Среднее арифметическое — Вероятность и статистика, 7 класс

Вычисление среднего и его свойства. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Пятеро друзей собрали грибы: кто 3, кто 9, кто 6… Если сложить все грибы и поделить поровну, каждому достанется среднее количество. Среднее арифметическое — это «сколько было бы у каждого, если всё разделить поровну».

\overline{x} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n}

\overline{x}

— среднее,

x_{1}, \dots, x_{n}

— числа набора,

n

— их количество

Коротко: среднее $=$ сумма $:$ количество. Отсюда сумма $=$ среднее $\cdot$ количество.

Как вычислить

Найдите среднее арифметическое чисел 28, 21, 13, 24, 25.

Сумма: $28 + 21 + 13 + 24 + 25 = 111$ .
Количество: $n = 5$ .
$\overline{x} = 111 : 5 = 22, 2$ .

Сумма пяти чисел равна 88. Найдите их среднее.

$88 : 5 = 17, 6$ .

Среднее четырёх чисел равно 15, три из них — 10, 12, 20. Найдите четвёртое.

Сумма всех четырёх: $15 \cdot 4 = 60$ .
Четвёртое: $60 - 10 - 12 - 20 = 18$ .

Излишки над линией среднего (

3 + 2 = 5

) ровно заполняют недостачи под ней (

3 + 2 = 5

)

Свойства среднего

1) Среднее лежит между наименьшим и наибольшим числом набора, но может не совпадать ни с одним из них.

2) Если ко всем числам прибавить одно и то же число $c$ , среднее увеличится на $c$ .

3) Если все числа умножить на $k$ , среднее тоже умножится на $k$ .

4) Сумма отклонений чисел от среднего равна нулю.

Среднее чисел 10, 20, 30 равно 20. Среднее чисел 15, 25, 35 (каждое больше на 5) равно $20 + 5 = 25$ .

Не забудьте разделить на количество чисел, а не на последнее число или на 10. И считайте все числа, включая нули: среднее чисел 0, 4, 8 равно $12 : 3 = 4$ , а не $12 : 2$ .

Одно очень большое или очень маленькое число (выброс) сильно сдвигает среднее. В таких случаях «типичное» значение лучше описывает медиана.

Проверка на глаз: ответ должен оказаться между наименьшим и наибольшим числом. Если среднее чисел от 13 до 28 получилось 42 — где-то ошибка.

Ещё задачи на среднее

Неизвестное число: среднее чисел 7 и $x$ равно 10 → сумма $20$ , $x = 13$ .
Добавили число: среднее четырёх чисел 8, пятое 12 → $\frac{4 \cdot 8 + 12}{5} = \frac{44}{5} = 8, 8$ . Если добавить число, близкое к среднему (к набору со средним 13 добавили 13), среднее почти не изменится; число больше среднего его увеличивает, меньше — уменьшает. Заменили наибольшее число нулём — среднее уменьшится.
Среднее чисел от 1 до 10: $\frac{55}{10} = 5, 5$ . Среднее не может быть больше наибольшего значения.
Делить нужно на количество всех чисел (с повторами): если разделить на количество различных значений, получится неверный, завышенный результат.

Посмотреть и посчитать

Модели

Среднее и медиана

Калькуляторы

Среднее, медиана, мода

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите среднее арифметическое чисел 28, 21, 13, 24, 25.

Показать ответ

Ответ: 22,2
Решение. (28 + 21 + 13 + 24 + 25) : 5 = 22,2.

Сумма пяти чисел равна 88. Найдите их среднее арифметическое.

Показать ответ

Ответ: 17,6
Решение. 88 : 5 = 17,6.

Среднее арифметическое пяти чисел равно 19. Найдите их сумму.

Показать ответ

Ответ: 95
Решение. 19 · 5 = 95.

Найдите среднее арифметическое чисел 13 и 7.

Показать ответ

Ответ: 10
Решение. (13 + 7) : 2 = 10.

К набору 4, 25, 8, 5, 23 добавили число 13. Как изменится среднее — вырастет, упадёт или почти не изменится? Введите 1, если вырастет, 0 — если упадёт, 2 — если почти не изменится.

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. Добавление числа, близкого к среднему, почти не меняет среднее.

В наборе 24, 22, 14, 13, 9 заменили наибольшее число на 0. Уменьшится ли среднее? Введите 1, если да, и 0, если нет.

Показать ответ

Ответ: 1
Решение. Сумма уменьшилась, значит уменьшилось и среднее.

Среднее арифметическое четырёх чисел равно 8, пятое число — 12. Найдите среднее всех пяти чисел.

Показать ответ

Ответ: 8,8
Решение. (8·4 + 12) : 5 = 8,8.

Найдите среднее арифметическое всех чисел от 1 до 10.

Показать ответ

Ответ: 5,5
Решение. (1 + 10) : 2 = 5,5.