Тема 05 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Длины отрезков и равные треугольники

Составные задачи и вычисление величин. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Длины отрезков и равные треугольники»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Составная задача — это несколько простых, сцепленных вместе. Нужно найти «мостик»: общую сторону, вертикальные углы, равные треугольники или сумму $18 0^{\circ}$ — и по нему перейти от данных к ответу.

Обозначьте одну величину через $x$ , выразите через неё все подписи на чертеже и составьте уравнение: сумма углов треугольника $= 18 0^{\circ}$ , сумма сторон $= P$ , части развёрнутого угла $= 18 0^{\circ}$ .

$∠ A = x$ , $∠ B = x + 3 6^{\circ}$ , $∠ C = 2 x$ . Найти $∠ C$ .

$x + (x + 3 6^{\circ}) + 2 x = 18 0^{\circ}$ , $4 x = 14 4^{\circ}$ , $x = 3 6^{\circ}$ .
Спрашивают $∠ C = 2 x = 7 2^{\circ}$ , а не $x$ .

$∠ A = x$ , $∠ B = x + 2 3^{\circ}$ , $∠ C = x + 4 6^{\circ}$ : $3 x + 6 9^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , $∠ A = x = 3 7^{\circ}$ .

Равные треугольники переносят длины

Признаки равенства: по двум сторонам и углу между ними; по стороне и двум прилежащим углам; по трём сторонам. У равных треугольников равны все соответственные стороны и углы.

«Бабочка»:

A O = O D

BO = OC

∠ A OB = ∠ D OC

⇒

△ A OB = △ D OC

$A O = O D = 20$ , $BO = OC = 17$ , $A B = 14$ . Найти $P (D OC)$ .

$△ A OB = △ D OC$ по 1-му признаку (углы при $O$ вертикальные), значит $D C = A B = 14$ .
$P (D OC) = 20 + 17 + 14 = 51$ .

$A O = O D = 16$ , $BO = OC = 6$ , $P (A OB) = 35$ : $A B = 35 - 16 - 6 = 13$ , значит $D C = 13$ .

Периметр составной фигуры

Периметр — сумма только внешних сторон. Общая линия (диагональ, медиана) в периметр не входит.

P (A BC D) = P (A B D) + P (CB D) - 2 B D

диагональ

B D

вошла в оба периметра — вычитаем её дважды

$P (A B D) = 49$ , $P (CB D) = 52$ , $B D = 23$ : $P (A BC D) = 49 + 52 - 46 = 55$ .

$A B = A D$ , $BC = C D = 19$ , $P (A B D) = 56$ , $B D = 12$ . Найти $P (A BC D)$ .

$A B + A D = 56 - 12 = 44$ .
$P (A BC D) = 44 + 19 + 19 = 82$ .

Частая ошибка — сложить два периметра и забыть убрать общую сторону (или убрать её только один раз).

Углы в конфигурации из двух треугольников

Отрезок $A D$ ( $D$ на стороне $BC$ ) делит треугольник на два. Связи:

$∠ A D B + ∠ A D C = 18 0^{\circ}$ (смежные);
$∠ A D C = ∠ B + ∠ B A D$ (внешний угол $△ A B D$ );
если $A D$ — высота, то $∠ A D B = ∠ A D C = 9 0^{\circ}$ .

$∠ B = 6 1^{\circ}$ , $∠ B A D = 5 9^{\circ}$ : $∠ A D C = 6 1^{\circ} + 5 9^{\circ} = 12 0^{\circ}$ .

$A D$ — биссектриса, $∠ B = 5 4^{\circ}$ , $∠ C = 3 0^{\circ}$ . Найти $∠ A D B$ .

$∠ A = 18 0^{\circ} - 5 4^{\circ} - 3 0^{\circ} = 9 6^{\circ}$ , $∠ B A D = 4 8^{\circ}$ .
$∠ A D B = 18 0^{\circ} - 5 4^{\circ} - 4 8^{\circ} = 7 8^{\circ}$ .

Как выбрать верное утверждение

Проверяйте каждый вариант теоремой, а не «на глаз» по чертежу.

Сравнить углыСравните противолежащие стороны: против большей стороны больший угол.

Сравнить стороныНайдите третий угол и сравните противолежащие углы.

Существует ли треугольникНаибольшая сторона меньше суммы двух других.

$BC = 11$ , $C A = 16$ , $A B = 18$ : против $A B$ лежит $∠ C$ , против $C A$ — $∠ B$ ; $18 > 16$ , значит $∠ C > ∠ B$ .
$∠ A = 2 3^{\circ}$ , $∠ B = 7 4^{\circ}$ ⇒ $∠ C = 8 3^{\circ} > ∠ A$ , значит $A B > BC$ .

«По двум углам» и «по трём углам» — не признаки равенства треугольников: такие треугольники могут быть разного размера.

Ещё разобранные конфигурации

Медиана равнобедренного ( $A B = A C$ ): $M$ — середина основания. $A B = 20$ , $A M = 12$ , $P (A BM) = 48$ → $BM = 48 - 20 - 12 = 16$ , $BC = 32$ . $A B = A C = 30$ , $P = 106$ → $BC = 46$ , $BM = 23$ . Медиана к основанию — ещё и биссектриса: $∠ B A M = ∠ C A M$ .
«Бабочка» ( $A O = O D$ , $BO = OC$ ): $△ A OB = △ D OC$ , поэтому $A O + BO = P (D OC) - D C = P (D OC) - A B = 35 - 13 = 22$ . Углы: вертикальные $∠ A OB = ∠ CO D$ ; из $△ D OC$ $∠ CO D = 18 0^{\circ} - 6 6^{\circ} - 7 7^{\circ} = 3 7^{\circ}$ , тогда $∠ OB A = 18 0^{\circ} - 5 9^{\circ} - 3 7^{\circ} = 8 4^{\circ}$ .
Высота $A D$ : $∠ C A D = 9 0^{\circ} - ∠ C = 4 3^{\circ}$ при $∠ C = 4 7^{\circ}$ ; $∠ B A C = ∠ B A D + ∠ C A D = 4 3^{\circ} + 4 3^{\circ} = 8 6^{\circ}$ .
Четырёхугольник с $A B = A D$ , $BC = C D$ : $P = 74$ , $BC = C D = 19$ → $A B = \frac{74 - 38}{2} = 18$ . Если $P (A B D) = 60$ , $A B = 19$ , $B D = 21$ , то $A D = 20$ и $BC + C D = P (A BC D) - A B - A D = 71 - 39 = 32$ . Треугольник $BC D$ равносторонний с $P = 30$ (стороны по 10), $A B = A D = 10$ → $P (A BC D) = 40$ .
Существует ли треугольник: из $11, 16, 34$ ; $8, 12, 21$ ; $12, 14, 26$ ; $4, 14, 15$ годится только $4, 14, 15$ ( $15 < 4 + 14$ ); у $12, 14, 26$ — равенство $26 = 12 + 14$ , это вырожденный случай.

Серия: 0