Тема 06 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 5 из 5

Наибольшее, наименьшее, знак

Функция y = k/x и графики. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Нужно проехать 60 км. Чем выше скорость, тем меньше время: $t = \frac{60}{v}$ . Вдвое быстрее — вдвое меньше времени. Такую зависимость называют обратной пропорциональностью, а её график — гиперболой.

$y = \frac{k}{x}$ , где $k \neq = 0$ — коэффициент, $x \neq = 0$ . Главное равенство, из которого следует почти всё остальное:

x \cdot y = k

У любой точки графика произведение координат одно и то же и равно $k$ .

График $y = \frac{k}{x}$ проходит через $A (- 20; - 3)$ . Найдите абсциссу точки графика с ординатой $- 10$ .

$k = x y = (- 20) \cdot (- 3) = 60$ .
$x = \frac{k}{y} = \frac{60}{- 10} = - 6$ .

Так же проверяют, лежит ли точка на графике: через $A (8; - 1)$ получаем $k = - 8$ ; точка $(4; - 2)$ подходит, так как $4 \cdot (- 2) = - 8$ .

Ветви и четверти

y = \frac{6}{x}

: ветви в I и III четвертях; точки

(3; 2)

(- 3; - 2)

симметричны относительно начала координат

$k > 0$ Ветви в I и III четвертях. На каждой ветви функция убывает.

$k < 0$ Ветви во II и IV четвертях. На каждой ветви функция возрастает.

Ветви приближаются к осям, но никогда их не пересекают: $x \neq = 0$ и $y \neq = 0$ .

График проходит через $A (- 1; 8)$ . В какой четверти точка графика с абсциссой $- 2$ ?

$k = - 1 \cdot 8 = - 8$ .
$y = \frac{- 8}{- 2} = 4$ : $x < 0$ , $y > 0$ — II четверть.

Если $k$ задан выражением с параметром, сначала выясните знак этого выражения — от него зависят четверти.

Симметрия и площадь

Свойство	Почему
$(a; b)$ на графике $\Rightarrow$ $(- a; - b)$ тоже	$(- a) (- b) = ab = k$ . Центр симметрии — начало координат
$(a; b)$ на графике $\Rightarrow$ $(b; a)$ тоже	$ba = k$ . Ось симметрии — прямая $y = x$
Прямоугольник из перпендикуляров к осям	Стороны $∣ x ∣$ и $∣ y ∣$ , площадь $S = ∣ x y ∣ = ∣ k ∣$

Точка $A (- 7; 6)$ на графике. Найдите произведение координат точки графика с абсциссой 6.

У всех точек произведение одно: $x y = k = - 7 \cdot 6 = - 42$ .

$A (100; 1)$ на графике; из $A$ опущены перпендикуляры на оси. Площадь прямоугольника $S = ∣ k ∣ = 100 \cdot 1 = 100$ .

Пересечение с прямой

Приравниваем правые части и умножаем на $x$ ( $x \neq = 0$ ) — получается квадратное уравнение:

\frac{k}{x} = m x + b ⟹ m x^{2} + b x - k = 0

m

— угловой коэффициент прямой,

b

— её свободный член

$D > 0$ две общие точки

$D = 0$ одна общая точка (касание)

$D < 0$ общих точек нет

Найдите сумму абсцисс точек пересечения $y = - \frac{12}{x}$ и $y = x - 7$ .

$- \frac{12}{x} = x - 7$ $\Rightarrow$ $- 12 = x^{2} - 7 x$ $\Rightarrow$ $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ .
$D = 49 - 48 = 1 > 0$ , корни $3$ и $4$ .
Сумма $3 + 4 = 7$ (по Виета сразу: $- \frac{- 7}{1} = 7$ ).

$y = \frac{64}{x}$ и $y = 4 x$ : $4 x^{2} = 64$ , $x = \pm 4$ . Наибольшая абсцисса $4$ .

Наибольшее и наименьшее на отрезке

Если отрезок не содержит нуля, функция на нём монотонна, поэтому крайние значения достигаются на концах: вычислите $y (p)$ и $y (q)$ и сравните.

Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений $y = - \frac{120}{x}$ на $[- 3; - 2]$ .

$y (- 3) = 40$ , $y (- 2) = 60$ .
Сумма $40 + 60 = 100$ .

Отрезок, внутри которого лежит $0$ , для $y = \frac{k}{x}$ недопустим: в нуле функция не определена и неограниченна.

Почти любая задача про гиперболу начинается одинаково: найдите $k = x y$ по известной точке.

Знак функции и параметр в k

Знак $y = \frac{k}{x}$ определяется знаками $k$ и $x$ :

$k > 0$

y > 0

при

x > 0

y < 0

при

x < 0

$k < 0$

y < 0

при

x > 0

y > 0

при

x < 0

При каких $x$ функция $y = - \frac{36}{x}$ отрицательна? $k = - 36 < 0$ , значит, $y < 0$ при $x > 0$ .

При каком наибольшем целом $a$ график $y = \frac{4 - a}{x}$ лежит в I и III четвертях?

I и III четверти — это $k > 0$ : $4 - a > 0$ .
$a < 4$ . Наибольшее целое: $3$ .

Для $y = \frac{a - 5}{x}$ в I и III четвертях нужно $a - 5 > 0$ , $a > 5$ : наименьшее целое $6$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Обратная пропорциональность

Серия: 0