Медиана, размах, крайние значения — Вероятность и статистика, 7 класс

Медиана упорядоченного набора, размах и крайние значения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Выстроим пятерых школьников по росту. Тот, кто стоит ровно посередине, имеет «серединный» рост — это медиана. А разница между самым высоким и самым низким — размах: он показывает, насколько ребята разные.

Крайние значения — наименьшее и наибольшее числа набора.
Размах — разность наибольшего и наименьшего значений.
Медиана — число, которое стоит посередине упорядоченного набора.

R = x_{m a x} - x_{m i n}

R

— размах,

x_{m a x}

— наибольшее значение,

x_{m i n}

— наименьшее

Как найти медиану

Упорядочить набор по возрастанию.
Если чисел нечётное количество — медиана стоит ровно посередине.
Если чётное — посередине два числа; медиана равна их среднему арифметическому (полусумме).

Набор

2, 18, 20, 21, 29

: в середине третье число — 20

Найдите медиану набора $2, 18, 20, 21, 29$ .

Набор уже упорядочен, чисел 5 — нечётное количество.
Середина — третье число: медиана $= 20$ .

Найдите медиану набора $7, 3, 10, 5$ .

Упорядочим: $3, 5, 7, 10$ .
Чисел 4 — в середине $5$ и $7$ .
Медиана $= \frac{5 + 7}{2} = 6$ .

Самая частая ошибка — взять среднее по счёту число без упорядочивания. В наборе $7, 3, 10, 5$ в «середине» стоят 3 и 10, но медиана — 6.

Номер серединного места в наборе из $n$ чисел: $\frac{n + 1}{2}$ . При $n = 5$ — третье место; при $n = 4$ — «место 2,5», то есть между вторым и третьим.

Размах и выбросы

Найдите размах набора $7, 8, 21, 22, 31$ .

Наибольшее — 31, наименьшее — 7.
$R = 31 - 7 = 24$ .

Выброс — значение, сильно отличающееся от остальных (например, опечатка в данных). Он сильно меняет размах и среднее, но почти не влияет на медиану.

Зарплаты: $30, 32, 35, 38, 40$ тыс. ₽ — медиана 35, среднее 35. Заменим 40 на 400: медиана по-прежнему 35, а среднее стало $\frac{30 + 32 + 35 + 38 + 400}{5} = 107$ .

МедианаУстойчива к выбросам. Показывает «типичное» значение.

РазмахЧувствителен к выбросам. Показывает разброс данных.

Посмотреть и посчитать

Модели

Среднее и медиана Ящик с усами: квартили и выбросы

Калькуляторы

Среднее, медиана, мода

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Найдите медиану набора 2, 18, 20, 21, 29.

Показать ответ

Ответ: 20
Решение. Числа уже упорядочены, середина — 20.

Найдите размах набора 7, 8, 21, 22, 31.

Показать ответ

Ответ: 24
Решение. 31 − 7 = 24.

Найдите наибольшее значение набора 2, 18, 24, 27, 36.

Показать ответ

Ответ: 36
Решение. Наибольшее — 36.

Найдите наименьшее значение набора 3, 12, 33, 35, 36.

Показать ответ

Ответ: 3
Решение. Наименьшее — 3.

Найдите медиану набора из шести чисел 10, 10, 24, 31, 38, 40.

Показать ответ

Ответ: 27,5
Решение. Медиана — полусумма двух средних: (24 + 31) : 2 = 27,5.

Сколько чисел в наборе меньше медианы, если набор состоит из пяти различных чисел?

Показать ответ

Ответ: 2
Решение. Медиана делит упорядоченный набор пополам.

Найдите разность медианы и наименьшего значения набора 8, 25, 34, 36, 37.

Показать ответ

Ответ: 26
Решение. 34 − 8 = 26.

Что показывает размах набора данных?

количество значений
типичное значение набора
сумму всех значений
насколько сильно значения разбросаны

Показать ответ

Ответ: насколько сильно значения разбросаны
Решение. Размах — разность наибольшего и наименьшего значений.