Тема 04 · Математика, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Задачи на совместную работу

Уравнения и текстовые задачи. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Текстовая задача — это история, в которой спрятаны числа и связи между ними. Решить её — перевести историю на язык математики: найти, какие величины связаны ( $s = v \cdot t$ , работа $=$ производительность $\cdot$ время), обозначить неизвестное и составить уравнение. Иногда удобнее рассуждать «частями» или идти от конца к началу.

Уравнения в несколько действий

Уравнение решают «снаружи внутрь»: находят действие, которое выполняется последним, и по правилу находят неизвестный компонент этого действия.

Неизвестно	Как найти
слагаемое	сумма − другое слагаемое
уменьшаемое	разность + вычитаемое
вычитаемое	уменьшаемое − разность
множитель	произведение : другой множитель
делимое	частное · делитель
делитель	делимое : частное

$136 - (x + 47) + 91 = 96$

Сначала $136 + 91 = 227$ : $227 - (x + 47) = 96$ .
$(x + 47)$ — вычитаемое: $x + 47 = 227 - 96 = 131$ .
$x = 131 - 47 = 84$ .

Если $x$ встречается несколько раз — приводим подобные: $6 x - 4, 2 x = 1, 8 x$ . Тогда $1, 8 x + 5, 73 = 17, 79$ , $1, 8 x = 12, 06$ , $x = 6, 7$ .

Задачи на движение

s = v \cdot t v = \frac{s}{t} t = \frac{s}{v}

s

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч)

НавстречуСкорость сближения

v_{1} + v_{2}

ВдогонкуСкорость сближения

v_{2} - v_{1}

(из большей вычесть меньшую).

По рекеПо течению

v + v_{т}

, против течения

v - v_{т}

За 2 ч вместе прошли

26 - 4 = 22

км

Вместе за 2 ч: $22$ км, скорость сближения $22 : 2 = 11$ км/ч.
Скорость второго: $11 - 4 = 7$ км/ч.

$v_{ср} = \frac{весь путь}{всё время}$ . 300 км туда со скоростью 50 км/ч ( $6$ ч) и обратно со скоростью 30 км/ч ( $10$ ч): $600 : 16 = 37, 5$ км/ч.

Средняя скорость — не среднее арифметическое скоростей: $(50 + 30) : 2 = 40 \neq = 37, 5$ .

Совместная работа

A = p \cdot t p = \frac{1}{t}

A

— работа (вся работа

= 1

p

— производительность (часть работы за час),

t

— время

При совместной работе производительности складываются; сливная труба — вычитается.

Трубы наполняют бассейн за 12 ч и за 36 ч. Вместе?

$p = \frac{1}{12} + \frac{1}{36} = \frac{3}{36} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ бассейна в час.
$t = 1 : \frac{1}{9} = 9$ ч.

Если работа в деталях: двое за 6 ч сделали 144 детали — вместе $24$ детали в час; первый на 10 больше: $x + (x + 10) = 24$ , $x = 7$ .

Части, «с конца» и предположение

Отношение $a : b$ : сумма — это $a + b$ частей, разность — $a - b$ частей. Медь и цинк $10 : 1$ , меди больше на 225 г: $9$ частей $= 225$ г, часть $25$ г, сплав $11 \cdot 25 = 275$ г.
Разность возрастов со временем не меняется.
Если переложили $d$ и стало поровну — разница была $2 d$ .

Продали половину арбузов и ещё 3, потом половину остатка и ещё 3, осталось 21.

Идём назад, заменяя каждое действие обратным: перед вторым покупателем было $(21 + 3) \cdot 2 = 48$ .
Сначала: $(48 + 3) \cdot 2 = 102$ .

308 страниц за 7 дней, каждый день на 7 больше.

В первый день $x$ , далее $x + 7, \dots, x + 42$ .
Сумма: $7 x + 7 \cdot (0 + 1 + \dots + 6) = 7 x + 147 = 308$ .
$7 x = 161$ , $x = 23$ .

«Пусть все были одного вида» — посчитайте, на сколько не хватает (или лишнее), и разделите на разницу между видами. Так решаются задачи про кур и кроликов, монеты разного достоинства.

Поезд, банка, возраст

Поезд мимо столба проходит свою длину; через мост — длину моста плюс свою длину (от въезда головы до съезда хвоста).

Поезд длиной 174 м проходит мимо столба за 6 с. За сколько секунд он пройдёт мост длиной 1566 м?

Скорость: $174 : 6 = 29$ м/с.
Путь по мосту: $1566 + 174 = 1740$ м.
Время: $1740 : 29 = 60$ с.

Один выехал раньше. Сначала находим, сколько он проехал один, и вычитаем из расстояния; дальше — обычная встреча со скоростью сближения $v_{1} + v_{2}$ .

Банка с мёдом весит 2811 г, с керосином — 1561 г. Мёд вдвое тяжелее керосина. Сколько весит пустая банка?

Разность $2811 - 1561 = 1250$ г — это «мёд минус керосин», то есть одна часть (керосин).
Банка: $1561 - 1250 = 311$ г.

Возраст «во сколько раз». Разность возрастов не меняется. Отцу 60, сыну 12, разность 48. Когда отец старше в 3 раза, разность — это $3 - 1 = 2$ части: сыну $48 : 2 = 24$ года, ждать $24 - 12 = 12$ лет.

Посмотреть и посчитать

Модели

Задачи на движение Относительность движения: лодка и река

Серия: 0