Тема 06 · Математика, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Угол между стрелками часов

Углы, треугольники и многоугольники. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Угол — это «раствор» между двумя лучами из одной точки, как раскрытые ножницы. Его меряют в градусах: полный оборот — $36 0^{\circ}$ , развёрнутый угол (лучи в разные стороны по прямой) — $18 0^{\circ}$ , прямой — $9 0^{\circ}$ . Главная идея темы: углы и отрезки складываются, поэтому задачи решаются уравнением или делением на части.

Луч внутри угла и биссектриса

∠ A OB = ∠ A OC + ∠ COB

Углы относятся как $m : n$ — одна часть $= ∠ A OB : (m + n)$ . Для $∠ A OB = 4 2^{\circ}$ и $5 : 2$ : часть $6^{\circ}$ , $∠ A OC = 3 0^{\circ}$ .
Один угол больше другого на $d$ — меньший $= (∠ A OB - d) : 2$ .
Биссектриса — луч, делящий угол пополам.
Угол между биссектрисами двух соседних углов равен половине их суммы.

$OC$ — биссектриса $∠ A OB$ , $O D$ — биссектриса $∠ COB$ , $∠ A O D = 9 3^{\circ}$ . Найдите $∠ A OB$ .

Пусть $∠ A OC = ∠ COB = x$ ; тогда $∠ CO D = \frac{x}{2}$ .
$∠ A O D = x + \frac{x}{2} = 1, 5 x = 9 3^{\circ}$ , $x = 6 2^{\circ}$ .
$∠ A OB = 2 x = 12 4^{\circ}$ .

Смежные углы

Смежные углы — у них одна сторона общая, а две другие продолжают друг друга (образуют прямую). Их сумма:

∠ A OC + ∠ COB = 18 0^{\circ}

«Один в 17 раз больше» — всего $18$ частей: меньший $18 0^{\circ} : 18 = 1 0^{\circ}$ .
Угол между биссектрисами смежных углов равен $9 0^{\circ}$ .

$∠ A OC$ на $2 4^{\circ}$ больше смежного $∠ COB$ ; $OM$ — биссектриса $∠ A OC$ . Найдите $∠ MOB$ .

$∠ COB = (18 0^{\circ} - 2 4^{\circ}) : 2 = 7 8^{\circ}$ , $∠ A OC = 10 2^{\circ}$ .
$∠ MOC = 10 2^{\circ} : 2 = 5 1^{\circ}$ .
$∠ MOB = 5 1^{\circ} + 7 8^{\circ} = 12 9^{\circ}$ .

Угол между стрелками часов

Положения стрелок отсчитываем от «12» по ходу часов

минутная : 6 m^{\circ} часовая : (30 h + 0, 5 m)^{\circ}

h

— часы (от 0 до 11),

m

— минуты; минутная проходит

6^{\circ}

в минуту, часовая —

3 0^{\circ}

в час, то есть

0, 5^{\circ}

в минуту

Угол между стрелками — разность положений. Если она больше $18 0^{\circ}$ , меньший угол $= 36 0^{\circ}$ минус она.

Часы показывают 11:32.

Часовая: $30 \cdot 11 + 0, 5 \cdot 32 = 34 6^{\circ}$ ; минутная: $6 \cdot 32 = 19 2^{\circ}$ .
Разность $15 4^{\circ}$ — она меньше $18 0^{\circ}$ . Ответ: $15 4^{\circ}$ .

Часовая стрелка не стоит на месте: в 7:41 она уже не на «7», а сдвинулась на $0, 5 \cdot 41 = 20, 5^{\circ}$ . Угол: $∣230, 5^{\circ} - 24 6^{\circ} ∣ = 15, 5^{\circ}$ .

Треугольники и многоугольники

Периметр — сумма длин всех сторон: $P = a + b + c$ . У равностороннего $P = 3 a$ , у равнобедренного $P = 2 \cdot боковая + основание$ .
Сумма углов треугольника: $∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}$ .
Прямоугольник: $P = 2 (a + b)$ , полупериметр $a + b = P : 2$ .
Длина ломаной — сумма длин её звеньев.
Два треугольника с общей стороной $d$ , сложенные в один: $P_{1} + P_{2} = P + 2 d$ .

$P = 61$ см, $A B$ на 14 см длиннее $BC$ , $A C$ на 5 см длиннее $BC$ . Наибольшая сторона?

$BC = x$ , $A B = x + 14$ , $A C = x + 5$ .
$3 x + 19 = 61$ , $x = 14$ .
Наибольшая $A B = 28$ см.

У фигуры с прямыми углами («лесенки») периметр равен периметру описанного прямоугольника: горизонтальные ступеньки вместе дают длину, вертикальные — высоту. Для размеров $15$ и $26$ : $P = 2 (15 + 26) = 82$ см.

Ещё приёмы: углы и периметры

Два луча внутри угла. Лучи $OB$ и $OC$ внутри $∠ A O D$ ( $OB$ ближе к $O A$ ). Тогда $∠ A OC + ∠ BO D = ∠ A O D + ∠ BOC$ — угол $BOC$ посчитан дважды. При $∠ A O D = 7 2^{\circ}$ , $∠ A OC = 6 1^{\circ}$ , $∠ BO D = 4 6^{\circ}$ : $∠ BOC = 6 1^{\circ} + 4 6^{\circ} - 7 2^{\circ} = 3 5^{\circ}$ .

Равнобедренный треугольник: углы при основании равны. Если $A B = BC$ и $∠ B = 9 2^{\circ}$ , то $∠ A = ∠ C = (18 0^{\circ} - 9 2^{\circ}) : 2 = 4 4^{\circ}$ .

Квадрат разрезали на два прямоугольника. Сумма их периметров — периметр квадрата плюс два раза линия разреза: $4 a + 2 a = 6 a$ . Если сумма $120$ см, то $a = 20$ см, $P = 80$ см.

Квадраты в ряд. Прямоугольник из 3 квадратов со стороной $a$ : длина $3 a$ , ширина $a$ , $P = 2 (3 a + a) = 8 a$ . При $P = 32$ см $a = 4$ см, периметр квадрата $16$ см.

Удобно обозначить самую маленькую величину буквой $x$ и выразить через неё остальные: длина ломаной $A B = x$ , $BC = x + 8$ , $C D = 3 (x + 8)$ ; $x + x + 8 + 3 x + 24 = 57$ , $x = 5$ .

Серия: 0

Угол между стрелками часов

Простыми словами

Луч внутри угла и биссектриса

Смежные углы

Угол между стрелками часов

Треугольники и многоугольники

Ещё приёмы: углы и периметры

Примеры заданий