Тема 02 · Математика, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Рациональный счёт и суммы с сокращением

Дроби и рациональные числа: вычисления. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Рациональный счёт и суммы с сокращением»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Длинное выражение — как рецепт: если перепутать порядок шагов, блюдо не получится. Поэтому сначала размечаем порядок действий, потом считаем по одному действию, а дроби разных видов приводим к одному виду.

действия в скобках (сначала во внутренних);
возведение в степень;
умножение и деление — слева направо;
сложение и вычитание — слева направо.

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}, \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

a, b, c, d

— натуральные числа; делить на дробь — значит умножать на обратную ей

$\frac{2}{3} : \frac{5}{6} - \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Деление: $\frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ .
Умножение: $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ .
Вычитание: $\frac{4}{5} - \frac{1}{10} = \frac{8}{10} - \frac{1}{10} = \frac{7}{10} = 0, 7$ .

Сокращайте «крест-накрест» ещё до перемножения: $\frac{9}{14} \cdot \frac{7}{12} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$ . Числа остаются маленькими.

Смешанные и десятичные дроби вместе

Перед умножением и делением смешанное число переводят в неправильную дробь: $a \frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$ . Десятичную дробь, если она «неудобная» для деления, переводят в обыкновенную.

Десятичная	Обыкновенная
$0, 5$	$\frac{1}{2}$
$0, 25$ и $0, 75$	$\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$
$0, 2; 0, 4; 0, 6; 0, 8$	$\frac{1}{5}; \frac{2}{5}; \frac{3}{5}; \frac{4}{5}$
$0, 125$ и $0, 375$	$\frac{1}{8}$ и $\frac{3}{8}$
$1, 75$	$\frac{7}{4}$
$2, 75$	$2 \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$

$4 \frac{1}{5} : 4 \frac{1}{6} \cdot 1, 75 - 0, 3$

Переводим: $4 \frac{1}{5} = \frac{21}{5}$ , $4 \frac{1}{6} = \frac{25}{6}$ , $1, 75 = \frac{7}{4}$ .
Слева направо: $\frac{21}{5} \cdot \frac{6}{25} \cdot \frac{7}{4} = \frac{21 \cdot 3 \cdot 7}{5 \cdot 25 \cdot 2} = \frac{441}{250} = 1, 764$ .
$1, 764 - 0, 3 = 1, 464$ .

$(1 \frac{1}{3} - 3, 5) \cdot 4 \frac{4}{5} + 2, 5$

Скобка: $\frac{4}{3} - \frac{7}{2} = \frac{8}{6} - \frac{21}{6} = - \frac{13}{6}$ .
Умножение: $- \frac{13}{6} \cdot \frac{24}{5} = - \frac{13 \cdot 4}{5} = - \frac{52}{5} = - 10, 4$ .
$- 10, 4 + 2, 5 = - 7, 9$ .

$\frac{1}{3}$ не переводится в конечную десятичную дробь ( $0, 333 \dots$ ). Если в выражении есть трети, шестые, седьмые — считайте в обыкновенных дробях, а в десятичную переходите только в конце.

Знаки, скобки, степени

Одинаковые знаки

(-) \cdot (-) = +

(-) : (-) = +

Разные знаки

(-) \cdot (+) = -

(-) : (+) = -

Чётная степень

(- 2)^{2} = 4

(- 1)^{2} = 1

— результат положительный

Нечётная степень

(- 2)^{3} = - 8

— знак минус сохраняется

$(- 2)^{2} = 4$ , но $- 2^{2} = - 4$ : без скобок в квадрат возводится только $2$ , а минус стоит перед результатом.

$(1, 9 - (- 7))^{2} \cdot (- 3) + (- 1)^{2}$

Скобка: $1, 9 - (- 7) = 1, 9 + 7 = 8, 9$ .
Степень: $8, 9^{2} = 79, 21$ ; $(- 1)^{2} = 1$ .
Умножение: $79, 21 \cdot (- 3) = - 237, 63$ .
Сложение: $- 237, 63 + 1 = - 236, 63$ .

