Тема 04 · Математика, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Уравнения с модулем

Уравнения, модуль, раскрытие скобок. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Уравнение — это весы в равновесии: с обеими чашами можно делать одно и то же (прибавлять, вычитать, умножать, делить на не ноль), и равновесие сохранится. Чтобы найти $x$ , упрощаем: раскрываем скобки, собираем $x$ с одной стороны, числа — с другой. А модуль — это просто расстояние до нуля.

Раскрытие скобок и подобные слагаемые

Было	Стало
$+ (a - b + c)$	$a - b + c$ (знаки те же)
$- (a - b + c)$	$- a + b - c$ (все знаки меняются)
$- 3 (2 x - 5)$	$- 6 x + 15$ (каждое слагаемое умножаем на $- 3$ )

Подобные слагаемые — с одинаковой буквенной частью; их складывают, складывая коэффициенты: $14 x - 14 x - x = - x$ .

$2 (7 x + 2) - 7 (2 x + 6) - (x - 7)$ при $x = - 11, 2$ .

Раскрываем: $14 x + 4 - 14 x - 42 - x + 7$ .
Приводим подобные: $- x - 31$ .
Подставляем: $11, 2 - 31 = - 19, 8$ .

Минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого: $- (x - 7) = - x + 7$ , а не $- x - 7$ .

Линейные уравнения

Если есть дроби — умножить обе части на общий знаменатель.
Раскрыть скобки.
Слагаемые с $x$ — влево, числа — вправо (переносим со сменой знака).
Привести подобные: $a x = b$ , разделить на $a$ .

$a \neq = 0$ Один корень:

x = \frac{b}{a}

$0 \cdot x = 0$ Корень — любое число (бесконечно много). Пример:

2 (x + 9) - 2 x = 18

→

18 = 18

$0 \cdot x = b$ , $b \neq = 0$ Корней нет.

При каком $a$ корнем уравнения $a (x - 6) + x = 3 a - 93$ является $3$ ?

Подставляем $x = 3$ : $- 3 a + 3 = 3 a - 93$ .
$96 = 6 a$ , $a = 16$ .

Модуль — это расстояние

$∣ a ∣$ — расстояние от $0$ до $a$ : $∣ a ∣ = a$ при $a \geq 0$ и $∣ a ∣ = - a$ при $a < 0$ . Модуль никогда не бывает отрицательным. $∣ x - a ∣$ — расстояние между $x$ и $a$ .

∣ x - 9∣ = 27

: две точки на расстоянии 27 от числа 9

Уравнение	Решения
$∣ x - a ∣ = b$ , $b > 0$	$x = a - b$ или $x = a + b$
$∣ x - a ∣ = 0$	$x = a$
$∣ x - a ∣ = b$ , $b < 0$	корней нет
$www.reknow.ru ∣ x ∣ - a www.reknow.ru = b$	$∣ x ∣ = a + b$ или $∣ x ∣ = a - b$ , затем снова раскрываем

$∣ x - 9∣ = 27$ : $x = - 18$ или $x = 36$ , сумма корней $18$ .
$∣ x - 6∣ + 5 = - 3$ → $∣ x - 6∣ = - 8$ — корней нет.

Прежде чем раскрывать модуль, «уединяем» его: переносим всё остальное в другую часть уравнения. Только после этого смотрим на знак правой части.

Модуль в выражениях

$- ∣ - 36∣ = - 36$ — минус перед модулем остаётся: модуль даёт $36$ , затем знак «минус».
$∣ x ∣ = 0, 3$ , $∣ y ∣ = 9$ : наименьшее произведение — при разных знаках: $- 0, 3 \cdot 9 = - 2, 7$ .
$∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣$ — сумма расстояний от $x$ до $a$ и $b$ ; наименьшее значение равно $∣ a - b ∣$ при $x$ между $a$ и $b$ . Для трёх модулей минимум — в средней точке.

Задачи, решаемые уравнением

За $x$ берём величину, через которую удобно выразить остальные (обычно меньшую или первую).
«В $k$ раз больше» — умножить на $k$ , «на $a$ больше» — прибавить $a$ .
Составляем уравнение, решаем, отвечаем на вопрос задачи.

Три числа в сумме 50; второе на 6 больше первого, третье в 5 раз больше второго.

$x$ , $x + 6$ , $5 (x + 6)$ .
$x + x + 6 + 5 x + 30 = 50$ → $7 x = 14$ → $x = 2$ .

Пять последовательных чётных с суммой 540: среднее из них $540 : 5 = 108$ , числа $104, 106, 108, 110, 112$ — наибольшее $112$ .

Ещё задачи на уравнение

В копилке 52 монеты по 2 и по 5 руб., всего 167 руб. Сколько пятирублёвых?

Пятирублёвых $x$ , двухрублёвых $52 - x$ .
$5 x + 2 (52 - x) = 167$ → $3 x + 104 = 167$ → $x = 21$ .

На первой полке в 3 раза больше книг, чем на второй. Переставили 8 книг — стало поровну. Сколько книг было на второй?

Вторая $x$ , первая $3 x$ . После: $3 x - 8 = x + 8$ .
$2 x = 16$ , $x = 8$ ; на первой было $24$ .

Отец сейчас в 8 раз старше сына, через 4 года будет старше в 4 раза. Сколько лет отцу?

Сыну $x$ , отцу $8 x$ . Через 4 года: $8 x + 4 = 4 (x + 4)$ .
$4 x = 12$ , $x = 3$ ; отцу $24$ года.

Уравнение с дробями $\frac{x - 6}{3} - \frac{x - 6}{5} = 2$ : умножаем обе части на $15$ : $5 (x - 6) - 3 (x - 6) = 30$ , $2 (x - 6) = 30$ , $x = 21$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

График с модулем

Серия: 0