Тема 06 · Алгебра · подтема 4 из 6

Степень степени

Степень с целым показателем. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Каждый шаг вниз по показателю — деление на основание: $2^{3} = 8$ , $2^{2} = 4$ , $2^{1} = 2$ . Продолжим делить на 2: получим $2^{0} = 1$ , затем $2^{- 1} = \frac{1}{2}$ , $2^{- 2} = \frac{1}{4}$ . Так появляются нулевой и отрицательный показатели.

Показатель уменьшается на 1 — значение делится на основание

Определение

a^{0} = 1, a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}} (a \neq = 0, n — натуральное)

Здесь $a$ — основание, $n$ — натуральное число, $- n$ — показатель. Степень с отрицательным показателем — это дробь «один делить на ту же степень с положительным показателем».

$2^{- 1} = \frac{1}{2}$ .
$2 1^{- 3} = \frac{1}{2 1 ^{3}} = \frac{1}{9261}$ .
$(\frac{2}{3})^{- 2} = (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ — дробь в отрицательной степени «переворачивается».

$2^{- 3}$ — это не $- 8$ и не $- 6$ . Минус в показателе означает дробь, а не отрицательное число: $2^{- 3} = \frac{1}{8} > 0$ . Выражения $0^{0}$ и $0^{- n}$ не имеют смысла.

Свойства (для любых целых m, n)

Свойство	Правило	Пример
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	показатели складываем	$a^{3} \cdot a^{- 1} = a^{2}$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	показатели вычитаем	$x^{2} : x^{- 5} = x^{7}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	показатели перемножаем	$(x^{- 6})^{3} = x^{- 18}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	каждый множитель	$(2 x)^{- 1} = \frac{1}{2 x}$
$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	числитель и знаменатель	$(\frac{1}{28})^{3} = \frac{1}{21952}$

Здесь $a, b \neq = 0$ , а $m, n$ — любые целые числа (в том числе отрицательные и ноль).

Разбор типовых заданий

$x^{7} \cdot x^{- 3} = x^{7 + (- 3)} = x^{4}$ .
$a^{- 6} \cdot a^{- 3} = a^{- 6 + (- 3)} = a^{- 9}$ — оба минуса складываются, результат «ещё отрицательнее».

$(3^{- 3})^{6} = 3^{- 3 \cdot 6} = 3^{- 18}$ .

$2^{1} \cdot 2^{- 1} = 2^{0} = 1$ .
$3^{- 1} \cdot 3 = 3^{- 1 + 1} = 3^{0} = 1$ .
$5^{- 2} \cdot 5^{4} = 5^{2} = 25$ .

При умножении степеней показатели складывают, а при возведении степени в степень — умножают: $a^{- 2} \cdot a^{3} = a^{1}$ , но $(a^{- 2})^{3} = a^{- 6}$ .

Сомневаетесь — распишите: $a^{3} \cdot a^{- 1} = \frac{a \cdot a \cdot a}{a} = a^{2}$ . Отрицательный показатель «уводит» множители в знаменатель.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Степени и корни

Серия: 0

Степень степени

Простыми словами

Определение

Свойства (для любых целых m, n)

Разбор типовых заданий

Примеры заданий