Ещё пример: $(- 5 + 12) \cdot (- 3, 9) - (- 2)^{3} = 7 \cdot (- 3, 9) - (- 8) = - 27, 3 + 8 = - 19, 3$ .

Рациональный счёт

Главный приём для длинных сумм — разложить каждую дробь на разность, чтобы соседние слагаемые взаимно уничтожились (такую сумму называют телескопической):

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

n

— натуральное число; проверка:

\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1 - n}{n ( n + 1 )}

$\frac{1}{7 \cdot 8} + \frac{1}{8 \cdot 9} + \dots + \frac{1}{39 \cdot 40}$

Расписываем: $(\frac{1}{7} - \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} - \frac{1}{9}) + \dots + (\frac{1}{39} - \frac{1}{40})$ .
Все средние слагаемые сокращаются, остаются первое и последнее: $\frac{1}{7} - \frac{1}{40}$ .
$\frac{40 - 7}{280} = \frac{33}{280}$ .

Приём	Результат
Общий множитель	$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$
$(1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) \dots (1 - \frac{1}{n})$	$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \dots \cdot \frac{n - 1}{n} = \frac{1}{n}$
$(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{3}) \dots (1 + \frac{1}{n})$	$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \dots \cdot \frac{n + 1}{n} = \frac{n + 1}{2}$
$1 - 2 + 3 - 4 + \dots + 99 - 100$	50 пар по $- 1$ , итого $- 50$

В ответе суммы $\frac{1}{a \cdot ( a + 1 )} + \dots + \frac{1}{b \cdot ( b + 1 )}$ всегда получается $\frac{1}{a} - \frac{1}{b + 1}$ : «первый знаменатель минус последний».

Дробь от числа и число по дроби

Дробь от числаумножить число на дробь:

\frac{3}{4}

от

60

— это

60 \cdot \frac{3}{4} = 45

Число по его дробиразделить часть на дробь: если

\frac{3}{4}

числа равны

45

, число

= 45 : \frac{3}{4} = 60

«Во второй день — $\frac{3}{4}$ оставшегося»: доля берётся не от всего, а от остатка $1 -$ (первая доля). Пример: прочитали $\frac{1}{3}$ книги, потом $\frac{1}{2}$ остатка, осталось 40 страниц. Остаток после первого дня $\frac{2}{3}$ , после второго $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$ книги, значит, книга $40 : \frac{1}{3} = 120$ страниц.

Сумма двух чисел равна 60, причём $\frac{1}{2}$ первого числа равна $\frac{1}{4}$ второго. Найдите первое число.

Половина первого числа равна четверти второго — это одна и та же «часть»

Примем $\frac{1}{2}$ первого $= \frac{1}{4}$ второго за одну часть. Первое число — 2 части, второе — 4 части.
Всего $6$ частей $= 60$ , одна часть $= 10$ .
Первое число $= 2 \cdot 10 = 20$ .

Если доли «неудобные» ( $\frac{2}{5}$ первого $= \frac{3}{8}$ второго), обозначим первое число $a$ : второе равно $a \cdot \frac{2}{5} : \frac{3}{8} = \frac{16}{15} a$ , тогда $a + \frac{16}{15} a = \frac{31}{15} a = 744$ , $a = 360$ .

Доли в задачах: ещё примеры

Доля от другой части. Туристы в первый день прошли $\frac{1}{7}$ маршрута, во второй — $\frac{1}{2}$ того, что в первый, то есть $\frac{1}{14}$ маршрута, в третий — оставшиеся 220 км.

За два дня: $\frac{1}{7} + \frac{1}{14} = \frac{3}{14}$ ; на третий осталось $\frac{11}{14}$ .
$\frac{11}{14}$ маршрута — 220 км, маршрут $220 : \frac{11}{14} = 280$ км.

Разность в долях. Мальчики — $\frac{3}{13}$ класса, девочки — $\frac{10}{13}$ ; девочек больше на $\frac{7}{13}$ класса, а это 14 человек. Класс: $14 : \frac{7}{13} = 26$ учеников.

Серия: 0