Тема 05 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Разложение по формулам

Многочлены и разложение на множители. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Разложить на множители — значит превратить сумму в произведение. Это как найти размеры прямоугольника по его площади, разбитой на куски: $x y + 7 x + 8 y + 56$ — это площадь прямоугольника со сторонами $x + 8$ и $y + 7$ .

x y + 7 x + 8 y + 56 = (x + 8) (y + 7)

Способ группировки

Слагаемые разбивают на группы, в каждой выносят общий множитель — и получают одинаковую скобку, которую выносят вторым шагом.

$x y + 7 x + 8 y + 56 = x (y + 7) + 8 (y + 7) = (x + 8) (y + 7)$ .
$x y - 7 x - 6 y + 42 = x (y - 7) - 6 (y - 7) = (x - 6) (y - 7)$ . При $x = - 4, y = 2$ : $(- 10) \cdot (- 5) = 50$ .

$14 x + 14 y + 21 x + 21 y = 14 (x + y) + 21 (x + y) = 35 (x + y)$ . При $x + y = 6$ : $35 \cdot 6 = 210$ .
$5 x y + 20 x + 15 y + 60 = 5 (x y + 4 x + 3 y + 12) = 5 (x (y + 4) + 3 (y + 4)) = 5 (x + 3) (y + 4)$ . При $x = 4, y = 0$ : $5 \cdot 7 \cdot 4 = 140$ .

Вынося минус, меняйте знаки в скобке: $- 6 y + 42 = - 6 (y - 7)$ , а не $- 6 (y + 7)$ . Если группировка «не сошлась» — переставьте слагаемые и попробуйте другие пары.

Порядок разложения и формулы

Вынести общий числовой и буквенный множитель.
Попробовать формулу сокращённого умножения.
Применить группировку.
Проверить, не раскладывается ли ещё каждый множитель.

Формула	Разложение
$a^{2} - b^{2}$	$(a - b) (a + b)$
$a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$	$(a \pm b)^{2}$
$a^{3} \pm b^{3}$	$(a \pm b) (a^{2} \mp ab + b^{2})$
$(a + b)^{3}$	$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$2 x^{2} - 72 = 2 (x^{2} - 36) = 2 (x - 6) (x + 6)$ — сначала вынесли $2$ , потом разность квадратов.
$x^{2} - y^{2} + 8 x + 8 y = (x - y) (x + y) + 8 (x + y) = (x + y) (x - y + 8)$ — формула и группировка вместе.

Связанные переменные

Если известны сумма $x + y$ и произведение $x y$ , сами числа искать не нужно:

Выражение	Через $x + y$ и $x y$
$x^{2} + y^{2}$	$(x + y)^{2} - 2 x y$
$(x - y)^{2}$	$(x + y)^{2} - 4 x y$
$x^{3} + y^{3}$	$(x + y)^{3} - 3 x y (x + y)$

$x + y = - 9, x y = 18$ : $(x - y)^{2} = 81 - 4 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$ .
$x + y = 2, x y = - 3$ : $x^{2} + y^{2} = 4 - 2 \cdot (- 3) = 4 + 6 = 10$ .

Квадрат отрицательной суммы положителен: $(- 9)^{2} = 81$ . А минус у произведения меняет знак слагаемого: $- 2 \cdot (- 3) = + 6$ .

Тождественные преобразования

Тождество — равенство, верное при всех значениях переменных. Чтобы доказать, что выражение не зависит от переменной, раскрывают все скобки и приводят подобные. Если переменная исчезла — осталось одно число, оно и есть значение при любом $x$ .

$(x + 6)^{3} - x^{3} - 18 x^{2} - 108 x = x^{3} + 18 x^{2} + 108 x + 216 - x^{3} - 18 x^{2} - 108 x = 216$ .
$(x - 2) (x + 2) - (x - 8) (x + 8) = (x^{2} - 4) - (x^{2} - 64) = 60$ .
$(x + 2) (x + 5) - x (x + 7) = x^{2} + 7 x + 10 - x^{2} - 7 x = 10$ .

Проверьте ответ подстановкой $x = 0$ : $(0 + 6)^{3} - 0 = 216$ ✓. Если выражение и правда не зависит от $x$ , при $x = 0$ получится то же число.

Ещё типы заданий

Группировка с кубом: $x^{3} - 7 x^{2} + 7 x - 49 = x^{2} (x - 7) + 7 (x - 7) = (x - 7) (x^{2} + 7)$ ; при $x = 3$ : $(- 4) \cdot 16 = - 64$ .
Свернуть и вычислить: $x^{2} + 8 x + 16 = (x + 4)^{2}$ , при $x = 8$ : $1 2^{2} = 144$ ; $2 x^{2} - 20 x + 50 = 2 (x^{2} - 10 x + 25) = 2 (x - 5)^{2}$ .
Счёт по формулам: $(15 + 4)^{2} - (15 - 4)^{2} = 4 \cdot 15 \cdot 4 = 240$ ; $40 8^{2} - 39 6^{2} = (408 - 396) (408 + 396) = 12 \cdot 804 = 9648$ .
Произведение по сумме и сумме квадратов: $ab = \frac{( a + b ) ^{2} - ( a ^{2} + b ^{2} )}{2} = \frac{36 - 20}{2} = 8$ при $a + b = - 6$ , $a^{2} + b^{2} = 20$ .
Число вместо в тождестве — раскройте левую часть и сравните коэффициенты: $(x + 11) (x - 11) = x^{2} - 121$ ; $(x + 9)^{2} - (x - 9)^{2} = 36 x$ ; $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ .

Серия: 0