2}$ . При $R = 14$ , $d = 4$ , $CP = 15$ : $P D = \frac{196 - 16}{15} = 12$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Вписанный угол

Серия: 0