Тема 02 · Математика, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Удобные множители и группировка

Вычисления и рациональные приёмы. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Считать можно «в лоб», а можно с умом. $25 \cdot 74 \cdot 4$ — долго, если умножать по порядку, но $25 \cdot 4 = 100$ , и ответ $7400$ получается в уме. Законы арифметики разрешают переставлять и группировать числа так, чтобы получались «круглые» результаты. Но сначала нужно твёрдо знать порядок действий.

Порядок действий

Действия в скобках (сначала во внутренних).
Возведение в степень.
Умножение и деление — по порядку слева направо.
Сложение и вычитание — по порядку слева направо.

$(393 \cdot 8 + 342) : 6 + 87$

В скобках сначала умножение: $393 \cdot 8 = 3144$ , затем $3144 + 342 = 3486$ .
Деление: $3486 : 6 = 581$ .
Сложение: $581 + 87 = 668$ .

$48 : 4 \cdot 2 = 12 \cdot 2 = 24$ , а не $48 : 8 = 6$ . Умножение и деление равноправны — выполняются слева направо.

Вынесение общего множителя

a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c) a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)

распределительный закон: общий множитель

a

выносим за скобки

$124 \cdot 71 + 129 \cdot 124 = 124 \cdot (71 + 129) = 124 \cdot 200 = 24800$ .
$(62 \cdot 90 + 62 \cdot 10) : 5 = 62 \cdot 100 : 5 = 6200 : 5 = 1240$ .
Умножение на 99: $46 \cdot 99 = 46 \cdot 100 - 46 = 4554$ .

Ищите число, которое повторяется в обоих произведениях, — множители можно переставлять ( $129 \cdot 124 = 124 \cdot 129$ ). Обычно в скобках получается 100, 1000 или другое круглое число.

Удобные множители и группировка

Пара	Результат	Приём
$25 \cdot 4$	100	$n \cdot 25 = n : 4 \cdot 100$
$125 \cdot 8$	1000	$n : 25 = n \cdot 4 : 100$
$50 \cdot 2$	100	$n : 5 = n \cdot 2 : 10$

Пример: $25 \cdot 74 \cdot 4 \cdot 52 = (25 \cdot 4) \cdot (74 \cdot 52) = 100 \cdot 3848 = 384800$ .

При вычитании нескольких чисел их можно сначала сложить: $561 - 16 - 184 = 561 - (16 + 184) = 561 - 200 = 361$ .

Скобку после минуса раскрываем со сменой знаков: $a - (b + c) = a - b - c$ , а $a - (b - c) = a - b + c$ .

Сумма ряда чисел (приём Гаусса)

Если числа идут с одинаковым шагом, первое и последнее, второе и предпоследнее и т. д. дают одну и ту же сумму. Поэтому:

S = \frac{( a _{1} + a _{n} ) \cdot n}{2} n = \frac{a _{n} - a _{1}}{d} + 1

a_{1}

— первое число,

a_{n}

— последнее,

d

— шаг,

n

— количество чисел,

S

— сумма

Две одинаковые лесенки составляют прямоугольник

5 \times 6

, одна лесенка — его половина

$45 + 52 + 59 + \dots + 318$ (шаг 7).

Количество: $(318 - 45) : 7 + 1 = 39 + 1 = 40$ .
Сумма: $(45 + 318) \cdot 40 : 2 = 363 \cdot 20 = 7260$ .

Не забывайте « $+ 1$ » в количестве: от 1 до 10 — десять чисел, а $10 - 1 = 9$ . Для ряда $37, 39, \dots, 405$ : $(405 - 37) : 2 + 1 = 185$ .

Суммы с чередованием знаков

Если знаки чередуются или из одной суммы вычитают другую, числа объединяют в пары, каждая из которых даёт одно и то же.

$360 - 359 + 358 - 357 + \dots + 2 - 1$

Пары: $(360 - 359) + (358 - 357) + \dots + (2 - 1)$ — каждая равна $1$ .
Чисел $360$ , пар $360 : 2 = 180$ . Ответ: $180$ .

$(2 + 4 + 6 + \dots + 214) - (1 + 3 + 5 + \dots + 213)$

В каждой скобке по $107$ чисел. Ставим их в пары: $(2 - 1) + (4 - 3) + \dots + (214 - 213)$ .
Каждая пара даёт $1$ , пар $107$ . Ответ: $107$ .

Разрядные слагаемые со степенями 10: $8 \cdot 1 0^{3} + 2 \cdot 1 0^{2} + 7 \cdot 10 + 1 = 8000 + 200 + 70 + 1 = 8271$ — цифры $8, 2, 7, 1$ просто встают в свои разряды.

Квадраты и кубы

a^{2} = a \cdot a a^{3} = a \cdot a \cdot a

a^{2}

— «

a

в квадрате» (площадь квадрата со стороной

a

a^{3}

— «

a

в кубе» (объём куба)

Полезно помнить: $1 0^{2} = 100$ , $1 0^{3} = 1000$ , $2^{10} = 1024$ , $2 0^{3} = 8000$ , $3 0^{3} = 27000$ .

Найдите $n$ , если $n^{3} = 10648$ .

Оценка: $2 0^{3} = 8000 < 10648 < 27000 = 3 0^{3}$ , значит $n$ между 20 и 30.
Последняя цифра: куб оканчивается на 8 только у чисел, оканчивающихся на 2.
$n = 22$ ; проверка: $2 2^{3} = 484 \cdot 22 = 10648$ ✓.

Сравнение степеней — вычислите каждую: $1 0^{3} = 1000$ , $1 2^{3} = 1728$ , $7^{4} = 2401$ , $1 1^{2} = 121$ . Наибольшее — $7^{4}$ .

$a^{3} \neq = a \cdot 3$ : $5^{3} = 125$ , а не $15$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Прогрессии

Серия: 0

Удобные множители и группировка

Простыми словами

Порядок действий

Вынесение общего множителя

Удобные множители и группировка

Сумма ряда чисел (приём Гаусса)

Суммы с чередованием знаков

Квадраты и кубы

Примеры заданий